备战2020年中考考点讲练案-锐角三角形与解直角三角形(教师版)

第17讲 锐角三角形与解直角三角形
【考点导引】
1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算． 2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形． 3．利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题. 【难点突破】
1. 在直角三角形中，由于sinA=
斜边的对边A ∠；cosA=斜边
的邻边
A ∠；
tanA=
的邻边
的对边
A A ∠∠，若已知直角三角形两边的长，可根据勾股定理求出第三边，再利用这个关系可求出该
直角三角形任意一个锐角的正弦、余弦和正切；若已知一锐角的三角函数值与一边长，可根据锐角三角函数定义、勾股定理、设“K”求该直角三角形的其余两边． 2. 利用三角函数解决实际问题的步骤是：
(1) 审题，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问题．(2)认真答案题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程(组)来转化为基本类型，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．(3) 根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形．(4)按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位．对非直角三角形的求解，可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决，这种方法叫“化斜为直”法．通常以特殊角为一锐角，构造直角三角形．若条件中含有线段的比或锐角三角函数值，也可以设未知数，列方程求解． 【解题策略】
(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解．
(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况． 【典例精析】
类型一：锐角三角函数的定义
【例1】（2019•浙江金华•3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）
A. ∠BDC=∠α
B. BC=m·tanα
C. AO=
D. BD=
【答案】C
【解析】解：A.∵矩形ABCD，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠BDC=∠BAC=α，
故正确，A不符合题意；
B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，
∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；
C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，
∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=
故错误，C符合题意；
D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，
故正确，D不符合题意；
故答案为：C.
类型二：特殊角的三角函数值
【例2】（2019•湖南怀化•4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
类型三：解直角三角形
【例3】（2019•山东省德州市•4分）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得
∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC 的长度约为 1.02 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【答案】1.02．
【解答】解：由题意可得： ∵∠ABO ＝70°，AB ＝6m ， ∴sin70°＝
AO AB ＝6
AO
≈0.94， 解得：AO ＝5.64（m ）， ∵∠CDO ＝50°，DC ＝6m ， ∴sin50°＝
6
CO
≈0.77， 解得：CO ＝4.62（m ）， 则AC ＝5.64﹣4.62＝1.02（m ）， 答：AC 的长度约为1.02米． 故答案为：1.02．
类型四：解直角三角形在实际中的应用
【例4】（2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ． （1）求坐垫E 到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长． （结果精确到
0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【答案】（1）99.5cm；（2）3.9cm．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H＝80×0.8＝64，
则E′C＝
'
sin
E H
ECH
∠
＝
64
sin64︒
≈71，1，
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．
【真题检测】
1. （2019•山东威海•3分）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角
为20°，山高BC ＝2千米．用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A ．
【解答】解：在△ABC 中，sinA ＝sin20°＝BC
AB
， ∴AB ＝
sin 20BC ︒＝2
sin 20︒
，
∴按键顺序为：2÷sin20＝ 故选：A ．
2. 2019湖北宜昌3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）
A ．
4
3
B ．
34
C ．
35
D ．
45
【答案】D ．
【解答】解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC ＝90°， ∴AC ＝
22AD CD +＝2234+＝5．
∴sin ∠BAC ＝＝
4
5
． 故选：D ．
3. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠
BAC，若tan∠BAC＝2
5
，则此斜坡的水平距离AC为（）
A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝2
5
，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝2
5
=
BC
AC
=
30
AC
，
解得，AC＝75，
故选：A．
4. （2019•浙江衢州•4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米。

当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。

参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】 1.5
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，
∵AC=2，∠ACD=50°，
∴sin50°= ，
∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.
故答案为：1.5.
5. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC中，BC＝2
6 ，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为
________.
【答案】2
【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC=x 2，则AB=x 2，因为∠C=45°，所以AD=AC=x ，则由勾股定理得BD=
x AD AB 322=-，因为AB=26+，所以AB=263+=+x x ,则x=2.则AC=2.
6. （2019•甘肃•3分）在△ABC 中∠C ＝90°，tanA ＝
，则cosB ＝
．
【答案】．
【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解． ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝，
设a ＝
x ，b ＝3x ，则c ＝2
x ，
∴cosB ＝＝． 故答案为：．
7. （2019•湖南衡阳•3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 63 ． 【答案】63．
【解答】解：如图，圆半径为6，求AB 长． ∠AOB ＝360°÷3＝120°
连接OA ，OB ，作OC ⊥AB 于点C ， ∵OA ＝OB ，
∴AB ＝2AC ，∠AOC ＝60°， ∴AC ＝OA×sin60°＝6×
3
3， ∴AB ＝2AC ＝3， 故答案为：3．
8. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【答案】120
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝1
2
∠BOD＝
1
2
×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120
9.（2019•浙江金华•6分）计算：|-3|-2tan60°+ +( )-1【答案】6
【解析】解：原式=3-2 +2 +3=6.
10. （2019湖南益阳8分）计算：4sin60°+（﹣2019）0﹣（1
2
）﹣1+|﹣23|．
【答案】43﹣1．
【解答】解：原式＝4×
3
2
+1﹣2+23＝43﹣1．
11. （2019•湖北十堰•7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
【答案】BC的长（3）m．
【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF3＝3
∴BC＝BE+EF+CF＝33
∴BC＝（3）m，
答：BC的长（9+63）m．
12. （2019•甘肃省庆阳市•8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取1.73）．
【答案】最佳
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝DF
CD
＝
15
30
＝
1
2
，
∴∠DCF＝30°，
2020年中考考点讲练案（精品文档）∴此时台灯光线为最佳．
11。