湖北省荆州市2019届高三年级质量检查(Ⅲ)数学(文史类)试题

荆州市2019届高三年级质量检查(Ⅲ)
数学(文史类)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项正确，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，多涂、不涂或涂错均为0分. 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，0） C ．（0，1） D ．（1，2）
2．若a 为实数，且1+ai 1+i
=2+i ，则a ＝（ ） A ．﹣3
B ．﹣2
C ．2
D ．3
3．为了得到函数y ＝sin （2x −π
6
）的图象，只需把函数y ＝sin2x 上的所有的点（ ） A ．向左平行移动π
6个单位长度
B ．向右平行移动π6
个单位长度
C ．向左平行移动
π12
个单位长度 D ．向右平行移动
π
12
单位长度
4．向量a →
=（1，﹣2），b →
=（2，﹣1），则（a →
+2b →
）•a →
=（ ） A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
5．已知定义在R 上的函数f （x ）＝2|x |﹣1，记a ＝f （log 0.53），b ＝f （log 25），c ＝f （0），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
6．已知在数列{a n }中，a n ＝a n ﹣1+1（n ∈N *且n ≥2），设S n 为{a n }的前n 项和，若S 9＝72，则a 9＝（ ） A ．8
B ．12
C ．16
D ．36
7．已知函数f （x ）＝x 3+ax +1
4
，若x 轴为曲线y ＝f （x ）的切线，则实数a 的值为（ ） A ．1
2
B ．3
4
C ．−12
D ．−34
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3π+4
B ．4π+2
C ．
9π2
+4 D ．
11π2
+4
9．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，点M 在双曲线E 上，若MF 1与x
轴垂直，且|MF 2|＝3|MF 1|，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．√2
B ．3
2
C ．√3
D ．2
10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若f （2a ﹣1）＞f （1﹣a ）成立，则实数a 的取值范图是（ ） A ．（2
3，1）
B ．（﹣∞，−2
3）∪（1，+∞）
C ．（0，2
3
）
D ．（﹣∞，0）∪（2
3
，+∞）
11．已知函数f （x ）＝sin x ﹣2√3sin 2x
2
，则f （x ）在区间[0，π4
]上的最小值是（ ） A ．−√3
B ．2−√3
C ．0
D ．√3
12．已知函数f （x ）={2x −1，x ＜1(x −a)(x −2a)，x ≥1若f （x ）恰有两个零点，则正数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1
2）
B ．[1
2
，2）
C ．[1
2
，1）
D ．（1，2）
二、填空题：本大题共4小，每小题5分，共20分，把答案填写在答颤卡中相应的横线上 13．求函数f （x ）＝x +1
x （x ＞0）的值域 ．
14．若x ，y 满足约束条件{y ＜x
x +y ＜1y ≥−1
，则z ＝x ﹣2y 的最大值为
15．已知圆C与y轴相切于点T（0，1），与x轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C=1 2，
c=√7，△ABC的面积为
3√3
2
，则a+b的值为
三、解答题：本大题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算.
17．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是正项等比数列，且满足a1＝b1＝2，3b3﹣S2＝a6，a3+3b2＝a7．
（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）若数列{
a n
b n
}的前n项和为T n，求T n．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A＝1，PC＝3，BC＝2，sin∠PCA=
1
3，E，F，G分别为线段的PC，PB，AB中点，且BE=
3
2．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若M为线段BC上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．
19．2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i＝1，2，3，4，5，6），如表
试销单价x
（百元）
123456
产品销量y
（件）
9186p787370（1）求出p的值；
（2）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价：x （百元）的线性国归方程y ＝bx +a （计算结果精确到整数位）；
（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x 对应的产品销的估计值当销售数据（x i ，y i ）的残差的绝对值|y i ﹣y |＜1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．
参考公式及数据y =16∑ 6i=1y i ＝80，∑ 6i=1x i y i =1606，∑ 6i=1x i 2
=91，b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i
−x)2
=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ n
i=1x i 2
−nx
2
，a =y −bx
20．已知圆M ：（x +m ）2+y 2＝4n 2（m ，n ＞0且m ≠n ），点N （m ，0），P 是圆M 上的动点，线段PN 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，点Q 的轨迹为曲线C ． （1）讨论曲线C 的形状，并求其方程；
（2）若m ＝1，且△QMN 面积的最大值为√3．直线l 过点N 且不垂直于坐标轴，l 与曲线C 交于A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ．求证：直线AD 过定点，并求出该定点的坐标． 21．已知函数f （x ）＝e x ﹣a （x 2+x +1）． （1）当a ＝1时，证明：f （x ）+x 2≥0； （2）当a =1
2
时，判断函数f （x ）的单调性；
（3）若函数f （x ）有三个零点，求实数a 的取值范围．
选考题：请考生在22、25两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1的参数方程为{x =tcosα
y =tsinα（t 为参数）直线l 2的参数方程为{x =tcos(α+π
4)y =tsin(α+π4)（t 为参数）其中α∈（0，3π
4），以原点O 为点x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣2sinθ＝0． （1）写出直线l 1的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B （非坐标原点）求|AB |的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝2|x ﹣1|﹣|x +2|． （1）解不等式f （x ）+x ＞0；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≥2a 2﹣5a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项正确，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，多涂、不涂或涂错均为0分. 1．A 2．D 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．A 10．D 11．C 12．C
二、填空题：本大题共4小，每小题5分，共20分，把答案填写在答颤卡中相应的横线上 13． [2，+∞）． 14． 5．
15．（x −√2）2+（y ﹣1）2＝2．
16．由于：cos C =12，C ∈（0，π），可得：C =π3
，sin C =√3
2
，
由已知，1
2ab sin C =
12×a ×b ×√32=3√3
2
， 所以ab ＝6，
由已知及余弦定理得a 2+b 2﹣2ab cos C ＝7， 故a 2+b 2＝13，从而（a +b ）2＝25， 所以a +b ＝5．
三、解答题：本大题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算.
17．（1）数列{a n }是公差设为d 的等差数列，数列{b n }是正项等比数列，公比设为q ，q ＞0， a 1＝b 1＝2，3b 3﹣S 2＝a 6，a 3+3b 2＝a 7．可得6q 2﹣（2+2+d ）＝2+5d ，2+2d +6q ＝2+6d ， 解得d ＝3，q ＝2，
则a n ＝2+3（n ﹣1）＝3n ﹣1；b n ＝2n ；
（2）
a n
b n =（3n ﹣1）•（1
2
）n ，
T n ＝2•12
+5•14
+8•18
+⋯+（3n ﹣1）•（12
）n ，
12
T n ＝2•14
+5•18+8•
116
+⋯+（3n ﹣1）•（1
2
）n +1，
两式相减可得12
T n ＝1+3（14
+
18
+⋯+（12
）n ）﹣（3n ﹣1）•（1
2
）n +1
＝1+3•14(1−12
n−1)1−1
2
−（3n ﹣1）•（12
）n +1，
化简可得T n ＝5﹣（3n +5）•（12
）n ．
18．（1）证明：∵P A ＝1，PC ＝3，sin∠PCA =1
3
， ∴P A ⊥AC ， ∵P A ⊥AB ， ∴P A ⊥平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，
∵E 为PC 中点，且BE =3
2=1
2PC ， ∴BC ⊥BP ， ∴BC ⊥平面P AB ， ∴AB ⊥BC ；
（2）∵E ，F 为中点， ∴BC ∥EF ，且EF ＝1， 由BC ⊄平面EFG ， ∴BC ∥平面EFG ， ∵M ∈BC ，
∴V M ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V E ﹣BFG ， 易知EF ⊥平面BFG ， FG ∥P A ，
AC =√PC 2−PA 2=2√2， AB =√AC 2−BC 2=2， ∴S △BFG =1
4，
∴V E−BFG =
13×14×1=112
． ∴三棱锥M ﹣EFG 的体积为：112
．
19．（1）由y =16∑ 6i=1y i ＝80，得16
(91+86+p +78+73+70)=80， 求得p ＝82； （2）b =
∑ 6i=1x i y i −6xy ∑ 6
i=1x i
2−6x 2
=
1606−6×3.5×8091−6×3．5
2
≈−4．
a =y −
b x =80+4×3.5=94． ∴所求的线性回归方程为y =−4x +94；
（3）当x 1＝1时，y 1＝90；当x 2＝2时，y 2＝86；当x 3＝3时，y 3＝82；当x 4＝4时，y 4＝78；当x 5＝5时，y 5＝74；当x 6＝6时，y 6＝70．
与销售数据对比可知满足|﹣y i |＜1（i ＝1，2，…，6）的共有4个“有效数据”：（2，86）、（3，82）、（8，78）、（6，70）．
从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有＝15种，
抽取的2组销售数据都是“有效数据”的有C 42
=6种，
∴抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为
6
15
=2
5
．
20．（1）当m ＞n ，即N 点在圆M 外时，轨迹是双曲线，如图：
因为QP ＝QN ，则QN ﹣QM ＝QP ﹣QM ＝MP ＝r ＝2n ＜MN ＝2m ， 所以点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点，以2n 为实轴长的双曲线， 则Q 点轨迹方程为
x 2n 2
−
y 2m 2−n 2
=1；
当m ＜n ，即N 点在圆M 内时，轨迹是椭圆，如图：
因为QP ＝QN ，则QN +QM ＝QP +QM ＝MP ＝r ＝2n ＞MN ＝2m ， 所以点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点，以2n 为实轴长的椭圆， 则Q 点轨迹方程为
x 2n 2
+
y 2n 2−m 2
=1；
（2）因为△QMN 的面积有最大值，故此时Q 点轨迹是椭圆，即Q 点所在方程为
x 2n 2
+
y 2n 2−1
=1，
且当Q 点为上（下）短轴顶点时△QMN 的面积最大，即有12
×2√n 2−1=√3，解得n 2＝4， 所以Q 点方程为
x 24
+
y 23
=1，N （1，0），
设直线l ：x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 2，﹣y 2） 联立{x =my +1
3x 2+4y 2
=12，整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 则y 1+y 2=
−6m 3m 2+4，y 1y 2
=−9
3m 2+4，① 因为k AD =y 1+y
2x 1−x 2=y 1+y
2m(y 1−y 2)
，所以直线AD 的方程为y ﹣y 1=y 1+y
2m(y 1−y 2)（x ﹣x 1）=y 1+y
2
m(y 1−y 2)（x ﹣my 1﹣1），
令y ＝0，得x =2my 1y
2y 1+y 2
+1，
将①代入得x ＝4，则直线AD 必过点（4，0），证毕． 21．（1）当a ＝1时，证明：f （x ）+x 2≥0； 等价于证明：e x ﹣（x +1）≥0． 令g （x ）＝e x ﹣（x +1）．
g ′（x ）＝e x ﹣1，可得g （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增， ∴g （x ）≥g （0）＝0，
∴e x ﹣（x +1）≥0．即f （x ）+x 2≥0； （2）当a =1
2时，f （x ）＝e x −1
2（x 2+x +1）． f′(x)=e x −x −1
2≥x +1−x −1
2＞0，
∴函数f （x ）在R 单调递增； （3）函数f （x ）有三个零点， ⇔a =
e x
x 2+x+1
有三个实根，
令h （x ）=e x x 2+x+1，g′(x)=e x (x 2−x)
(x 2+x+1)
2 ∴h （x ）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 且x →0时，h （x ）→0，x →+∞时，h （x ）→+∞ h （0）＝1，h （1）=e
3
， ∴实数a 的取值范围是（e 3，1）．
选考题：请考生在22、25两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（1）由{x =tcosα
y =tsinα可得l 1的极坐标方程为：θ＝α； 由{x =tcos(α+π
4)y =tsin(α+π4)
可得l 2的极坐标方程为：θ＝α+π4； 由ρ﹣2sinθ＝0得ρ2﹣2ρsinθ＝0可得曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2y ＝0．
（2）将l 1和l 2的极坐标方程分别代入曲线C 的极坐标方程得：ρA ＝2sinα，ρB ＝2sin （α+π
4）， ∴|AB |2＝|OA |2+|OB |2﹣2|OA ||OB |cos π4
=ρA 2+ρB 2−2ρA ρB •
√22
=4sin 2α+4sin 2（α+π4）﹣2×2sinα×2sin （α+π
4）×
√2
2
＝4sin 2
α+4（√22sinα+√22cosα）2
﹣4√2sinα（√22
sinα+√22cosα）
＝4sin 2α+2（1+2sinαcosα）﹣4sinα2﹣4sinαcosα ＝2． 即|AB |=√2．
23．[选修4-5：不等式选讲]
f （x ）＝2|x ﹣1|﹣|x +2|={x −4，x ＞1
−3x ，−2≤x ≤1−x +4，x ＜−2
，
（1）∵f （x ）+x ＞0 ∴{
x −4+x ＞0x ＞1或{−3x +x ＞0−2≤x ≤1或{−x +4+x ＞0x ＜−2
，
∴x ＞2或﹣2≤x ＜0或x ＜﹣2， ∴x ＜0或x ＞2，
∴不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞2}．
（2）由f （x ）={x −4，x ＞1
−3x ，−2≤x ≤1−x +4，x ＜−2
，知f （x ）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增
∴f （x ）min ＝f （1）＝﹣3，
∵关于x 的不等式f （x ）≥2a 2﹣5a 的解集为R ， ∴只需f （x ）min ≥2a 2﹣5a ， ∴2a 2﹣5a +3≤0，∴1≤a ≤3
2
， ∴实数a 的取值范围[1，3
2]．。