2019-2020学年山西省大同市数学高二下期末综合测试试题含解析

2019-2020学年山西省大同市数学高二下期末综合测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：
参照附表，得到的正确结论是( ) 附：由公式算得：2
2()7.8()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++ 附表：
()20P k k > 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 1.323 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”
【答案】A
【解析】
【分析】
根据参照表和卡方数值判定，
6.635<
7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 【详解】
因为6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.
【点睛】
本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE = （ ）
A ．12b a -
B ．12b a +
C ．12a b +
D ．12
a b - 【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算可得BE 的表示形式.
【详解】
1122
BE BA AD DE a b a b a =++=-++=-， 故选：A ．
【点睛】
本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.
3．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）
A ．34A 种
B ．3134A A 种
C ．2343C A 种
D ．113433C C A 种 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.
【详解】
解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；
则必有2名水暖工去同一居民家检查，
即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，
再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有33A 种情况， 由分步计数原理，可得共23
43C A 种不同分配方案，
故选：C.
【点睛】
本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.
4．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，
则)()OP PM PO PN +⋅-=（（ ）
A ．20-
B ．12
C ．-12
D ．20 【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
分析：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()
OP PM PO PN OM NO +⋅-=⋅ ()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--，由22281608y kx x kx x y
-=⎧⇒--=⎨=⎩利用韦达定理求解即可. 详解：设()()1122,,,M x y N x y ，
()()
OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅ ()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--
28x y =的焦点()0,2F ，
设过点F 的直线为2y kx -=，
22281608y kx x kx x y
-=⎧⇒--=⎨=⎩1216x x ⇒=-， 128x x k +=，
()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++
2162844k k k =-+⨯+=，
()()
OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅ ()121216412x x y y =--=---=，故选B.
点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.
5．已知数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，则10S =( )
A ．55
B ．65
C ．70
D ．75
【答案】A
【解析】
【分析】
设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题：数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，
解得1d =， 所以1010910552S ⨯=+
=. 故选：A
【点睛】
此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和. 6．已知函数2()()f x x a =-，且'(1)2f =，则a =（ ）
A ．1-
B ．2
C ．1
D ．0 【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数()y f x =的导数，结合条件()12f '=，可求出实数a 的值．
【详解】
因为'()22f x x a =-，所以'(1)2122f a =⨯-=，解得0a =，故选D ．
【点睛】
本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题． 7．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ）
A ．21y x =-
B ．2log ||y x =
C ．1y x =-
D ．31y x =-
【答案】A
【解析】
【分析】
先分析||3x y =-的奇偶性以及在(,0)-∞的单调性，然后再对每个选项进行分析.
【详解】
函数||3x y =-为偶函数,且在(,0)-∞上为增函数，
对于选项A ,函数21y x =-为偶函数，在(,0)-∞上为増函数，符合要求；
对于选项B ,函数2log ||y x =是偶函数，在(,0)-∞上为减函数，不符合题意；
对于选项C ,函数1y x
=-为奇函数，不符合题意； 对于选项D ,函数31y x =-为非奇非偶函数，不符合要求；
只有选项A 符合要求，故选A .
【点睛】
奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下）
若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；
若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数.
8．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）
A ．141种
B ．140种
C ．51种
D ．50种
【答案】A
【解析】
分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．
详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，
所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，
所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种． 故选：A ．
点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．
9．用反证法证明“如果a ＜b ）
A =
B
C =
D =【答案】D
【解析】
解：因为用反证法证明“如果a>b ”，选D 10．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若3AF FB =，则AOF 的
面积（O 为坐标原点）为（ ）
A ．3
B ．3
C ．43
D ．23
【答案】B
【解析】
【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得30ABM ∠=，60AFH ∠=.根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到12103
x x +=，根据焦点弦性质得到163AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==，再计算AOF S 即可. 【详解】
如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥.
因为3AF BF =，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==.
所以2AM k =.
在RT ABM 中，12
AM AB =
，所以30ABM ∠=. 则60AFH ∠=. (1,0)F ，直线AF 为3(1)y x =-.
223(1)310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=+=，344
AF AB ==.
在RT AFH 中，sin 6023
AH AF ==. 所以112332
AOF S =⨯⨯=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
11．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A ．15
B ．16
C ．23
D ．13
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，易得正方形OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x 与y x =
式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x 与y x =,
其面积为)
113220021326x x x dx x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰， 则正方形OABC 中任取一点P ,点P 取自阴影部分的概率为1
1616
=； 故选：B.
【点睛】
本题考查定积分在求面积中的应用,几何概型求概率，属于综合题，难度不大，属于简单题. 12．在10
32x x 的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532 B ．56638x - C ．531058x D ．5
215x -
【答案】D
【解析】
【分析】
根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项；
【详解】
10
∴二项式展开式为：
(10)1
1
3
2
110
1
2
k
k
k
k
T C x x
-
-
+
⎛⎫
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
设系数绝对值最大的项是第1
k+项，
可得
1
1
1010
1
1
1010
11
22
11
22
k k
k k
k k
k k
C C
C C
-
-
+
+
⎧⎛⎫⎛⎫
≥
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎨
⎛⎫⎛⎫
⎪
≥
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎩
可得
111
1
2
101
1
12
k
k
k
k
-
⎧
≥
⎪⎪
⎨
-
⎪≥⋅
⎪+
⎩
，解得
811
33
k
≤≤
*
k N
∈
∴3
k=
在
10
的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
3
71
1
3
10
5
2
3
2
4
1
2
15
x x
T C x-
⎛⎫
⎛⎫
=-=
⎪
⎭
-
⎪
⎝⎭⎝
故选：D.
【点睛】
本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题
13．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n S，如11
S=，
2
2
S=，
3
2
S=，4
4
S=，……，则
126
S=______
【答案】64.
【解析】
【分析】
将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．
【详解】
解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，
可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，
由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2， 故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11 又126÷4＝31+2，∴S 126＝2×31+2＝64，
故答案为：64
点睛：本题考查归纳推理，属中档题.
14．若关于x 的不等式24x x a -++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】 (－∞，6]
【解析】
由题意可设()24f x x x =-++，则当4x ≤-时， ()2422f x x x x =---=--；当2x ≥时，()2422f x x x x =-++=+；当42x -<<时，不等式可化为()246f x x x =-++=。

在平面直角坐标系中画出函数()24f x x x =-++的图像如图，结合图像可知当6a ≤，不等式
()24f x x x a =-++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是(,6]-∞，应填答案(,6]-∞。

15．在()61x +的展开式中，2x 项的系数为______．
【答案】15
【解析】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式，求得2x 项的系数.
【详解】
二项式()()66
11x x =++，展开式中含2x 项为222615C x x =，所以2x 项的系数为15. 故答案为：15.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.
16
．已知34a b ==则
11a b
+=_____________． 【答案】2
【解析】
【分析】
由指数和对数函数的运算公式，计算即可.
【详解】
由3a =
a=3log
4b =
b=4log . 所以11a b +
2+=+=
故答案为:2
【点睛】 本题考查的是指数与对数的互化及对数公式的运算，熟练掌握公式是关键，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O
是底面圆心，SO =4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=︒．
（1）求直线PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线PC 与SB 所成的角． 【答案】（1）π4；（2）6
arccos
. 【解析】 【分析】
（1）作出直线PC 与底面所成的角，解三角形求得线面角的大小. （2）作出直线PC 与SB 所成的角，解三角形求得异面直线所成角的大小. 【详解】
（1）因为AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，23,4SO AB ==，P 是母线SA 的中点，C 是
底面圆周上一点，60AOC ∠=.22
AB
r =
=，圆锥母线长()
222234l =+=.过P 作PE O ⊥，交AO 于E ，连接CE ，则E 是AO 中点，221
3,2132
PE SO CE ===-=.1,2OE OC ==，所以
CE AO ⊥，所以PCE ∠是直线PC 和底面所成角.因为,PE CE PE CE =⊥，所以π
4
PCE ∠=.即PC 与
底面所成的角的大小为π
4
.
（2）由（1）得3CE =,336PC =+=.连接PO ，则//PO SB ，1
22
PO SB ==，所以CPO ∠是
异面直线PC 与SB 所成的角，由余弦定理得2226
cos 24
262PC PO CO CPO PC PO +-∠===
⋅⋅⨯⨯.所以异面直线PC 与SB 所成的角为6
arccos
.
【点睛】
本小题主要考查线面角、线线角的求法，考查空间想象能力，属于中档题.
18．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，设
:p “()
()231280f m f m ++-<”.
（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；
（2）设:q 集合()(){}
|140A x x x =+-≤与集合{}|B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）35m <<；（2）()(1?
3]4? 5-⋃，，. 【解析】
试题分析：（1）由已知可得，函数()f x 为R 上的奇函数、且为增函数，由命题p 为真，则
()()()
()22312803812f m f m f m f m ++-<⇒+<-，所以23812m m +<-，从而解得35m <<；
（2）由集合()(){
}|140A x x x =+-≤⇒{}
|14x x x ≤-≥或，若q 为真，则14m -<≤，因为“p q ∧为假，p q ∨为真”等价于“p 、q 一真一假”，因此若p 真q 假，则45m <<；若p 假q 真，则13m -<≤.
从而可得，实数m 的取值范围是()(13]
45-⋃，，. 试题解析：∵函数()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=， ∵当12x x <时，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦， ∴函数()f x 为R 上的增函数，
∵()
()2
31280f m f m ++-<，()()f x f x -=-，
∴()
()2
3812f m f m +<-，∴23812m m +<-，
若p 为真，则28150m m -+<，解得35m << （2）{}
|14A x x x =≤-≥或， 若q 为真，则14m -<≤， ∵p q ∧为假，p q ∨为真， ∴p 、q 一真一假， 若p 真q 假，则45m <<； 若p 假q 真，则13m -<≤
综上，实数m 的取值范围是()(13]
45-⋃，， 考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.
19．已知点M 为抛物线2:4C y x =上异于原点O 的任意一点，F 为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于点N ，点N 关于x 轴的对称点为A . （1）证明：直线MA 恒过定点；
（2）如果FM OM λ=，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2
）2
λ≥ 【解析】 【分析】
（1）设()()
22
11()4,404,4M t t t N t t ≠，，计算得到114t t =-
，直线AM 的方程为()24141
t y x t =++，得到答案. （2）计算()
2
2
4218116t t t
λ-=++，设2
181m t =-<，讨论0m =，0m <，01m <<三种情况，分别计算
得到答案. 【详解】
（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，因为()1,0F ，所以()()
22
11,14,441,4MF t t FN t t =--=-，
由M F N ，，三点共线得()()
22
111444140t t t t -⋅+-⋅=，化简得114t t
=-
， 即211,4N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得211,4A t t ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以直线AM 的方程为()2244441
t y t x t t -=-+， 即()24141
t
y x t =++，因此直线MA 恒过定点()1,0-.
（2）()
()
22
2
2
2
2
42
2
42
4116181161616FM t t t t t t t
OM
λ-+-=
=
=+++，0λ≥，令2181m t =-<， 如果0m =，则1λ=； 如果0m ≠，则
2114910
m m
λ=+⋅
+-， 当0m <时，96m m +
≤-，3m =-时等号成立，从而2314λ≤<
1λ≤<； 当01m <<时，函数9
10y m m
=+
-在()0,1上单调递减，当1m =时，0y =，故0y >， 故1
0910
m m
>+-，所以21λ>，故1λ>. 综上，实数λ
的取值范围为2
λ≥. 【点睛】
本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组，第一组；第二组；…；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求成绩在区间内的学生人数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选取2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．【答案】（1）;（2）．
【解析】试题分析：(Ⅰ)由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在的学生频率,用40乘以频率可得成绩在的学生人数;
(Ⅱ)用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生的事件个数,查出至少有1名学生成绩在的事件个数,然后直接利用古典概型概率计算公式求解.
试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，
所以成绩在区间内的频率为，
所以选取的40名学生中成绩在区间内的学生人数为.
（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选取2名，至少有1名学生的成绩在区间
内”，由（1）可知成绩在区间内的学生有4人，记这4名学生分别为，
成绩在区间内的学生有（人），记这2名学生分别为，
则选取2名学生的所有可能结果为，
,
共15种，
事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为，
，共9种，
所以．
21．已知数列{}n a 满足111,()(1)2
n
n n na a a n N n a *+==
∈++，
（1）求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想． 【答案】 (1) 2311
,49a a ==，猜想21n a n
=. (2)见解析. 【解析】
分析：（1）直接由原式计算即可得出2
311
,49
a a ==，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学
归纳法的三个步骤证明即可. 详解： （1）2311
,49
a a ==，猜想.
（2）当时，命题成立；
假设当
时命题成立，即
，
故当
时，()()2
12221
1111221112k k k k ka k a k a k k k k k +⨯
====++++⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
，
故
时猜想也成立.
综上所述，猜想成立，即
.
点睛：考查数学归纳法，对数学归纳法的证明过程的熟悉是解题关键，属于基础题.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中， / / , , A B C D A P A D E =是棱PD 的中点，且AE AB ⊥.
（1）求证：CD ∥平面ABE ； （2）求证：平面ABE 丄平面PCD . 【答案】 (1)见解析；（2）见解析.
【解析】 【分析】
(1)要证CD ∥平面ABE ，只需说明 /?/? A B C D 即可；
（2）要证平面ABE 丄平面PCD ，只需证明AE ⊥平面CDP 即可. 【详解】
（1）证明：根据题意，
/?/?,?AB ,AB CD ABE CD ABE ⊂⊄平面平面,故CD ∥平面ABE ； （2）证明：由于 ,?A P A D E =是棱PD 的中点，故AE PD ⊥，而AE AB ⊥， /?/? A B C D ，因此
AE CD ⊥，显然PD CD D ⋂=，故AE ⊥平面CDP ，而AE ⊂平面ABE ，平面ABE 丄平面PCD.
【点睛】
本题主要考查线面平行，面面垂直的判定，意在考查学生的空间想象能力和分析能力，难度不大.。