北师大版七年级数学下 第四章 三角形 全等三角形的判定综合培优(解答题)(包含答案)

北师大七下全等三角形的判定综合培优（解答题）
1．如图，已知AB AC ⊥，AB AC =，AD AE =，BD CE =，试猜想AD 与AE 的位置关系并说明理由．
2．已知:如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，ME∠AD ．
求证:(1)AB=AE ；(2)AM 平分∠DAB ．
3．如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．
（1）求证：∠ABE∠∠CBD ；
（2）证明：∠1=∠3．
4．如图，∠ACB 和∠DCE 均为等腰三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE .若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠AEB的度数．
5．如图，已知∠ABC 中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D 为AB的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以1cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．
∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，∠BPD 与∠CQP 是否全等，请说
明理由；
∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPD 与∠CQP 全等？
（2）若点Q 以∠中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿∠ABC 三边运动，则经过后，点P 与点Q 第一次在∠ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
6．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA∠AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：∠ABC∠∠ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是∠ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
7．已知：如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE∠CM，BF∠CM，垂足分别为E，F.
(1)求证：∠ACE=∠CBF；
(2)求证：AE=CF；
(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.
8．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；
（2）若AC =AE ，求∠DEC 的度数．
9．如图，在四边形中ABCD 中，//,12,AB CD DB DC ∠=∠=，且DBC DCB ∠=∠.
(1)求证: ABD EDC ∆≅∆;
(2)若125,30A BDC ∠=︒∠=︒，求BCE ∠的度数.
10．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ∠CE ，BE ∠CE ，垂足分别是点D ，E ．
（1）求证：∠BEC ∠∠CDA ；
（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．
11．如图，在四边形ABCD 中，AD∠BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．
（1）∠DAE 和∠CFE 全等吗？说明理由；
（2）若AB ＝BC+AD ，说明BE∠AF ；
（3）在（2）的条件下，若EF ＝6，CE ＝5，∠D ＝90°，你能否求出E 到AB 的距离？如果能请直接写出结果．
12．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ． ()1求证：BE AD =；
()2求AMB ∠的度数（用含α的式子表示）
； ()3如图2，当90α=o 时，点P 、Q 分别为AD 、BE 的中点，分别连接CP 、CQ 、PQ ，判断CPQ V 的形状，并加以证明．
13．以点A 为顶点作等腰Rt∠ABC ，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE,延长BD 交CE 于点F.
（1）试判断BD、CE的关系，并说明理由；
（2）把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.
14．如图：在∠ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在∠ABC外作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN 于N．
(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？
(2)若过点C在∠ABC内作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
15．如图，已知∠ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF=BD,以AD为边作等边ΔADE.
(1)求证:AE=CF;
(2)求∠BEF的度数.
16．如图所示，在∠ABC中，AD∠BC于D，CE∠AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:∠ABD∠∠CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。

17．等腰直角∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点B，点C分别作经过点A的直线l的垂线，垂足分别为M、N．
(1)请找到一对全等三角形，并说明理由；
(2)BM ，CN ，MN 之间有何数量关系？并说明理由；
(3)若BM ＝3，CN ＝5，求四边形MNCB 的面积．
18．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长于点F .
（1）求证：DAE CFE △≌△；
（2）若AB BC AD =+，求证：BE AF ⊥.
19．（1）问题发现：
如图∠，ABC △与ADE V 是等边三角形，且点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ，求BEC ∠的度数，并确定线段BD 与CE 的数量关系．
（2）拓展探究：
如图∠，ABC △与ADE V 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，且点B ，D ，E 在同一直线上，AF BE ⊥于点F ，连接CE ，求BEC ∠的度数，并确定线段AF ，BF ，CE 之间的数量
关系．
20．如图，在∠ABC中，AD∠BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：∠ADB∠∠CDE；
（2）求∠MDN的度数．
21．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CF A=∠α．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
∠如图1若∠BCA=90°，∠α=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
∠如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件___ ____使∠中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
22．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN 于E。

（1）∠求证图1中∠ADC∠∠CEB；∠证明DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD－BE的理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系（不必说明理由）。

23．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA 逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE，请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．
24．已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8个单位速度从B点出发沿正方形的边BA ﹣AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．（1）当运动时间为秒时，点P与点Q相遇；
（2）当BQ∠PD时，求线段DQ的长度；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、A为顶点的三角形的面积S，并指出相应t的取值范围；（4）连接PA，当∠PAB和∠QAD全等时，求t的值．
25．在∠ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作∠ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度．
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
∠如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；∠如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
参考答案
1．解：∠AB∠AC ，∠∠BAC=90°，
在∠ABD 和∠ACE 中
AB AC BD CE AD AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∠∠ABD∠∠ACE （SSS ），
∠∠BAD=∠CAE ，
∠∠BAD -∠CAD=∠CAE -∠CAD ，
即∠DAE=∠BAC=90°，
∠AD∠AE.
2．证明：（1）∠DM 平分∠ADC,ME∠AD,MC∠DC.
∠MC=ME
∠M 为BC 中点
∠MC=MB
∠ME=MB.
在Rt∠ABM 与Rt∠HEM 中
∠EM=MB,AM=AM
∠Rt∠ABM∠Rt∠AEM(HL)
∠AB=AE.
（2）∠∠ABM∠∠AEM
∠∠EAM=∠BAM
∠AM 平分∠DAB.
3．解：()112∠=∠Q ，
12CBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，
在ABE V 和CBD V 中，
AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ABE ∴V ∠()CBD SAS V ；
()2ABE Q V ∠CBD V ，
A C ∴∠=∠，
AFB CFE ∠=∠Q ，
13∴∠=∠．
4．解：（1）∠∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，
∠∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°，
∠∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ，∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ，
∠∠ACD ＝∠BCE ，
∠∠ACB 和∠DCE 均为等腰三角形，
∠AC ＝BC ，DC ＝EC ，
在∠ACD 和∠BCE 中，有AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∠∠ACD∠∠BCE(SAS)，∠AD ＝BE ；
（2）∠∠ACD∠∠BCE ，∠∠ADC ＝∠BEC ，
∠点A 、D 、E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°，
∠∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∠∠BEC ＝130°，
∠∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°，
∠∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.
5．解;（1）∠全等，理由如下：
∠t=1秒，
∠BP=CQ=1×1=1厘米，
∠AB=6cm ，点D 为AB 的中点，
∠BD=3cm ．
又∠PC=BC ﹣BP ，BC=4cm ，
∠PC=4﹣1=3cm ，
∠PC=BD ．
又∠AB=AC ，
∠∠B=∠C ，
∠∠BPD∠∠CQP ；
∠假设∠BPD∠∠CQP ，
∠v P ≠v Q ，
∠BP≠CQ ，
又∠∠BPD∠∠CQP ，∠B=∠C ，则BP=CP=2，BD=CQ=3， ∠点P ，点Q 运动的时间t=1
BP =2秒，
∠v Q =32
CQ t ==1.5cm/s ； （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，
由题意，得 1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∠点P 共运动了24s×1cm/s=24cm ．
∠24=2×12，
∠点P 、点Q 在AC 边上相遇，
∠经过24秒点P 与点Q 第一次在边AC 上相遇．
6．（1）证明：∠∠ABC+∠ADC ＝180°，∠ADE+∠ADC ＝180°， ∠∠ABC ＝∠ADE ，
在∠ABC 与∠ADE 中，
BAC DAE AB AD
ABC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∠∠ABC∠∠ADE （ASA ）．
（2）证明：∠∠ABC∠∠ADE ，
∠AC ＝AE ，∠BCA ＝∠E ，
∠∠ACD ＝∠E ，
∠∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；
（3）证明：如图∠，过点A作AM∠CE，垂足为M，
∠AM∠CD，AF∠CF，∠BCA＝∠ACD，
∠AF＝AM，
又∠∠BAC＝∠DAE，
∠∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，∠AC＝AE，∠CAE＝90°，
∠∠ACE＝∠AEC＝45°，
∠AM∠CE，
∠∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∠CM＝AM＝ME，
又∠AF＝AM，
∠EC＝2AF．
7．解：（1）∠AE∠CM．BF∠CM，
∠∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∠∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°，
∠∠CAE=∠BCF，
在∠ACE 和∠CBF 中，CAE BCF AEC BFC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠ACE ∠∠CBF ，∠∠ACE =∠CBF ．
（2）∠∠ACE ∠∠CBF ，∠AE =CF ．
（3）结论：BF =AE +EF ．
∠∠ACE ∠∠CBF ，∠AE =CF ，CE =BF ，
∠BF =EF +CF =EF +AE ．
8．() 1证明：
90BCE ACD ∠=∠=︒Q ，
2334，
∴∠+∠=∠+∠ 24∴∠=∠，
在∠ABC 和∠DEC 中，24BAC D BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AAS ABC DEC ∴V V ≌，
AC CD ∴=；
（2）∠∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，
∠∠1＝∠D ＝45°，
∠AE ＝AC ，
∠∠3＝∠5＝67.5°，
∠∠DEC ＝180°－∠5＝112.5°．
9．(1)证明：证明：∠AB∠CD ，
∠∠ABD=∠EDC ，
在∠ABD 和∠EDC 中,
12DB DC
ABD EDC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
， ∠∠ABD∠∠EDC(ASA).
(2)∠∠ABD∠∠EDC ，
∠∠DEC=∠A=125°，
∠∠BDC=30°，DB=DC ，
∠∠DBC=∠DCB=75°,∠2=180°−125°−30°=25°， ∠BCE ∠=75°-25°=50°
10．（1）证明：∠AD ∠CE ，BE ∠CE ，
∠∠ADC ＝∠E ＝90°，
∠∠ACB ＝90°，
∠∠ACD +∠BCE ＝90°，∠∠CBE ＝90°，
∠∠ACD ＝∠CBE ，
在∠ADC 和∠CEB 中，
ADC E90 ACD CBE AC BC ︒
⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∠∠ADC∠∠CEB（AAS），
（2）解：∠∠ADC∠∠CEB，
∠BE＝CD＝1，AD＝EC＝3，
∠DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2．
11．解：（1）∠DAE∠∠CFE 理由如下：
∠AD∠BC（已知），
∠∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∠E 是CD 的中点（已知），
∠DE=EC（中点的定义）．
∠在∠ADE 与∠FCE 中，
∠ADC＝∠ECF（已证），
DE＝EC（已证），
∠AED＝∠CEF（对顶角相等），
∠∠ADE∠∠FCE（ASA）；
（2）由（1）得∠ADE∠∠FCE，
∠AD=CF，AE=EF（全等三角形的对应边相等），
∠E 为AF 中点，即BE 是∠ABF 中AF 边上的中线，∠AB=BC+AD，
∠AB=BC+CF=BF，
∠BE∠AF （三线合一）；
（3）∠AD∠BC ，∠D=90°，
∠∠BCE=90°,
∠CE=5，
∠E 到 AB 的距离等于5.
12．解：()1如图1，
ACB DCE α∠=∠=Q ，
ACD BCE ∴∠=∠，
在ACD V 和BCE V 中，
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ACD V ∴∠()BCE SAS V
BE AD ∴=；
()2如图1，
ACD Q V ∠BCE V ，
CAD CBE ∴∠=∠，
ABC Q V 中，180BAC ABC α∠+∠=-o ，
180BAM ABM α∴∠+∠=-o ，
ABM ∴V 中，()
180180AMB αα∠=--=o o ； ()3CPQ V 为等腰直角三角形．
证明：如图2，由()1可得，BE AD =，
AD Q ，BE 的中点分别为点P 、Q ，
AP BQ ∴=，
ACD Q V ∠BCE V ，
CAP CBQ ∴∠=∠，
在ACP V 和BCQ V 中，
CA CB CAP CBQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ACP ∴V ∠()BCQ SAS V ，
CP CQ ∴=，且ACP BCQ ∠=∠，
又90ACP PCB ∠+∠=o Q ，
90BCQ PCB ∴∠+∠=o ，
90PCQ ∴∠=o ，
CPQ ∴V 为等腰直角三角形．
13．解：证明：（1）CE BD =，且CE∠BD.理由如下：
∠等腰Rt ABC ∆，等腰Rt ADE ∆，
AE AD ∴=，AC AB =，
在EAC ∆与DAB ∆中，
90AE AD EAC DAB AC AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()EAC DAB SAS ∴∆≅∆，
CE BD ∴=；
∠ ∠EAC∠∠DAB ，
ECA DBA ∴∠=∠，
45ECA CBF DBA CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
454590ECA CBF DCB ∴∠+∠+∠=︒+︒=︒，
1809090BFC ∴∠=︒-︒=︒,
∠CE∠BD
（2）仍然成立.
∠等腰Rt ABC ∆，等腰Rt ADE ∆，
AE AD ∴=，AC AB =，
在EAC ∆与DAB ∆中，
90AE AD EAC DAB AC AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()EAC DAB SAS ∴∆≅∆，
CE BD ∴=；
∠∠EAC∠∠DAB ，
ECA DBA ∴∠=∠，
45ECA CBF DBA CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
454590ECA CBF DCB ∴∠+∠+∠=︒+︒=︒，
1809090BFC ∴∠=︒-︒=︒．
∠CE∠BD.
14．解：（1）MN=AM+BN 成立；
理由：∠AM∠MN ，BN∠MN ，
∠∠AMC ＝∠CNB ＝90°，
∠∠ACB ＝90°，
∠∠MAC ＋∠ACM ＝90°，∠NCB ＋∠ACM ＝90°，
∠∠MAC ＝∠NCB ，
在∠AMC和∠CNB中，
AMC CNB
MAC NCB AC CB
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∠∠AMC∠∠CNB（AAS），
∠AM＝CN，MC＝BN，
∠MN＝CN＋MC，
∠MN＝AM＋BN；
（2）MN＝BN−AM．
理由：∠AM∠MN，BN∠MN，
∠∠AMC＝∠CNB＝90°，
∠∠ACB＝90°，
∠∠MAC＋∠ACM＝90°，∠NCB＋∠ACM＝90°，∠∠MAC＝∠NCB，
在∠AMC和∠CNB中，
AMC CNB
MAC NCB AC CB
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∠∠AMC∠∠CNB（AAS），
∠AM＝CN，MC＝BN，
∠MN＝MC−CN，
∠MN＝BN−AM．
15．(1) 证明：∠ΔABC是等边三角形，∠AC=AB，∠CAB=∠ABC=60°
又∠AF=BD
∠∠ACF∠ΔBAD(SAS)，
∠CF=AD.
∠∠ADE是等边三角形，
∠AE=AD,
∠AE=CF.
(2)∠∠ABC和∠AED都是等边三角形，∠AB=AC,AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°,∠∠BAE=∠CAD,
∠ΔABE∠∠ACD(SAS)，
∠BE=CD,∠ABE=∠ACD,
又∠AB=BC,AF=BD,
∠BF=DC,
∠BE=BF，
又∠∠EBF=∠ACD=60°,
∠∠BEF为等边三角形.
∠∠BEF=60°
16．（1）证明：∠AD∠BC，CE∠AB，∠∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∠∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∠∠BAD=∠OCD，
在∠ABD和CFD中，
，
∠∠ABD∠∠CFD （AAS ），
（2）∠∠ABD∠∠CFD ，
∠BD=DF ，
∠BC=7，AD=DC=5，
∠BD=BC ﹣CD=2，
∠AF=AD ﹣DF=5﹣2=3．
17．(1)∠ABM ∠∠CAN ，
理由如下：∠∠BAC ＝90°，
∠∠MAB +∠NAC ＝90°，
∠BM ∠MN ，
∠∠MAB +∠MBA ＝90°，
∠∠MBA ＝∠NAC ，
在∠ABM 和∠CAN 中，
90?CNA ABM CAN AB CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠AMB=∠∠∠ ，
∠∠ABM ∠∠CAN ；
(2)BM +CN ＝MN ，
理由如下：∠∠ABM ∠∠CAN ，
∠CN ＝AM ，BM ＝AN ，
∠MN ＝AM +AN ＝BM +CN ；
(3)∠BM ＝3，CN ＝5，
∠MN ＝BM +CN ＝8，
∠四边形MNCB 的面积＝12×(BM +CN )×MN ＝12
×(3+5)×8＝32． 18．（1）证明：∠AD BC ∥，
∠ADC ECF ∠=∠，
∠E 是CD 的中点，
∠DE EC =，
∠在ADE V 与FCE △中，
ADC ECF DE EC
AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∠()ADE FCE ASA △≌△；
（2）证明：由（1）知ADE FCE △≌△，
∠AE EF =，AD CF =，
∠AB BC AD =+，
∠AB BC CF =+，即AB BF =，
在ABE △与FBE V 中，
AB BF AE EF BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∠()ABE FBE SSS △≌△，
∠AEB FEB ∠=∠，且互补，
∠AEB FEB ∠=∠=90°.
∠BE AE ⊥.
19．解：（1）因为ABC △和ADE V 均为等边三角形，
所以AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒，60ADE AED ∠=∠=︒，
所以BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，
即BAD CAE ∠=∠．
在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
所以ABD △∠ACE △，
所以BD CE =，DBA CEA ∠=∠．
因为点B ，D ，E 在同一直线上，
所以18060120ADB ∠=︒-︒=︒，
所以120AEC ∠=︒，
所以1206060BEC AEC AED ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
综上可得，BEC ∠的度数为60︒，线段BD 与CD 之间的数量关系是BD CE =．
（2）因为ABC △和ADE V 均为等腰直角三角形，
所以AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，
所以BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，
即BAD CAE ∠=∠．
在ABD △和ACE △中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
所以ABD △∠ACE △，
所以BD CE =，ADB AEC ∠=∠．
因为点B ，D ，E 在同一直线上，
所以18045135ADB ∠=︒-︒=︒，
所以135AEC ∠=︒，
所以1354590BEC AEC AED ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
因为90DAE ∠=︒，AD AE =，AF DE ⊥，
易证AF DF EF ==，所以BF BD DF CE AF =+=+．
20．（1）证明：∠AD ∠BC ，∠∠ADB =∠ADC =90°，在∠ABD 与∠CDE 中，∠AD =CD ，∠ADB =∠ADC ，DB =DE ，∠∠ABD ∠∠CDE ；
（2）解：∠∠ABD ∠∠CDE ，∠∠BAD =∠DCE ，∠M 、N 分别是AB 、CE 的中点，∠AM =DM ，DN =CN ，∠∠MAD =∠MDA ，∠NCD =∠NDC ，∠∠ADM =∠CDN ，∠∠CDN +∠ADN =90°，∠∠ADM +∠ADN =90°，∠∠MDN =90°．
21．解：（1）∠如图1中，.
.
E 点在
F 点的左侧，.
∠BE∠CD ，AF∠CD ，∠ACB=90°，.
∠∠BEC=∠AFC=90°，.
∠∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∠∠CBE=∠ACF ，.
在∠BCE 和∠CAF 中，.
EBC ACF BEC AFC BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，. ∠∠BCE∠∠CAF （AAS ），.
∠BE=CF ，CE=AF ，.
∠EF=CF -CE=BE -AF ，.
当E 在F 的右侧时，同理可证EF=AF -BE ，.
∠EF=|BE -AF|；
∠∠α+∠ACB=180°时，∠中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∠∠BEC=∠CFA=∠a ，∠α+∠ACB=180°，.
∠∠CBE=∠ACF ，.
在∠BCE 和∠CAF 中，.
EBC ACF BEC AFC BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，. ∠∠BCE∠∠CAF （AAS ），.
∠BE=CF ，CE=AF ，.
∠EF=CF -CE=BE -AF ，.
当E 在F 的右侧时，同理可证EF=AF -BE ，.
∠EF=|BE -AF|；
（2）EF=BE+AF ．.
理由是：如图3中，.
.
∠∠BEC=∠CFA=∠a ，∠a=∠BCA ，.
又∠∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∠∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF ，.
∠∠EBC=∠ACF ，.
在∠BEC 和∠CFA 中，.
EBC FCA BEC CFA BC CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，.
∠∠BEC∠∠CFA （AAS ），.
∠AF=CE ，BE=CF ，.
∠EF=CE+CF ，.
∠EF=BE+AF ．
22．解：（1）∠如图1，在∠ABC 中，∠ACB=90°，+=90?ACD BCE ∠∠，直线MN 经过点C ，且AD∠MN 于D ，BE∠MN 于E ，∠ADC=90°，∠BEC=90°，=ADC BEC ∠∠；因为ACD CAD +∠∠=90°，所以BCE =∠∠CAD ，又因为AC=BC ，所以∠ADC∠∠CEB ，
∠由∠的结论知∠ADC∠∠CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，所以
DE=CE+CD=AD+BE
（2）∠AD∠MN 于D ，BE∠MN 于E
∠∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，
∠∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°
∠∠CAD=∠BCE
在∠ADC 和∠CEB 中
CDA BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∠∠ADC∠∠CEB(AAS)
∠CE=AD，CD=BE
∠DE=CE－CD=AD－BE
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、根据旋转的特征，结合（1）、（2）DE、AD、BE所满足的等量关系是DE=BE – AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）
23．解：（1）∠∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，
∠∠EDC＝30°，
∠∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°
∠∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，
故答案为：30，110，
∠∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，
∠∠BDA＝140°﹣∠BAD
∠点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大
∠∠BDA逐渐变小，
故答案为：小
（2）当DC＝2时，∠ABD∠∠DCE，
理由如下：∠∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，
∠∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，
∠∠ABD∠∠DCE（ASA）
（3）若AD＝DE时，
∠AD＝DE，∠ADE＝40°
∠∠DEA＝∠DAE＝70°
∠∠DEA＝∠C+∠EDC
∠∠EDC＝30°
∠∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°
若AE＝DE时，
∠AE＝DE，∠ADE＝40°
∠∠ADE＝∠DAE＝40°，
∠∠AED＝100°
∠∠DEA＝∠C+∠EDC
∠∠EDC＝60°
∠∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°
综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，∠ADE的形状可以是等腰三角形. 24．解：（1）设t秒后P、Q相遇．
由题意（4+1）t=12，
∠t=12
5
秒，
∠12
5
秒后P、Q相遇．
（2）如图1中，
由图象可知，AP∠QC时，∠AQ∠PC，∠四边形APCQ是平行四边形，
∠AQ=PC，
∠4t=4-t，
∠t=4
5
，此时DQ=AD-AQ=4-
4
5
×4=
4
5
．
（3）∠如图2中，当0＜t≤1，点Q在AD上时，S=1
2
×4t×4=8t．
∠如图3中，当1＜t≤2，点Q在CD上时，S=S正方形ABCD-S∠ADQ-S∠ABP-S∠PQC=16-1
2
×4×（4t-4）-
1
2
×4×t-
1
2
×（4-t）（8-4t）=-2t2+2t+8．
∠如图4中，当2＜t≤12
5
，点Q在BC时时，S=
1
2
×[4-t-（4t-8）]•4=-10t+24．
（4）如图5中，
∠当DQ1=BP时，∠CDQ1∠∠ABP，此时4-4t=t，t=4
5 s．
∠当DQ2=BP时，∠ADQ2∠∠ABP，此时4t-4=t，t=4
3 s．
∠当CQ3=BP时，∠BCQ3∠∠ABP，此时8-4t=t，t=8
5 s．
∠当BQ4=BP时，∠ABQ4∠∠ABP，此时P与Q重合，t=12 5
s
综上所述，t 为
45s 或43s 或85
s 或125s 时，当以点Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和∠PAB 全等． 25．解：（1） 90 度.
∠DAE =∠BAC ,所以∠BAD =∠EAC,AB=AC,AD=AE ,所以V ABD ≅V ACE,所以∠ECA=∠DBA ，所以∠ECA =90°.
（2）∠ αβ180+=︒．
理由：∠∠BAC =∠DAE ，
∠∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ,即∠BAD =∠CAE,
又AB=AC ，AD=AE ，
∠∠ABD ∠∠ACE ，
∠∠B=∠ACE ．∠∠B +∠ACB =∠ACE+∠ACB ，
∠B ACB DCE β∠∠∠+==．∠αB ACB 180∠∠++=︒，
∠αβ180+=︒．
（3）补充图形如下， αβ=．。