湖南省益阳市第三中学2021年高三数学理联考试题含解析

湖南省益阳市第三中学2021年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）(参考数据：)
A．B．C．D．
参考答案：
C
2. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.参考答案：
3. 设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C 令ax2= 得a2x3=|lnx+1|，显然a＞0，x＞0．
作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：
设a=a0时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），
则，解得．
∴当0＜a＜时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．
故选：C．
4. 在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为
A．[，1) B．[，2) C．[1，) D．[，)
参考答案：
A
解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，
＝\s\do4(12＝\s\do4(22＝，从而有≤＜1．
5. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
C
6. 已知集合A={0，1，2，3}，集合B={（x,y）|},则B中所含元素的个
数为
A．3 B．6 C．8 D．10
参考答案：
C
当时，；当时，；当时，；当时，.共有8个元素.
7. 在复平面内，与复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
D
【分析】
应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.
【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.
8. 集合，则= （）
A． B． C. D.
参考答案：
C
9. 某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（）A．30B．24
C．18D．12
参考答案：
B
略
10. 若集合，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a
的取值范围为．
参考答案：
[0，2]
考点：分段函数的应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区
间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．
解答： 解：由于f （x ）=，
则当x=0时，f （0）=a 2， 由于f （0）是f （x ）的最小值， 则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0， 则有a 2
≤x +a ，x ＞0恒成立，
由x
≥2
=2，当且仅当x=1取最小值2，
则a 2
≤2+a，解得﹣1≤a≤2． 综上，a 的取值范围为[0，2]． 故答案为：[0，2]．
点评： 本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．
12. 从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
参考答案：
74
【知识点】系统抽样方法I2
解析：样本间隔为80÷10=8，设第一个号码为x ，∵编号为58的产品在样本中，则58=8×7+2，则第一个号码为2，则最大的编号2+8×9=74，故答案为：74. 【思路点拨】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．
13. 已知角α的终边上一点的坐标为
，则角α的最小正值为
．
参考答案：
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：计算题．
分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角α的最小正值．
解答： 解：由题意，点
在第四象限
∵==
∴角α的最小正值为
故答案为：
点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题．
14. （坐标系与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相
同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线
（
为参数）相
交于两点A 和B ，则。

参考答案：
把曲线（为参数）化为直角坐标方程为，把直线的极坐标方
程为
转互为直角坐标表方程为
，圆心到直线的距离为，所以。

15. 已知实数x ，y 满足不等式组
且
的最大值为a ，则
= ．
参考答案：
3π
16. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b]是其中一组，抽查出的个数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b|等于________．
参考答案：
17. 已知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系
下的图象如图所示，设函数
，
则
的大小关系为
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，已知椭圆
：
的左、右焦点分别为、
，过点
、
分别作两条平行直线
、
交椭圆
于点
、、
、
．
（1）求证：；
（2）求四边形
面积的最大值．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）
的最大值为6．
试题分析：（1）圆锥曲线中证明两线段相等，一般要用解析法，计算这两条线段的长度得相等结论，直线
斜率不可能为0，因此可设设
，
，
：
．所
代
入椭圆方程得出
的一元二次方程，从而得
，由圆锥曲线上的弦长公式得
，同理
方程为
，并设
，
，最后计算出
，
它们相等；（2）原点实质上是平行四边形对角线的交点，而
，从而可得
，设
，
因此只要求得
的最小值，即可得结论，此最小值可用函数的单调性得出（可先用基本
不等式求解，发现基本不等式中等号不能取到）． 试题解析：（1）设
，
，
：
．
联立
得
．
∴，．
（2）由（1）知四边形
为平行四边形，，且．
∴
考点：直线与圆锥曲线相交综合问题．
【名师点睛】若直线与椭圆相交于两点，则
，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得（或），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．
19. 已知.函数，若将函数的图象向左平移个单位，则得到的图像，且函数为偶函数.
（I）求函数的解析式及其单调增区间；
（II）若，求的值.
参考答案：
（Ⅰ）f（x）=2sin（2x-）单调增区间为[-+kπ，+kπ]（Ⅱ）
（Ⅰ）f（x）==sinωx-cosωx=2sin（ωx-），∴g（x）=f（x+）=2sin[ω（x+）-]=2sin（ωx-π-），
又∵g（x）是偶函数，∴sin（-ωx+π-）=sin（ωx+π-），
∴sinωxcos（π-）=0对任意x∈R恒成立，∴π-=+kπ，k∈Z，
整理，得ω=2+3k，k∈Z，又0＜ω＜3，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x-），
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（）=2sin（2?-）=2sin（α-），
又f（）=，∴sin（α-）=，又＜α＜π，∴0＜α-＜，
∴cos（α-）=，∴sinα=sin[(α-)+]=sin(α-)cos+cos(α-)sin
=×+×=．
【答案】
略
20. （15分）（2015?嘉兴一模）已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．
（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；
（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．
参考答案：
【考点】：椭圆的简单性质．
【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】：（Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；
（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，
则x1+x2=，x1x2=，
则|AB|==，解得a=2．
（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，
则x1+x2=﹣，x1x2=，
由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），
解得x1=﹣2x2，代入上式得：
x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，
==，
当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，
又x1x2==，则=，解得a=5．
所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．
【点评】：本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．
21. （本小题满分12分）
已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.
(1)求;
(2)证明：当<1时，曲线与直线只有一个交点.
参考答案：
22. 选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
参考答案：
解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点
则有
，即，所以
又因为点在椭圆上，故，从而所以，曲线的方程是。