(新高考)高考数学二轮复习 第二部分 讲重点 选填题专练 第10讲 函数与导数教学案 理-人教版高三

第10讲 函数与导数
调研一 函数的性质
■备考工具—————————————— 1．函数的单调性
①若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；
②若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； ③函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝
1
f (x )
的单调性相反； ④函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同．
2．函数的奇偶性与对称性 (1)偶函数和奇函数
①在公共定义域内：
a ．两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
b ．两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．
c ．一个奇函数和一个偶函数的积函数是奇函数．
②若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(3)函数的对称性常用的结论： ①函数y ＝f (x )关于x ＝
a ＋b
2
对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．
特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．
②函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． ③y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；
y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称．
(4)常见奇函数：
y ＝kx ，y ＝kx 3，y ＝kx 13，y ＝k x ，y ＝A sin x ，y ＝A tan x ，y ＝ln 1＋x 1－x ，y ＝ln(1＋x 2±1)，
y ＝1＋a x
1－a
x ，y ＝a x －a －x
. (5)常见偶函数：
y ＝c ，y ＝k |x |，y ＝kx 2，y ＝A cos x ，y ＝a x ＋a －x .
3．函数周期性 (1)周期函数的定义：
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)常见的几个结论： 周期函数y ＝f (x )满足：
①若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； ②若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； ③若f (x ＋a )＝
1
f (x )
，则函数的周期为2a ； ④若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |；
⑤若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |；
⑥若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期为4|b －
a |；
⑦若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； ⑧若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . ■自测自评——————————————
1．[2019·全国卷Ⅰ]已知a ＝log 20.2，b ＝20.2
，c ＝0.20.3
，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a
解析：∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2
＞1，c ＝0.20.3
∈(0,1)，∴a ＜c ＜b .故选B. 答案：B
2．[2019·天津卷]已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2
，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <c <b
B ．a <b <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b
解析：a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51
＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，
而c ＝0.50.2
<0.50
＝1，故c <b .所以a <c <b .
答案：A
3．[2019·全国卷Ⅲ]设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
解析：根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜＜
＜20
＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f ()＞f (
)＞f (log 31
4
)．
答案：C
4．[2019·湖北重点中学]已知函数f (x )＝(e x ＋e －x
)·ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－
a )＝( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：解法一：由题意，f (a )＋f (－a )＝(e a
＋e －a
)·ln
1－a 1＋a －1＋(e a ＋e －a
)ln 1＋a 1－a
－1＝(e a ＋e －a
)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln
1－a 1＋a ＋ln 1＋a 1－a －2＝－2，所以f (－a )＝－2－f (a )＝－3，故选D. 解法二：令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x
＝－(e x
＋e
－x
)ln 1－x
1＋x
＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.
答案：D
5．[2019·山西第一次联考]已知函数g (x )＝f (2x )－x 2
是奇函数，且f (1)＝2，则f (－1)＝( )
A ．－32
B ．－1 C.32
D.74
解析：令x ＝12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (1)－14，因为f (1)＝2，所以g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2－14＝74.令x ＝－12，则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝f (－1)－14
，f (－1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋14.因为g (x )是奇函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
＝－74
，
所以f (－1)＝－74＋14＝－3
2
.故选A.
答案：A
6．[2019·广东六校联考]定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－
x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2 01912＝( )
A.94
B.14 C ．－94
D ．－14
解析：函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数，又f (x )＝
f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，故函数f (x )
是以4为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 01912＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 020－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12.因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
122＝1
4，故f ⎝
⎛
⎭⎪⎫
2 01912＝－1
4，故选D.
答案：D
7．[2019·全国卷Ⅱ]设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－8
9
，则m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73
C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，83 解析：当－1＜x ≤0时，0＜x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝1
2(x ＋1)x ；当1＜x ≤2时，
0＜x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2＜x ≤3时，0＜x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22
f (x －2)＝22
(x －2)(x －3)，……由此可得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
…
12
(x ＋1)x ，－1＜x ≤0，
x (x －1)，0＜x ≤1，
2(x －1)(x －2)，1＜x ≤2，22
(x －2)(x －3)，2＜x ≤3，…
由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2＜x ≤3时，令22
(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝8
3，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.
答案：B
8．[2019·全国卷Ⅱ]已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax
.若f (ln2)＝8，
则a ＝________.
解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－e
－ax
.因为函数f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，
f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln2)＝e －a ln2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12
a ＝8，所以a ＝－3.
答案：－3
9．[2019·南昌重点中学]已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x
－1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________.
解析：∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，
∴f (－2 017)＝f (2 017)，又f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的函数，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 018)＝f (0)，又当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x
－1，∴f (1)＝e －1，f (0)＝0，∴f (－2 017)＋f (2 018)＝e －1.
答案：e －1
10．[2019·湖南四校调研]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54
≤x ≤0时，f (x )＝2x
＋a ，则f (16)＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的周期函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x
－1，所以f (－1)＝－12，则f (1)
＝－f (－1)＝12，故f (16)＝1
2
.
答案：1
2
调研二 函数的图象与零点、方程的根
■备考工具—————————————— 1．图象的变换 (1)平移变换：
①y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向左(＋a )或向右(－a )平移a 个单位得到；
②y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象沿y 轴方向向上(＋b )或向下(－b )平移b 个单位得到．
(2)对称变换：
①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称； ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称； ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称． (3)伸缩变换：
①y ＝kf (x )(k >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每一个点的纵坐标伸长(k >1)或缩短(0<k <1)为原来的k 倍而得到；
②y ＝f (kx )(k >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每一个点的横坐标伸长(0<k <1)或缩短(k >1)为原来的1
k
而得到．
(4)翻折变换：
①要得到y ＝|f (x )|的图象，可先画出y ＝f (x )的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；
②由于y ＝f (|x |)是偶函数，要得到y ＝f (|x |)的图象，可先画出y ＝f (x )的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．
2．利用函数的性质确定函数图象的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊线(如渐近线、对称轴等)；
(4)利用基本函数的图象确定所给函数的图象． 3．函数零点的等价关系
4．零点存在性定理
■自测自评——————————————
1．[2019·惠州调研]若函数f (x )＝a
x －2
，g (x )＝log a |x |，其中a >0，且a ≠1，f (2)g (2)<0，
则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象是( )
解析：由题意知f (x )＝a
x －2
是指数型函数，g (x )＝log a |x |是对数型函数，且是一个偶
函数，由f (2)g (2)<0，可得g (2)<0，故log a 2<0，故0<a <1，由此可以确定C 、D 两选项不正确，且f (x )＝a
x －2
是一个减函数，由此可知B 选项不正确，A 选项正确，故选A.
答案：A
2．[2019·山西八校联考]函数f (x )＝2|x |
－x 2
的图象大致为( )
解析：由题意知，当x >0时，f ′(x )＝2x
ln2－2x ，当x →0时，2x
→1,2x →0，f ′(x )>0，说明函数f (x )的图象在y 轴右侧开始时是递增的，故排除选项A ，B ，D ，选C.
答案：C
3．[2019·长沙、南昌高三第一次联考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x －1)×|2x
－1|，x <2，3－3
x －1，x >2，若函数g (x )＝f (x )－mx ＋2m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(－1,1)
D ．(1,3)
解析：函数g (x )＝f (x )－mx ＋2m 的零点即方程f (x )＝m (x －2)的根，∴m ＝f (x )
x －2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
|2x
－1|，x <2，3
x －1
，x >2，根据题意可知直线y ＝m 与函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|2x
－1|，x <2，3
x －1
，x >2的图象有三
个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图，由图可知当0<m <1时，两个函数图象有三个不同的交点，即函数g (x )＝f (x )－mx ＋2m 有三个不同的零点，故选B.
答案：B
4．[2019·河北九校联考]若函数f (x )＝kx －|x －e －x
|有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e
C ．(0,1)
D ．(0，e)
解析：令f (x )＝kx －|x －e －x
|＝0，得kx ＝|x －e －x
|，当x >0时，k ＝|x －e －x x ＝|1－1
x e
x ，
令g (x )＝1－
1x e x ，x >0，则g ′(x )＝1＋x x 2e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝1－
2
e
<0，g (1)＝1－1e >0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上存在一个a ，使得g (a )＝0，所以y ＝|g (x )|
的图象如图所示．由题意知，直线y ＝k 与y ＝|g (x )|的图象有两个交点，所以0<k <1，故选C.
答案：C
5．[2019·安徽五校联考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
|lg x |，110≤x ≤10，
－x 2－2x ，x ≤0，若
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0有五个不同实数根的概率为( )
A.13
B.3
8 C.25
D.112
解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
|lg x |，110≤x ≤10，－x 2－2x ，x ≤0
的图象如图1所示．
图1
设f (x )＝t ，则方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0有五个不同的实数根转化为方程t 2
－at ＋b ＝0在区间(0,1)和区间(－∞，0)上分别有一个实数根．令g (t )＝t 2
－at ＋b ，可得不等式
组⎩
⎪⎨
⎪⎧
g (0)<0，
g (1)>0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
b <0，
1－a ＋b >0，结合⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤
a ≤1，
－1≤b ≤1，画出图形，如图2，不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤a ≤1，
－1≤b ≤1
表示的区域为边长为2的正方形ABCD ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
b <0，
1－a ＋b >0，
－1≤a ≤1，
－1≤b ≤1
表
示的区域为图2中的阴影部分，所以方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0有五个不同实数根的概率P ＝3
24＝3
8
，故选B. 图2
答案：B
6．[2019·山西第一次联考]已知函数f (x )＝a (x －1)－sin x (a >0)恰有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 1－tan x 1＝( )
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．1
解析：函数f (x )＝a (x －1)－sin x (a >0)的零点，即方程a (x －1)－sin x ＝0(a >0)的根，即直线y ＝a (x －1)(a >0)和曲线y ＝sin x 交点的横坐标．画出直线y ＝a (x －1)(a >0)与曲线
y ＝sin x ，如图所示，则当直线y ＝a (x －1)(a >0)与曲线y ＝sin x 恰有两个公共点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，且x 1<x 2时，直线y ＝a (x －1)(a >0)与曲线y ＝sin x 相切，又直线y ＝a (x －1)(a >0)
恒过点(1,0)，所以切点为A (x 1，sin x 1)．对y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，于是cos x 1＝a ，所以sin x 1－0x 1－1
＝cos x 1，得x 1－tan x 1＝1.故选D.
答案：D
7．[2019·武昌调研]已知函数f (x )＝13x 3＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2，则f (x )的零点可能有( ) A ．1个
B ．1个或2个
C ．1个或2个或3个
D ．2个或3个
解析：因为f (x )＝13x 3＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2，所以f ′(x )＝x 2
＋ax ＋a ，令f ′(x )＝0，则Δ
＝a 2
－4a ＝(a －2)2
－4.
因为12x 2＋x ＋2＝12(x ＋1)2
＋32>0，所以令f (x )＝0，则a ＝－13
x 3
12
x 2
＋x ＋2，f (x )的零点转化
为直线y ＝a 与函数g (x )＝
－13
x 312
x 2
＋x ＋2的图象的交点．
g ′(x )＝－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2
＋x ＋2＋13
x 3(x ＋1)
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2＋x ＋22＝
－16x 4－23x 3－2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋22
，令g ′(x )＝0，即－16x 4－23x 3－2x 2＝0，整理得x 2(x 2
＋4x ＋12)＝0，
由于x 2
＋4x ＋12＝(x ＋2)2
＋8>0，所以x ＝0，所以g ′(x )≤0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以直线y ＝a 与函数g (x )的图象可能有1个交点．所以f (x )的零点可能有1个．故选A.
答案：A
8．[2019·江苏卷]设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－(x －1)2
，g (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
k (x ＋2)，0<x ≤1，－1
2
，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同
的实数根，则k 的取值范围是________．
解析：当x ∈(0,2]时，令y ＝1－(x －1)2
，则(x －1)2
＋y 2
＝1，y ≥0，即f (x )的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用f (x )是奇函数，且周期为4，画出函数f (x )在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g (x )(x ∈(0,9])的图象，如图，关于x 的方程f (x )＝g (x )在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知
g (x )(x ∈(0,1])与f (x )(x ∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y ＝k (x ＋
2)经过点(1,1)时，k ＝13，当直线y ＝k (x ＋2)与半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)相切时，|3k |k 2＋1＝
1，k ＝
24或k ＝－24(舍去)，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1
3，24.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1
3，24
调研三 导数及其应用
■备考工具—————————————— 一、导数的运算法则 1．基本初等函数的导数公式
2(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2
(g (x )≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，设
y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′＝f ′(u )·g ′(x )，其中f ′(u )与g ′(x )有意义．
4．导数的几何意义
(1)函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义，就是曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．用好这个条件是解决切线问题的关键，不知道切点时要先设切点．
(2)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．
(3)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
二、导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 在区间(a ，b )
内f ′(x )⎩⎪⎨⎪
⎧
大于零→f (x )在(a ，b )内单调递增等于零→f (x )在(a ，b )内为常函数
小于零→f (x )在(a ，b )内单调递减
2．由函数f (x )在区间[a ，b ]内单调递增(或递减)，可得f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x )>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．
三、导数与函数的极值与最值 1．判断函数极值的方法
一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，
(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．
(3)“极值点”不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1即为极大值点，极大值为
f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．
2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)求导函数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；
(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极小值，可列表完成．
3．函数的最值
在闭区间[a ，b ]上的连续函数y ＝f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值．在区间[a ，
b ]上的连续函数y ＝f (x )，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．
■自测自评——————————————
1．[2019·全国卷Ⅲ]已知曲线y ＝a e x
＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )
A ．a ＝e ，b ＝－1
B ．a ＝e ，b ＝1
C ．a ＝e －1
，b ＝1
D ．a ＝e －1
，b ＝－1
解析：因为y ′＝a e x
＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线
方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a e ＋1＝2，
b ＝－1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝e －1
，
b ＝－1.
答案：D
2．[2019·合肥调研]已知函数f (x )＝e x ＋e －x
＋2cos x ，其中e 为自然对数的底数，则对任意a ∈R ，下列不等式一定成立的是( )
A ．f (a 2
＋1)≥f (2a )
B ．f (a 2
＋1)≤f (2a ) C ．f (a 2＋1)≥f (a ＋1) D ．f (a 2＋1)≤f (a )
解析：依题意可知，f (x )＝e x ＋e －x ＋2cos x ＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，f ′(x )＝e
x
－e －x
－2sin x ，且f ′(0)＝0，令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e －x
－2cos x ，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0恒成立，所以f ′(x )＝e x －e －x
－2sin x 在[0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )是偶函数，(a 2
＋1)2
－4a 2
＝(a 2
－1)2
≥0，所以f (a 2
＋1)≥f (2a )，故选A.
答案：A
3．[2019·山西八校联考]已知函数f (x )＝(kx －2)e x
－x (x >0)，若f (x )<0的解集为(s ，
t )，且(s ，t )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1
e 2＋1，1e ＋2
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，1e 2＋1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1 解析：令f (x )<0，得kx －2<x e x ，令g (x )＝x e x (x >0)，则g ′(x )＝1－x
e
x (x >0)，令g ′(x )>0，
解得0<x <1，令g ′(x )<0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增．当
x →＋∞时，g (x )→0，作出g (x )及函数y ＝kx －2的大致图象如图所示．f (x )<0的解集为(s ，t )，且在(s ，t )上恰有两个整数解，由图可知，这两个整数解为1和2，从而有
⎩⎪⎨⎪⎧
2k －2<2
e 2，3k －2≥3e
3
，解得1e 3＋23≤k <1
e
2＋1.
答案：D
4．[2019·南昌重点中学]已知f (x )是定义在R 上的奇函数，记f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≥0时，满足f ′(x )－f (x )>0.若∃x ∈[－2，＋∞)，使不等式f [e x
(x 3
－3x ＋3)]≤f (a e x
＋x )成立，则实数a 的最小值为( )
A.2e －1 B ．2－2e
C ．1＋2e 2
D ．1－1e
解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，满足f ′(x )－f (x )>0，所以不妨设f (x )＝e x －e －x ，因为f (x )＝e x －e －x 是定义在R 上的单调递增函数，所以由f [e x (x 3
－3x ＋3)]≤f (a e x ＋x )得e x (x 3－3x ＋3)≤a e x ＋x ，所以不等式e x (x 3－3x ＋3)－a e x
－x ≤0在区间[－2，＋∞)上有解，所以a ≥x 3
－3x ＋3－x
e x 在区间[－2，＋∞)上有解，设g (x )＝x 3
－3x ＋
3－x e x ，x ∈[－2，＋∞)，则g ′(x )＝3x 2
－3＋x －1e x ＝(x －1)⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋3＋1e x ，当x ∈[－2,1)时，
g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在区间[－2,1)上是减函数，在区
间(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝1－1e ，所以a ≥1－1
e
，故选D.
答案：D
5．[2019·开封定位考试]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2
x ，k ∈[4，＋∞)，曲线y
＝f (x )上总存在两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，使曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫85，＋∞
B.⎝ ⎛⎭⎪
⎫165，＋∞
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫85，＋∞ D.⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫165，＋∞
解析：f ′(x )＝k ＋
4
k x －4
x 2－1(x >0，k ≥4)，由题意知，f ′(x 1)＝f ′(x 2)(x 1，x 2>0且x 1≠x 2)，
即k ＋4
k x 1－4x 21－1＝k ＋
4
k x 2－4x 22－1，化简得4(x 1＋x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x 1x 2，而x 1x 2<⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 222，所以4(x 1
＋x 2)<⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 222，即x 1＋x 2
>16k ＋
4k
对k ∈[4，＋∞)恒成立，令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2＝(k ＋2)(k －2)k
2
>0对k ∈[4，＋∞)恒成立，故g (k )在[4，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (4)＝5，所以16k ＋
4k
≤165，所以x 1＋x 2>16
5，故x 1＋x 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫
16
5，＋∞.
答案：B
6．[2019·安徽示范高中]设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－
x )－f (x )＝0，且x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )>2x .若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值
范围为( )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[2，＋∞)
解析：令G (x )＝f (x )－x 2
，则G ′(x )＝f ′(x )－2x ，x ∈[0，＋∞)时，G ′(x )＝f ′(x )－2x >0，∴G (x )在[0，＋∞)上是增函数．G (－x )＝f (－x )－(－x )2
＝f (x )－x 2
＝G (x )，∴G (x )为偶函数，G (x )在(－∞，0)上是减函数．
∵f (a －2)－f (a )≥4－4a ，∴f (a －2)－4＋4a －a 2
≥f (a )－a 2
，∴f (a －2)－(a －2)2
≥f (a )－a 2
，即G (a －2)≥G (a )，∴|a －2|≥|a |，∴a ≤1.
答案：A
7．[2019·广东六校联考]已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx 满足f (1＋x )＋f (1－x )＋22＝0，则f (x )的单调递减区间是________．
解析：函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx 满足f (1＋x )＋f (1－x )＋22＝0，即(1＋x )3
＋a (1＋x )
2
＋b (1＋x )＋(1－x )3
＋a (1－x )2
＋b (1－x )＋22＝0，整理得(2a ＋6)x 2
＋2a ＋2b ＋24＝0，即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＋6＝02a ＋2b ＋24＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3
b ＝－9，所以f (x )＝x 3－3x 2－9x ，f ′(x )＝3x 2
－6x －9，令
f ′(x )<0，解得－1<x <3，故函数f (x )的单调递减区间是(－1,3)．
答案：(－1,3)
8．[2019·浙江卷]已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3
－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－
f (t )|≤23
，则实数a 的最大值是________．
解析：f (t ＋2)－f (t )＝[a (t ＋2)3
－(t ＋2)]－(at 3
－t )＝2a (3t 2
＋6t ＋4)－2，因为存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，所以－23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23有解．因为3t 2
＋6t
＋4≥1，所以23(3t 2＋6t ＋4)≤a ≤43(3t 2
＋6t ＋4)有解，所以a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤43(3t 2＋6t ＋4)max ＝43，所以a
的最大值为4
3
.
答案：43。