(完整版)导数的经典练习题

导数经典练习题及详解答案
1．函数y=x+2cosx在[0，
2
π
]上取得最大值时，x的值为
（）
A． 0 B．
6
π
C．
3
π
D．
2
π
2．函数x
x
y ln
=的单调递减区间是（）
A．)
,
(1+∞
-
e B．)
,
(1-
-∞e C．)
,0(1-e D．)
,(+∞
e
3．点P在曲线
3
2
3+
-
=x
x
y上移动，设点P处切线倾斜角为α，则α的取值范围是（）
A．[0,
2
π
] B．[0,
2
π
)∪[
4
3π
,π)
C．[
4
3π
,π)D．(
2
π
,
4
3π
]
4．已知函数()
y xf x
'
=的图象如右图所示(其中'()
f x
()
f x的导函数)，下面四个图象中()
y f x
=
是（）
5.对于函数1
2-
=x
y，下列结论中正确的是（）
A．y有极小值０，且０也是最小值 B．y有最小值０，但０不是极小值
C．y有极小值０，但０不是最小值 D．０既不是极小值，也不是最小值
6、若0
)
3
2(
2=
-
⎰dx
x
x
k
，则k=( )
A、 1
B、 0
C、 0或1
D、以上都不对
7．已知函数)
2
,
2
(
),
(
)
(
)
(
π
π
π-
∈
-
=x
x
f
x
f
x
f且当
满足时，,
sin
)
(x
x
x
f+
=则（）A．)3(
)2(
)1(f
f
f<
<B．)1(
)3(
)2(f
f
f<
<
D
C ．)1()2()3(f f f <<
D ．)2()1()3(f f f <<
8．设函数ax x x f m +=)(的导函数12)(+='x x f ，则数列*)}()
(1
{N n n f ∈的前n 项和是 A ．
1+n n B ．1
2++n n C ．
1-n n D ．n
n 1
+ 9．设f(x)=3
1
x 3+ax 2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为
（ ）
A [-5,+∞
B ． (-∞ ,-3)
C ． (-∞ ,-3)∪[－5,+∞0
D ． [－
5,5]
10．函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)=f(2-x),且当x ∈(-∞,1)时，
(x-1))(x f '＜0,设a=f(0),b= f(2
1
),c= f(3),则 （ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．c ＜b ＜a
D ．b ＜c ＜a
11．曲线313y x x =+在点4
(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 （ ）
A ．19
B ．29
C ．13
D ．23
12．如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2
221x x +等于
（ ）
A ．32
B ．34
C ．3
8
D ．3
16
13．设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________．
14．已知曲线21
x y x
y ==
与交于点P ，过P 点的两条切线与x 轴分别交于A ，B 两点，则 △ABP 的面积为 ；
15．函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-内可导，其图
象如图，记()y f x =的导函数为/()y f x =， 则不等式/()0f x ≤的解集为_____________
16．若函数 f(x)=
a
x x
+2
(a>0)在[1，+∞）上的最大值为33,则a 的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，
共74分)。

17．（12分）已知函数f(x)=3
2
x 3-2ax 2+3x(x ∈R)．
（1）若a=1,点P 为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率
取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a ．
18．（12分）已知函数x a x x f ln 2
1
)(2+= （a ∈R ）．(1)若)(x f 在[1，e]上
是增函数，求a 的取值范围； （2）若a=1,a ≤x ≤e,证明：)(x f <33
2
x
19．（12分）已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）求)(x f 的最小值；
（Ⅱ）设不等式ax x f >)(的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；
20．（12分）已知).,2()()(2R x a e a ax x x f x ∈≤++=- （1）当a=1时，求)(x f 的单调区间；
（2）是否存在实数a ，使)(x f 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存
在，说明理由．
21．（12分）已知函数b x x f +=)(的图像与函数23)(2++=x x x g 的图象相切，记
).()()(x g x f x F =（1）求实数b 的值及函数F （x ）的极值；
（2）若关于x 的方程F （x ）=k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围。

22．（14分）已知函数a ax
x
x x f 其中,1ln )(-+
=为大于零的常数。

（1）若函数),1[)(+∞在区间x f 内单调递增，求a 的取值范围； （2）求函数)(x f 在区间[1，2]上的最小值。

答案解析
1．B 解析：y ′=(x+2cos x)′=1-2sin x,令1-2sin x=0,且x ∈[0,2π]时，x=6
π
,当x ∈[
6π,2π]时，)(x f '≤0，f(x)单调递减，∴f(x)max =f(6
π
)．故选B 2．C ；解析：求该函数得导函数，解不等式求得小于零的区间即可；
3．B ；解析：导函数的取值范围正好对应切线斜率的范围，再求倾斜角的范围即可；
5.A 6．A 7．D ； 解析：∵ 0cos 1)(≥+='x x f ∴f(x)在区间⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2ππ上单调递增；又(x)=f(x -π),∴f(x)关于x=
2
π
对称,故选D. 8．A ；解析：12)(+='x x f 的原函数为x x +2得m=2，再求*)}()
(1
{N n n f ∈的形式即可；
9．C ；)(x f '=x 2
+2ax+5,则f(x)在[1，3]上单调减时，由⎩
⎨⎧≤'≤'0)3(0
)1(f f ，得a ≤-3;
当f(x)在[1，3]上单调增时，)(x f '=0中，⊿=4a 2
-4×5≤0,或⎩⎨⎧≥'≥∆0)3(0f ，
得a ∈[－5,5]∪[5,+∞]．
综上：a 的取值范围是(-∞ ,-3)∪[-5,+∞]，故选C ．
10．B ；解析： 由f(x)=f(2-x)可知，f(x)的图像关于x=1对称，根据题意又知
x ∈(-∞,1)时, )(x f '>0,此时f(x)为增函数，x ∈(1,+∞)时，)(x f '<0,f(x)
为减函数，所以f （3）=f(-1)<f(0)<f(
2
1
),即c<a<b ，故选B ． 11．A ；解析：曲线313y x x =+在点4
(1,)3
处的切线方程是42(1)3y x -=-，它与坐
标轴的交点是(31
，0)，(0，－32)，围成的三角形面积为19
，故选A 。

12．C; 解析：由图象知0)(=x f 的根为0，1，2，.0=∴d
.0)()(223=++=++=∴c bx x x cx bx x x f 02=++∴c bx x 的两个根为1和2． .2,3=-=∴c b
.23)(23x x x x f +-=∴ .263)(2+-='∴x x x f
0263,221=+-x x x x 为Θ的两根， .3
2
,22121==+∴x x x x
.3
832222)(2212212
221=⨯-=-+=+∴x x x x x x
二、填空题
13．1- 解析；本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念． 属于
基础知识、基本运算的考查．取()2f x x =，如图，采用数形结合法，易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-．故应填1-．
14．4
3
；解析：先求出交点坐标为（1，1），再分别求出两曲线在该点处的切线
方程，求出A 、B 、P 三点坐标，再求面积； 15．)3,2[]1,3
1
[Y - 解析：由函数的单调性判断
16．3—1 解析：2222)(2)(a x x a x x f +-+='=2
22
)
(a x x a +-，x>a 时，)(x f '<0,f(x)单调减，当－a <x<a 时，)(x f '>0, f(x)单调增，当x=a 时,f(x)=
a
a
2= 33,a =23<1,不合题意． ∴f(x)max =f(1)=a
+11= 33,a=3—1 三、
17．解：（1）设切线的斜率为k ，则k=)(x f '=2x 2-4x+3=2(x-1)2+1, …………2分
当x=1时，k min =1．又f(1)=35，所以所求切线的方程为y-3
5
=x-1,
即3x-3y+2=0． ……………………6分
（2）)(x f '=2x 2-4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数，必须满足)(x f '>0，即对任意的x ∈（0，+∞）,恒有)(x f '>0，
)(x f '=2x 2
-4ax+3>0, ……………………8分
∴a<x x 4322+=2x +x 43,而2x +x
43≥26，当且仅当x=26时，等号成立．
所以a<
2
6
，……………11分 所求满足条件的a 值为1 ……………12分
18．解：(1)∵x a x x f +=')( ,且在[1,e]上是增函数,∴x
a
x x f +=')(≥0恒成立，
即a ≥-2x 在[1,e]上恒成立, ∴a ≥1……………… 6分
（2）证明：当a=1时，x x x f ln 2
1)(2
+=
x ∈[1,e]． 令F(x)= )(x f -232x =x x ln 212+-23
2
x ,
∴0)21)(1(21)(22
≤++-=-+='x
x x x x x x x F ,∴F(x) 在[1,e]上是减函数，
∴F(x)≤F(1)=
03221<- ∴x ∈[1,e]时，)(x f <23
2
x …………… 12分 19．解：（Ⅰ）)(x f 的导数1)(-='x e x f
令0)(>'x f ，解得0>x ；令0)(<'x f ， 解得0<x ．………………………2分
从而)(x f 在)0,(-∞内单调递减，在),0(+∞内单调递增．
所以，当0=x 时，)(x f 取得最小值1．……………………………5分 （II ）因为不等式ax x f >)(的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，
所以，对任意的]2,0[∈x ，不等式ax x f >)(恒成立，……………………………6分
由ax x f >)(，得x e x a <+)1(
当0=x 时，上述不等式显然成立，故只需考虑]2,0（∈x 的情况。

………………7分
将x
e x a <+)1(变形为1-<x
e a x
………………………………………………8分
令1)(-=x e x g x ，则2)1()(x
e x x g x
-=' 令0)(>'x g ，解得1>x ；令()0g x '<， 解得1x <．…………………………10分
从而()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,2)内单调递增． 所以，当1x =时，()g x 取得最小值1e -，从而， 所求实数a 的取值范围是(,1)e -∞-．………………12分
20．解：（1）当a=1时，)()(;)1()(2'2x x e x f e x x x f x x +-=++=--……………2分
当010)(.10,0)(''<><<<>x x x f x x f 或时当时
∴f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（－∞，0）（1，+∞）
……………………4分
（2）])2([)()2()(22'x a x e a ax x e e a x x f x x x -+-=++-+=---………6分 令a x x x f -===20,0)('或得
由表可知2)4()2()(--=-=a e a a f x f 极大 ………………8分 设0)3()(,)4()(2'2>-=-=--a a e a a g e a a g
……………10分
3)4(32)2()(,)2,()(2≠-∴<=≤∴-∞∴-a e a g a g a g 上是增函数在
∴不存在实数a 使f （x ）最大值为3。

………………12分
21．解：（1）依题意，令),(')('x g x f =，得1,321-=+=x x 故
分
或解得令故分
即故有唯一实数解即依题意方程或可得将切点坐标代入函数的图象的切点为的图像与函数函数4 (3)
5
1,0)(')
35
)(1(3583)('2..................................254)22)(1()()
1,0)2(42022),())(:(1
)()0,1()()(2223222-=-==++=++=+++=+++=∴==--=∆=-++==+=-∴x x x F x x x x x F x x x x x x x F b b b x x x g x f b b x x f x g x f
)
(x
F↗
极大值
27
4↘
极小值
↗从上表可知1
,
27
3
)
(-
=
-
=x
x
x
F在
处取得极大值
在处取得极小值．
…………………6分
（2）由（1）可知函数.
)
(大致图象如下图所示
x
F
y=作函数k
y=的图象，当)
(x
F
y=的图象与函数k
y=的图象有三个交点时，
关于x的方程恰有三个
k
x
F=
)
()
27
4
,0(
:
.∈
k
结合图形可知
不等的实数根
……………12分
22．解：).
(
1
)
(
2
>
-
=
'x
ax
ax
x
f……………… 2分
（1）由已知，得)
,1[
)
(+∞
≥
'在
x
f上恒成立，
即)
,1[
1
+∞
≥在
x
a上恒成立
又Θ当,1
1
,
)
,1[≤
+∞
∈
x
x时
)
,1[
.1+∞
≥
∴的取值范围为
即a
a………………6分
（2）当1
≥
a时，
)
(>
'x
f
Θ在（1，2）上恒成立，这时)
(x
f在[1，2]上为增函数
)1(
)
(
min
=
=
∴f
x
f………………8分
当,
2
1
0≤
<a0
)
(<
'x
f
Θ在（1，2）上恒成立，这时)
(x
f在[1，2]上为减函数
.
2
1
2
ln
)2(
)
(
min a
f
x
f-
=
=
∴………………10分
当1
2
1
<
<a时，令).
2,1(
1
,0
)
(∈
=
=
'
a
x
x
f得
又有
对于)
1
,1[
a
x∈
Θ,0
)
(
]2,
1
(
,0
)
(>
'
∈
<
'x
f
a
x
x
f有
对于
11 .111ln )1()(min a a a f x f -+==∴ ………………12分 综上，)(x f 在[1，2]上的最小值为 ①当;212ln )(,210a x f a mim -=≤<时
②当121<<a 时，.111ln )(min a a x f -+= ③当0)(,1min =≥x f a 时 ……………… 14分。