第4课时 椭圆的定义

则动点 M 的轨迹是 A.椭圆 B.直线
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) C.圆 D.线段
x 2 y2 2.设 F 1，F 2 是椭圆 ＋ ＝1 的焦点 ,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2 的周长为 25 9 A.16 B.18 C.20 D.不确定
B
)
y2 x2 3.如果方程 2＋ ＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 a 的取值范围是 a a＋6 A.a>3 B.a<－2 C.a>3 或 a<－2 D.a>3 或－6<a<－2
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作业本 1.课本 49 页 习题 2.2 A组 1 x2 y2 2.若方程 ＋ ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的取值范围 25－m m ＋9 x 2 y2 3.已知椭圆 ＋ ＝1 上一点 P 与椭圆两焦点 F 1、F 2 的连线夹角为直角， 49 24 求| PF 1| · | PF 2| 的值 x 2 y2 4.点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点， F 1 和 F 2 是焦点， 且∠F 1PF 2＝30°， 求△F 1PF 2 5 4 的面积. 完成练习册 22 页 例 1 变式 1 24 页 课堂练习 1,2,3,4,5 26 页 课堂练习 例 3 变式 3
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距离的和等于常数2a(>|F1F2|)的点 1．椭圆：平面内与两个定点 F 1，F 2 的
的轨迹叫做椭圆(ellipse)．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离 叫做椭圆的 焦距(=2c) 2．椭圆的标准方程
预习检测
x2 y2 (－c,0)(c,0) ①焦点在 x 轴上：标准方程a2＋b2＝1 (a>b>0)焦点 系数 a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 (a最大) y2 x2 ②焦点在 y 轴上：标准方程 2＋ 2＝1 (a>b>0) 焦点 (0，－c)(0，c)

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设 F1 MF2 ,则焦点三角形的面积 S b 2 tan
问题探究
椭圆的定义的简单应用---求焦点三角形的面积 x 2 y2 例 1 已知椭圆的方程为 ＋ ＝1，椭圆上有一点 P 满足 4 3 ∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2 的面积．
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达标检测
1.设 F 1，F 2 为定点，|F 1F 2| ＝6，动点 M 满足 |MF 1| ＋| MF 2|＝8，
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x2 y2 a2＋b2＝1 (a>b>0)
y2 x2 ＋ ＝1 (a>b>0) a2 b2
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问题探究
思考 1
椭圆的定义
在椭圆定义中，将“大于 |F 1F 2|”改为“等于 |F 1F 2|”或“小于
|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
答 当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段 F1F2；当距离之和小于|F1F2|
时，动点的轨迹不存在．
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问题探究
椭圆的定义
思考 2 命题甲：动点 P 到两定点 A 、B 的距离之和| PA| ＋|PB |＝ 2a (a>0 且 a 为常数 )；命题乙：点 P 的轨迹是椭圆，且 A 、B 是椭圆的焦点，则 命题甲是命题乙的( B )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 x 2 y2 思考 3 如果椭圆 ＋ ＝1 上一点 P 到焦点 F 1 的距离等于 6， 那么点 100 36 14 P 到另一个焦点 F 2 的距离是 ________ ． 思考 4 已知 F 1，F 2 是定点，| F 1F 2| ＝8，动点 M 满足| MF 1|＋| MF 2| ＝8， 线段 则动点 M 的轨迹是 x 2 y2 思考 5 设 P 是椭圆 ＋ ＝1 上一点，P 到两焦点 F 1，F 2 的距离之差 16 12 为 2，则△PF 1F 2 是 直角三角形 5
问题探究
椭圆的标准方程
思考
椭圆方程中的 a、 b 以及参数 c 有什么意义， 它们满足
什么关系？
椭圆方程中， a 表示椭圆上的点 M 到两焦点 间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆： a、b、c 都是正数)恰构成一个直角三角形的三 条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距.a、 b、c 始终满足关系式 a2＝b2＋c2.
系数 a、b、c 的关系 c2＝a2－b2(a最大)
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a
b
问题探究
椭圆的定义
[椭圆的定义 ] 平面内与两个定点 F 1、 F 2 的距离之和是常数 (大于|F 1F 2|)的点的轨 迹．两个定点 F 1、 F 2 称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为 2c.若设 M 为 椭圆上的任意一点，则|MF 1|＋|MF 2|＝2a.
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D
)
x 2 y2 4.设椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点为 F 1、F 2，点 P 在椭圆上，若线段 PF 1 的 12 3 中点 Q 恰好在 y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 9 5.设定点 F 1 0，－3)、F 2 0,3)，动点 P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a＋ a>0)， a 则点 P 的轨迹是 ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是思考2方程表示焦点在x轴上的椭圆求实数k取值范围
【学习目标】 1.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 2.掌握椭圆定义的简单应用----求焦点三角形的面积
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m≠ n； 椭圆的标准方程 2 m >0， x2 y m >0 ， 思考 1 方程 ＋ ＝1 何时表示椭圆？何时表示焦点在 x 轴上椭圆？ n >0 ， ② 表示焦点在 x 轴上的椭圆的条件是 m n n>0， ＝1 表示椭圆的条件是 m >n ； 何时表示焦点在 m ≠n ； y 轴上椭圆？
m
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归纳延伸
1.平面内到两定点 F 1， F 2 的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a， 当 2a>|F 1F 2|时，轨迹是椭圆； 当 2a＝|F 1F 2| 时，轨迹是一条线段 F 1F 2； 当 2a<|F 1F 2|时，轨迹不存在. 2.解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、 三角形中的正 弦定理、余弦定理等知识．
n
问题探究
m >0， m >0， m >0， 表示椭圆的条件是 n >0， ③表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n >0， n >0， 焦点在 x 轴上的椭圆的条件是 m ≠n ； m >n ； n >m . x2 y2 ， m >0 m >0 思考 2 方程 － ＝ 1， 表示焦点在 x 轴上的椭圆，求实数 k 的 k －4 k n－ >010 ， x 轴上的椭圆的条件是 焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n >0， m >n ； n >m . >0 2 ， x 2 my 思考 3 若方程 － n2 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的 y 轴上的椭圆的条件是 ， m m >0 － 2
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x 2 y2 6.已知椭圆 ＋ ＝1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2， N 是 MF 25 9 的中点，O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是________. x 2 y2 7.椭圆 ＋ ＝1 的焦点为 F 1、F 2，点 P 为其上的动点，当∠F 1PF 2 为钝角 9 4 时，求点 P 横坐标的取值范围.
取值范围；
取值范围；
n >m .
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问题探究
椭圆的定义的简单应用---求焦点三角形的面积
[焦点三角形 ]
椭圆上一点 M 与椭圆的两焦点 F 1、F 2 构成的
三角形称为焦点三角形， 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要 充分利用椭圆的定义、 三角形中的正弦定理、 余弦定理等知识． [思考] 焦点三角形的周长等于多少？