【2020年数学高考】福建省龙岩市2020届高三下学期教学质量检查(2月)数学(理).doc

龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|A x y ==，{|2,}x
B y y x A ==∈，则A
B =（ ）
A ．(,1)-∞
B ．[0,1]
C ．(0,1]
D ．[0,2) 2.已知函数3
2
()2
b f x x x =+
，则0b <是()f x 在0x =处取得极小值的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3.已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①12z z =；②1212z z z z =；③12z z R +∈；④2
2
12z z <，一定正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②③
D ． ①②③ 4.sin ()((,0)(0,))x
f x x x
ππ=
∈-大致的图象是（ ）
A ．
B ． C. D ． 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ．14 B
．6+
．8+ D
．8+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则
11
x y
+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．4
8.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值
为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
9.已知抛物线2
4y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）
A C D 或
10.已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为6
x π
=-，且12()()4f x f x ⋅=-，则12
x x +的最小值为（ ）
A ．
3π B ．23π C ．2
π
D ．34π
11.在四面体ABCD 中，BCD ∆与ACD ∆均是边长为4的等边三角形，二面角A CD B --的大小
为60，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．
2089π B ．529π C ．643π D ．523
π
12.记函数()2x
f x e
x a -=--，若曲线3
([1,1])y x x x =+∈-上存在点00(,)x y 使得00()f y y =，则
a 的取值范围是（ ）
A ．2
2(,6][6,)e e --∞-++∞ B ．22[6,6]e e --+
C ．2
2(6,6)e
e --+ D ．22(,6)(6,)e e --∞-++∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ= ．
14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）
15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线被圆22
650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双
曲线的离心率为 ．
16.已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
42n n n S a a =+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若{}n b 是等比数列，且14b =，358b b b =，令2
n n
n a b c =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.
（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；
（Ⅱ）已知点H 在线段BD 上，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值. 19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2
(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2(,)X
N ϕσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.
20.平面直角坐标系xOy 中，圆22
2150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P . （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：2
2y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.
21.已知函数2
()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （Ⅰ）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （Ⅱ）若不等式
sin ()2cos
x
g x ≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
2sin()306π
ρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥；
（Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.
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数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB
二、填空题
13. 12
14. 48 15. 24
3
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由242n n n S a a =+得2
11142(2)n n n S a a n ---=+≥， 两式相减得22
11422n n n n n a a a a a --=-+-，
∴11()()n n n n a a a a --+-12()0n n a a --+=， ∵0n a >，∴12n n a a --=，
又由2
1111442S a a a ==+得10a >得12a =，
{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，
从而2n a n =.
（Ⅱ）设{}n b 公比为q ，则由358b b b =可得247
164q q q =，
∴4q =，
∴4n
n b =，
∴数列{}n c 满足4n
n c n =⋅，
它的前n 项之和23142434n T =⋅+⋅+⋅4n
n +⋅⋅⋅+⋅①，
2241424n T =⋅+⋅+⋅⋅⋅1(1)44n n n n ++-⋅+⋅②，
①-②得21
34444n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅
14(14)414
n n n +-=-⋅-
14
(41)43
n n n +=--⋅， ∴14444399n n n n T +⋅=-⋅+1314
499
n n +-=⋅+. 18. 解：（Ⅰ）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF
平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，
得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，
由ABCD 为正方形得AC BD ⊥， 又BD
DE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，
∴AC ⊥平面BDE ， 又∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BDE .
（Ⅱ）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，
又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,3)E ，(2,0,2)F ， 设DH DB λ=，则(2,2,0)H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由(2,2,3)BE =--，(2,0,1)EF =-，
00n BE n EF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得2230
20
x y z x z --+=⎧⎨-=⎩取1x =得(1,2,2)n =， ∵//AH 平面BEF ，(22,2,0)AH λλ=-， ∴2240λλ-+=，1
3
λ=
， 22(,,0)33H ，42
(,,2)33
FH =--， 设FH 与平面BEF 所成的角为θ，则
sin cos ,n FH θ=214
n FH n
FH
⋅=
=
=，
∴FH 与平面BEF 所成角的正弦值为
7
.
19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则
2250450(40)
0.510001000100020
x -++⋅=， 解得51x ≈，所得样本中位数为5100. （Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，
旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P x μσ≥+
1(22)2P x μσμσ--<<+=
10.9544
0.02282
-==，
0.0228650001482⨯=，
估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上. （Ⅲ）Y 的可能取值为0，1，2，3，
35385(0)28C P Y C ===，12353815
(1)28C C P Y C ===，
21353815(2)56C C P Y C ===，33381
(3)28
C P Y C ===
， ∴Y 的分布列为
012828EY =⨯+⨯2356568
+⨯+⨯=.
20.解：（Ⅰ）∵P 为线段TM 中垂线上一点，
∴PM PN PM PT +=+4TM ==， ∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，
∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆，
它的方程为22
143
x y +=. （Ⅱ）∵2
2y px =的焦点为(1,0)，
2C 的方程为24y x =，
当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴1
82
ABCD S AC BD =
⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，
方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22
143x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，2122
412
34k x x k -=+，
12AC x =-=22
12(1)34k k +=+.
直线2l 的方程为1
(1)y x k
=-
-与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则2
12244BD x x k =++=+， ∴四边形ABCD 的面积
12
S AC BD =22
2112(1)(44)234k k k +=+⋅+222
24(1)34k k +=+.
令234k t +=，则23(3)4
t k t -=>， 2324(1)4()t S t t
-+=31(2)2t t =++， ∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=，
综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞.
21. 解：（Ⅰ）2
()2ln F x x x a x ax =--+， 22(2)'()x a x a F x x +--=(2)(1)x a x x
+-=， ∵()F x 的定义域为(0,)+∞. ①02
a -≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值. ②012a <-<即20a -<<时，()F x 在(0,)2a -和(1,)+∞上递增，在(,1)2
a -上递减， ()()2a F x F =-极大
2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小. ③12
a -=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增，()F x 没有极值. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和(,)2a -+∞上递增，()F x 在(1,)2
a -上递减， ∴()(1)1F x f a ==-极大，()()2
a F x F =-极小2ln()42a a a a =---. 综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；
20a -<<时，()()2
a F x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小； 2a =-时，()F x 没有极值；
2a <-时，()(1)1F x f a ==-极大，()()2
a F x F =-极小2ln()42a a a a =---.
（Ⅱ）设sin ()2cos x h x ax x
=-+(0)x ≥， 2
12cos '()(2cos )x h x a x +=-+， 设cos t x =，则[1,1]t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=
+，42(2)(1)'()(2)t t t t ϕ-+-=+32(1)0(2)t t --=≥+， ∴()t ϕ在[1,1]-上递增，∴()t ϕ的值域为1[1,]3-， ①当13
a ≥时，'()0h x ≥，()h x 为[0,]+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h ≥=，适合条件.
②当0a ≤时，∵1()0222
h a ππ=⋅-
<，∴不适合条件. ③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3
x h x ax <-， 令sin ()3x T x ax =-，cos '()3x T x a =-， 存在(0,)2x π
∈，使得0(0,)x x ∈时，'()0T x <，
∴()T x 在0(0,)x 上单调递减，
∴0()(0)0T x T <<，
即在0(0,)x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.
综上，a 的取值范围为1[,)3+∞.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）2sin()306π
ρθ+-=，
sin cos 30θρθ+-=，
即l 的普通方程为30x +-=，
2cos 2sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.
（Ⅱ）在30x -=中令0y =得(3,0)P ，
∵k =，∴倾斜角56
πα=， ∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
即3212
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=
得2
50t -+=，70∆=>，∴方程有两解，
12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，
12PA PB t t +=
+12t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩
， 52x ≤-或x φ∈或32
x ≥， 解集为53(,][,)22
-∞-+∞. （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，
∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立，
∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩
， ∴a 的取值范围是[0,1]。