高考数学总复习课时作业(六十七)第67讲坐标系理(2021年整理)

2019年高考数学总复习课时作业（六十七）第67讲坐标系理
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课时作业(六十七)第67讲坐标
系
基础热身
1。

(10分）［2017·广西模拟]在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为
（x—)2+(y+1)2=9，以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1）求圆C的极坐标方程;
(2）直线OP：θ=（ρ∈R)与圆C交于点M,N，求线段MN的长。

2.(10分)［2017·南昌二模］已知直线l的直角坐标方程为y=x。

在以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos
θ-2ρsin θ+4=0。

（1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求|OA｜·｜OB｜的值。

能力提升
3。

（10分)[2017·唐山三模]在平面直角坐标系中,点P是曲线C1:(x—2）2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点P绕点O逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2。

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程;
(2)射线θ=(ρ〉0)与曲线C1，C2分别交于A,B两点，定点M（2,0）,求△MAB的面积.
4。

（10分）在平面直角坐标系中,曲线C1的方程为x2+y2+2x—4=0，曲线C2的方程为y2=x,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求曲线C1与C2的交点A,B的极坐标,其中ρ≥0，0≤θ<2π.
5。

（10分)[2017·黔东南州一模］在极坐标系中,点M的坐标为，曲线C的方程
为ρ=2sinθ+。

以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为-1的直线l经过点M.
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2）若P为曲线C上任意一点,直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.
6。

（10分）[2017·东北育才中学月考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
的极坐标方程
2
为ρ=4sin,射线OM的极坐标方程为θ=α0（ρ≥0）.
(1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线OM平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点B满足∠AOB=，求|AB｜.
难点突破
7。

（10分）[2017·太原一模]在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为+y2=1,曲线C2的方程为x2+y2—2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C
，C2分别交于点A,B(均异于原点O）.
1
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程;
（2）当0<α〈时,求｜OA｜2+｜OB|2的取值范围。

8。

（10分）［2017·泉州三模]已知圆C的参数方程为（θ为参数,0〈a<5）,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
ρsin=2,若直线l与曲线C相交于A,B两点,且｜AB|=2。

（1）求a;
（2）若M,N为圆C上的两点，且∠MON=，求|OM|+｜ON｜的最大值。

课时作业（六十七)
1. 解：(1)（x-)2
+(y+1）2
=9可化为x 2
+y 2
-2
x+2y-5=0,
故圆C 的极坐标方程为ρ2
-2ρcos θ+2ρsin θ—5=0。

(2）将θ=代入ρ2
—2
ρcos θ+2ρsin θ—5=0,得ρ2-2ρ—5=0。

设M ，N ，
∴ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5， ∴｜MN ｜=｜ρ1-ρ2|=
=2
.
2. 解：(1）将x=ρcos θ，y=ρsin θ，ρ2
=x 2
+y 2
代入曲线C 的极坐标方程,得
x 2+y 2—4x —2y+4=0，即（x —2)2+(y —
）2
=3。

故曲线C 的直角坐标方程为(x-2)2
+（y-
)2
=3.
（2)直线l 的极坐标方程是θ=(ρ∈R ），代入曲线C 的极坐标方程，得ρ2
—5ρ+4=0,所以ρA ρB =4，
所以|OA ｜·｜OB ｜=|ρA ρB |=4.
3。

解:(1）（x-2）2
+y 2
=4可化为x 2
+y 2
-4x=0，把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入，可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ。

设Q （ρ,θ),则P ，则有ρ=4cos =4sin θ,
所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ。

(2）M 到射线θ=(ρ>0)的距离为d=2sin =
，
|AB ｜=|ρB —ρA |=4
=2-2，
则S△MAB=｜AB｜·d=3-。

4。

解:（1）依题意，将代入x2+y2+2x-4=0,可得ρ2+2ρcos θ-4=0.
将代入y2=x，化简得ρsin2θ=cos θ.
故曲线C1的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-4=0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ=cos θ.
(2)将y2=x代入x2+y2+2x-4=0,得x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，
当x=1时,y=±1,∴C1与C2交点的直角坐标为A(1,1)，B(1，-1），
∵ρA==,ρB==，tan θA=1，tan θB=-1，
∴θA=,θB=，故A，B.
5。

解:（1)∵在极坐标系中,点M的坐标为,
∴x=3cos=0,y=3sin=3,
∴点M的直角坐标为(0，3）,
∴直线l的方程为y=-x+3。

由ρ=2sin，得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0，
即(x-1）2+(y-1)2=2.
（2）圆心（1，1)到直线y=-x+3的距离d==,
∴圆上的点到直线l距离的最大值为d+R=,
而|AB|=2=2×=，
∴△PAB面积的最大值为××=.
6。

解：(1）曲线C1的直角坐标方程为+y2=1,
把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入，
得曲线C1的极坐标方程为ρ2=.
∵曲线C
的极坐标方程为ρ=4sin,
2
即ρ=4sin θcos+4cos θsin，
即ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ，
把x=ρcos θ，y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入，
得x2+y2=2y+2x,
∴曲线C
的直角坐标方程为（x—)2+(y—1)2=4.
2
（2)曲线C2是圆心为(，1)，半径为2的圆，
∴射线OM的极坐标方程为θ=（ρ≥0），
代入ρ2=,可得=2。

又∠AOB=，∴=,
∴|AB｜===.
7。

解：(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2分别代入曲线C1,C2的直角坐标方程,得C1：ρ2+ρ2sin2θ-2=0,C2:ρ=2sin θ,
故C1的极坐标方程为ρ2=,
C
的极坐标方程为ρ=2sin θ。

2
(2)将θ=α(ρ≥0)代入C1的极坐标方程得｜OA|2=，
将θ=α(ρ≥0)代入C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α，
则｜OA|2+|OB｜2=+4sin2α=+4(1+sin2α）-4，
令t=1+sin2α，则t∈(1,2），
则｜OA｜2+｜OB|2=+4t—4，∵函数y=+4t—4在（1,2）上单调递增,
∴|OA|2+|OB|2∈（2,5)。

8.解:（1）由得
∴圆C的普通方程为(x—a）2+y2=a2,即圆心为(a,0),半径r=a.
∵ρsin=ρsin θcos+ρcos θsin=2,
把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入，得直线l的直角坐标方程为x+y—4=0.∵圆心到直线l的距离d=,∴|AB|=2=2,即a2-=2,
解得a=2或a=—10，∵0〈a<5，∴a=2.
(2）由(1）得,圆C：（x—2）2+y2=4，
把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得（ρcos θ—2）2+(ρsin θ）2=4,
化简得圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
依题意,设M(ρ1，θ1),N,
则-〈θ1<，-<θ1+<，∴—<θ1〈，
∴｜OM|+｜ON|=ρ
1+ρ
2
=4cos θ
1
+4cos=6cos θ
1
—2sin θ
1
=4cos，
∵-<θ
1
+〈，∴｜OM｜+｜ON｜的最大值为4。