山西省(临汾市尧都区兴国实验校2020-2021学年八年级数学第二学期期末考试试题含解析
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山西省(临汾市尧都区兴国实验校2020-2021学年八年级数学第二学期期末考试试题注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:①A,B两城相距300千米;②乙车比甲车晚出发1小时,
却早到1.5小时;③乙车出发后2.5小时追上甲车;④当甲、乙两车相距40千米时,t
=3
2
或
t=
7
2
,其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.不等式组
11
1
32
4(1)2()
x
x
x x a
-
⎧
-<-
⎪
⎨
⎪-≤-
⎩
有3个整数解,则a的取值范围是()
A.65
a
-≤<-B.65
a
-<≤-C.65
a
-<<-D.65
a
-≤≤-
3.正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC边上,AEF是等边三角形.以下结论:①EC FC
=;②75
AED
∠=︒;③2
=
CF AF;④EF的垂直平分线是直线AC.正确结论个数有()个.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,在△ABC中,BD、CE是△ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点,
连结AO .若AO =6cm ,BC =8cm ,则四边形DEFG 的周长是( )
A .14cm
B .18 cm
C .24cm
D .28cm
5.用两个全等的直角三角形拼下列图形:(1)平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形);(2)矩形;(3)正方形;(4)等腰三角形,一定可以拼成的图形是 ( )
A .(1)(2)(4)
B .(2)(3)(4)
C .(1)(3)(4)
D .(1)(2)(3)
6.如图所示,▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,AE EB =,3OE =,5AB =,▱ABCD 的周长( )
A .11
B .13
C .16
D .22
7.一次函数(0)y kx b k =+≠在平面直角坐标系内的图像如图所示,则k 和b 的取值范围是( )
A .0k >,0b >
B .k 0<,0b <
C .k 0<,0b >
D .0k >,0b <
8.已知△ABC 的三边分别是a ,b ,c ,且满足|a -25|+2b -+(c -4)2=0,则以a ,b ,c 为边可构成( ) A .以c 为斜边的直角三角形
B .以a 为斜边的直角三角形
C .以b 为斜边的直角三角形
D .有一个内角为30的直角三角形
9.如表是某公司员工月收入的资料.
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是( )
A .平均数和众数
B .平均数和中位数
C .中位数和众数
D .平均数和方差
10.下列运算错误的是( )
A .235⋅=
B .236⋅=
C .623÷=
D .2183232=⨯=
二、填空题(每小题3分,共24分) 11.如图,在矩形ABCD 中,∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ,∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ,当点F 是CD 的中点时,若AB =4,则BC =_____.
12.函数y=kx+b 的图象平行于直线y=-2x ,且与y 轴交于点(0,3),则k=______,b=____.
13.如图,在矩形ABCD 中,AB =5,AD =9,点P 为AD 边上点,沿BP 折叠△ABP ,点A 的对应点为E ,若点E 到矩形两条较长边的距离之比为1:4,则AP 的长为_____.
14.已知直线y =kx +b 与y =2x +1平行,且经过点(﹣3,4),则函数y =kx +b 的图象可以看作由函数y =2x +1的图象向上平移_____个单位长度得到的.
15.已知一组数据4,4,5,x ,6,6的众数是6,则这组数据的中位数是_____.
16.菱形的周长为8cm,一条对角线长2cm,则另一条对角线长为 cm.。
17.将一次函数y =﹣2x ﹣1的图象向上平移3个单位,则平移后所得图象的解析式是_____.
18.2x-3>- 5的解集是_________.
三、解答题(共66分)
19.(10分)俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情,某学校划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用.已知用1000 元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同,甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元. (1)求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元?
(2)学枝准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个,但总费用不超过1610元,那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球?
20.(6分)如图,在平行四边形ABCD 中,边AB 的垂直平分线交AD 于点E ,交CB 的延长线于点F ,连接AF ,BE.
(1)求证:△AGE≌△BGF;
(2)试判断四边形AFBE 的形状,并说明理由.
21.(6分)按指定的方法解下列一元二次方程:
(1)22410x x ++=(配方法) (2)2312042
x x --=(公式法) 22.(8分)如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为CD 的中点,连接AE 、BE ,BE ⊥AE ,延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证:△ABF 是等腰三角形.
23.(8分)如图,在△ABC 中,AB=10,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,若AD=8,BD=6,求AC 的长.
24.(8分)如图,在□ABCD 中,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,点F 在边CD 上,CF =AE ,连接AF ,BF.
(1)求证:四边形BFDE 是矩形
(2)若CF =6,BF =8,DF =10,求证:AF 是∠DAB 的平分线.
25.(10分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,过点C 的直线MN ∥AB ,D 为AB 边上一点,过点D 作DE ⊥BC ,交直线MN 于E ,垂足为F ,连接CD 、BE .
(1)求证:CE =AD ;
(2)当D 在AB 中点时,四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由.
26.(10分)如图,O 是矩形ABCD 对角线的交点,DE AC ,CE BD .
(1)求证:四边形OCED 是菱形;
(2)若120AOD ∠=︒,3DE =,求矩形ABCD 的面积.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】
【分析】
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A 城的距离y 与时间t 的关系式,可求得两函数图象的交点,进而判断,再令两函数解析式的差为40,可求得t ,可得出答案.
【详解】
由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ,故①正确;
甲行驶的时间为5小时,而乙是在甲出发1小时后出发的,且用时3小时,即比甲早到1小时,故②错误; 设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 甲=kt ,
把(5,300)代入可求得k =60,
∴y 甲=60t ,
把y =150代入y 甲=60t ,可得:t =2.5,
设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 乙=mt +n ,
把(1,0)和(2.5,150)代入可得02.5150m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得100100m n =⎧⎨=-⎩
, ∴y 乙=100t ﹣100,
令y甲=y乙可得:60t=100t﹣100,解得t=2.5,
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5,
此时乙出发时间为1.5小时,即乙车出发1.5小时后追上甲车,故③错误;令|y甲﹣y乙|=40,可得|60t﹣100t+100|=40,即|100﹣40t|=40,
当100﹣40t=40时,可解得t=3
2
,
当100﹣40t=﹣40时,可解得t=7
2
,
又当t=2
3
时,y甲=40,此时乙还没出发,
当t=13
3
时,乙到达B城,y甲=260;
综上可知当t的值为3
2
或
7
2
或
2
3
或t=
13
3
时,两车相距40千米,故④不正确;
故选A.
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用,掌握一次函数图象的意义是解题的关键,学会构建一次函数,利用方程组求两个函数的交点坐标,属于中考常考题型.
2、B
【解析】
分析:解不等式组,可得不等式组的解,根据不等式组有3个整数解,可得答案.
详解:不等式组
11
1
32
412
x
x
x x a
-
⎧
--
⎪
⎨
⎪-≤-
⎩
<
()()
,由
1
3
x-
﹣
1
2
x<﹣1,解得:x>4,
由4(x﹣1)≤2(x﹣a),解得:x≤2﹣a,故不等式组的解为:4<x≤2﹣a,
由关于x的不等式组
11
1
32
412
x
x
x x a
-
⎧
--
⎪
⎨
⎪-≤-
⎩
<
()()
有3个整数解,
得:7≤2﹣a<8,解得:﹣6<a≤﹣1.
故选B.
点睛:本题考查了解一元一次不等式组,利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关键.3、C
【解析】
【分析】
由题意可证△ABF≌△ADE,可得BF=DE,即可得EC=CF,由勾股定理可得EF EC,由平角定义可求∠AED =75°,由AE=AF,EC=FC可证AC垂直平分EF,则可判断各命题是否正确.
【详解】
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠C=∠D=∠DAB=90°,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF=EF,∠EAF=∠AEF=60°,
∵AD=AB,AF=AE,
∴△ABF≌△ADE,
∴BF=DE,
∴BC−BF=CD−DE,
∴CE=CF,故①正确;
∵CE=CF,∠C=90°;
∴EF,∠CEF=45°;
∴AF CE,
AF,故③错误;
∴CF=
2
∵∠AED=180°−∠CEF−∠AEF;
∴∠AED=75°;故②正确;
∵AE=AF,CE=CF;
∴AC垂直平分EF;故④正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质,线段垂直平分线的判定,熟练运用这些性质和判定是解决本题的关键.
4、A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析:∵点F、G分别是BO、CO的中点,BC = 8cm
∴FG=BC=4 cm
∵BD、CE是△ABC的中线
∴DE=BC=4 cm
∵点F、G、E、D分别是BO、CO、AB、AC的中点,AO = 6cm
∴EF=AO=3 cm,DG=AO=3 cm
∴四边形DEFG的周长="EF+FG+DG+DE=14" cm
故选A
考点:1、三角形的中位线;2、四边形的周长
5、A
【解析】
试题分析:根据全等的直角三角形的性质依次分析各小题即可判断.
用两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形
故选A.
考点:图形的拼接
点评:图形的拼接是初中数学平面图形中比较基础的知识,,在中考中比较常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度一般.
6、D
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线,可进一步求解.
【详解】
因为▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE EB
,
所以OE是三角形ABD的中位线,
所以AD=2OE=6
所以▱ABCD的周长=2(AB+AD)=22
故选D
【点睛】
本题考查了平行四边形性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
7、A
【解析】
【分析】
根据一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过的象限与系数的关系进行解答即可.
【详解】
∵一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、三象限,
∴k>0,b>0.
故选A.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系,解题的关键是掌握一次函数图象与系数的关系.
8、B
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求得a 、b 、c 的数值,利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状即可.
【详解】
解:由题意可得:a =b =2,c =4,
∵22+42=20,(2=20,
即b 2+c 2=a 2,
所以△ABC 是以a 为斜边的直角三角形.
故选B .
【点睛】
本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理,根据非负数的性质求得a 、b 、c 的值是解决此题的关键. 9、C
【解析】
【分析】
求出数据的众数和中位数,再与25名员工的收入进行比较即可.
【详解】
该公司员工月收入的众数为3300元,在25名员工中有13人这此数据之上,
所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平;
因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人,
所以该公司员工月收入的中位数为3400元;
由于在25名员工中在此数据及以上的有13人,
所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平;
故选C .
【点睛】
此题考查了众数、中位数,用到的知识点是众数、中位数的定义,将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数,众数即出现次数最多的数据.
10、A
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质逐个判断即可.
【详解】
解:A
B =
C ,故本选项不符合题意;
D =
故选:A .
【点睛】 本题考查了二次根式的乘除和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的乘法法则进行化简是解此题的关键,注意
0,b 0)=.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
【解析】
分析:
如下图,延长EF 与BC 的延长线相交于点H ,由已知条件易证:AE=AB=4,BE=,△DEF ≌△CHF ,从而可得
DE=CH ,∠DEF=∠H=∠BEH ,从而可得BH=BE=BC=x ,则AD=x ,由此可得
DE=AD-AE=4x -,CH=BH-BC=x ,由此可得4x x -=,解此方程即可求得BC 的值.
详解:
如下图,延长EF 与BC 的延长线相交于点H ,设BC=x ,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=∠HCF=∠ABC=90°,CD=AB=4,AD=BC=x,AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,∠DEF=∠H,
∵BE平分∠ABC,
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE,
∴AE=AB=4,
∴BE=22
4442,DE=AD-AE=4
x-,
∵点F是DC的中点,EF平分∠BED,
∴DF=FC,∠DEF=∠BEF=∠H,
∴△DEF≌△CHF,BH=BE=42,
∴DE=CH=BH-BC=42x
-,
∴442
x x
-=-,解得:222
x=+,
∴BC=222
+.
点睛:“作出如图所示的辅助线,由已知条件证得BH=BE=2,通过证△DEF≌△CHF得到DE=CH,从而得到AD-AE=BH-BC”是解答本题的关键.
12、-2 3
【解析】试题解析:∵y=kx+b的图象平行于直线y=−2x,
∴k=−2,
则直线y=kx+b的解析式为y=−2x+b,
将点(0,3)代入得:b=3,
故答案为:−2,3.
13、556
,52 3
【解析】
【分析】
分点E在矩形内部,EM:EN=1:4,或EM:EN=4:1,点E在矩形外部,EN:EM=1:4,三种情况讨论,根据折叠的性质和勾股定理可求AP的长度.
【详解】
解:过点E作ME⊥AD,延长ME交BC与N,
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,且ME⊥DA
∴EN⊥BC且∠A=90°=∠ABC=90°
∴四边形ABNM是矩形
∴AB=MN=5,AM=BN
若ME:EN=1:4,如图1
∵ME:EN=1:4,MN=5
∴ME=1,EN=4
∵折叠
∴BE=AB=5,AP=PE
在Rt△BEN中,BN=22
BE EN
-=3
∴AM=3
在Rt△PME中,PE2=ME2+PM2
AP2=(3﹣AP)2+1
解得AP=5 3
若ME:EN=4:1,则EN=1,ME=4,如图2
在Rt△BEN中,BN22
BE EN
-6
∴AM=26
在Rt△PME中,PE2=ME2+PM2 AP2=(26﹣AP)2+16
解得AP=
56
若点E在矩形外,如图
∵EN:EM=1:4
∴EN=5
3
,EM=
20
3
在Rt△BEN中,BN22
BE EN
2 3
∴AM
102
在Rt△PME中,PE2=ME2+PM2
AP2=(AP 102
)2+(
20
3
)2
解得:AP=2
故答案为5
3
56
2
【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质和勾股定理,注意分情况讨论是解题关键.
14、1
【解析】
【分析】
依据直线y=kx+b与y=2x+1平行,且经过点(-3,4),即可得到直线解析式为y=2x+10,进而得到该直线可以看作由函数y=2x+1的图象向上平移1个单位长度得到的.
∵直线y=kx+b 与y=2x+1平行,
∴k=2,
又∵直线经过点(-3,4),
∴4=-3×
2+b , 解得b=10,
∴该直线解析式为y=2x+10,
∴可以看作由函数y=2x+1的图象向上平移1个单位长度得到的.
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与几何变换,解决问题的关键是利用待定系数法求得直线解析式.
15、1.1
【解析】
【分析】
这组数据4,4,1,x ,6,6的众数是6,说明6出现的次数最多,因此6x =,从小到大排列后,处在第3、4位两个数据的平均数为()562 5.5+÷=,因此中位数是1.1.
【详解】 解:这组数据4,4,1,x ,6,6的众数是6,
6x =,
()562 5.5+÷=,
故答案为:1.1.
【点睛】
考查众数、中位数的意义及求法,明确众数、中位数的意义,掌握众数、中位数的求法是解决问题的前提. 16、32
【解析】解:先根据菱形的四条边长度相等求出边长,再由菱形的对角线互相垂直平分根据勾股定理即可求出另一条对角线的长。
17、y =﹣1x+1
【解析】
【分析】
根据平移法则上加下减可得出解析式.
由题意得:平移后的解析式为:y=﹣1x﹣1+3=﹣1x+1.
故答案为:y=﹣1x+1.
【点睛】
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标左移加,右移减;纵坐标上移加,下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减,上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.
18、x>-1.
【解析】
【分析】
先移项,再合并同类项,化系数为1即可.
【详解】
移项得,2x>-5+3,
合并同类项得,2x>-2,
化系数为1得,x>-1.
故答案为:x>-1.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.
三、解答题(共66分)
19、(1)甲种品牌的足球的单价为50元/个,乙种品牌的足球的单价为1元/个;(2)这所学校最多购买2个乙种品牌的足球.
【解析】
【分析】
(1)设甲种品牌的足球的单价为x元/个,则乙种品牌的足球的单价为(x+30)元/个,根据数量=总价÷单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设这所学校购买m个乙种品牌的足球,则购买(25-m)个甲种品牌的足球,根据总价=单价×数量结合总费用不超过1610元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
【详解】
(1)设甲种品牌的足球的单价为x元/个,则乙种品牌的足球的单价为(x+30)元/个,
根据题意得:1000160030
x x =+, 解得:x =50,
经检验,x =50是所列分式方程的解,且符合题意,∴x +30=1.
答:甲种品牌的足球的单价为50元/个,乙种品牌的足球的单价为1元/个.
(2)设这所学校购买m 个乙种品牌的足球,则购买(25–m )个甲种品牌的足球,
根据题意得:1m +50(25–m )≤1610,解得:m ≤2.
答:这所学校最多购买2个乙种品牌的足球.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
20、 (1)证明见解析(2)四边形AFBE 是菱形
【解析】
试题分析:(1)由平行四边形的性质得出AD ∥BC ,得出∠AEG=∠BFG ,由AAS 证明△AGE ≌△BGF 即可;
(2)由全等三角形的性质得出AE=BF ,由AD ∥BC ,证出四边形AFBE 是平行四边形,再根据EF ⊥AB ,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠AEG=∠BFG ,∵EF 垂直平分AB ,∴AG=BG ,在△AGEH 和△BGF 中,∵∠AEG=∠BFG ,∠AGE=∠BGF ,AG=BG ,∴△AGE ≌△BGF (AAS );
(2)解:四边形AFBE 是菱形,理由如下:
∵△AGE ≌△BGF ,∴AE=BF ,∵AD ∥BC ,∴四边形AFBE 是平行四边形,又∵EF ⊥AB ,∴四边形AFBE 是菱形. 考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;探究型.
21、(1)1212x ,2212
x ;(2)143x =,243x = 【解析】
【分析】
(1)先把二次项系数化为1,方程两边加上一次项系数一半的平方,把左边变成完全平方式,然后用直接开平方法解即可;
(2)首先确定a ,b ,c 的值,再计算出b 2-4ac 的值判断方程方程是否有解,若有解,代入公式即可求解.
【详解】
(1)22410x x ++= 21202
x x ++=
2122
x x +=- 212+12
x x += 21(+1)2
x =
∴12
x +=± 解得,1212x ,2212x ; (2)2312042
x x --= 在这里,34a =
,b=-2,12
c =- 223111=4(2)4()0422b ac ∆-=--⨯⨯-=>
∴24x =
⨯
解得,1x
,2x = 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的方法,求根公式法适用于任何一元二次方程,方程20ax bx c ++
=的解为:
240)2b x b ac a
-±=-≥ 22、详见解析.
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△ADE ≌△FCE ,由全等三角形的性质可得AE=EF ,已知BE ⊥AE ,根据等腰三角形三线合一的性质即可证明△ABF 是等腰三角形
【详解】
∵AD ∥BC ,
∴∠ADC=∠ECF ,
∵E 是CD 的中点,
∴DE=EC .
在△ADE与△FCE中,
ADC ECF DE EC
AED CEF
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
=
=
=
,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴AE=EF,
∵BE⊥AE,
∴△ABF是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质,利用全等三角形的性质证得AE=EF是解决问题的关键.
23、AC=1
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理的逆定理证明△ADB是直角三角形,再证明△ADB≌△ADC即可解决问题.
【详解】
在△ABD中,∵AD2+BD2=82+62=10,AB2=12=10,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴∠ADB=∠ADC.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
在△ADB和△ADC中,∵
BAD CAD
AD AD
ADB ADC
∠∠
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,∴△ADB≌△ADC(ASA),∴AC=AB=1.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是勾股定理的逆定理的正确应用,属于中考常考题型.
24、见解析
【解析】
分析:(1)由平行四边形的性质和已知条件得出BE=DF,证明四边形BFDE为平行四边形,再由DE⊥AB,即可得出结论;
(2)由矩形的性质和勾股定理求出BC,得出AD=BC=DF,证出∠DAF=∠DFA,再由平行线的性质即可得出结论.详解:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵CF=AE,
∴BE=DF.∴四边形BFDE为平行四边形.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°
.∴四边形BFDE是矩形.
(2)∵四边形BFDE是矩形,
∴∠BFD=90°.
∴∠BFC=90°
.在Rt△BFC中,由勾股定理得BC=10.
∴AD=BC=10.
又∵DF=10,
∴AD=DF
.∴∠DAF=∠DFA.
∵AB∥CD,
∴∠DFA=∠FAB.
∴∠DAF=∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分线.
点睛:本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明四边形BFDE是矩形是解决问题的关键.
25、(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
1)先求出四边形ADEC是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可;
(2)求出四边形BECD是平行四边形,求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可.
【详解】
(1)证明:∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD;
(2)四边形BECD 是菱形,理由如下:
∵D 为AB 中点,
∴AD =BD ,
∵CE =AD ,
∴BD =CE ,
∵BD ∥CE ,
∴四边形BECD 是平行四边形,
∵∠ACB =90°,D 为AB 中点,
∴CD =BD ,
∴四边形BECD 是菱形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定,直角三角形的性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力.
26、 (1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)先证明四边形OCED 是平行四边形,再证明OD=OC ,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定; (2)结合题意,根据∠AOD=120°得到CDO 为等边三角形,推导出3CD =,再结合题意得到AC=6,利用勾股定
理求出AD 长,矩形面积=AD×
CD . 【详解】
(1)DE AC ,CE BD ,∴四边形OCED 是平行四边形.
O 是矩形ABCD 的对角线的交点,
OD OC ∴=,∴平行四边形OCED 是菱形;
(2)120AOD ∠=︒,60COD ∴∠=︒,CDO ∴△为等边三角形,故3CD =.
AO DO =
,30DAC ∴∠=︒,26AC CD ∴==,AD ∴==,
故S 矩形ABCD AD CD =⋅=
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定以及勾股定理,解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定以及勾股定理.。