2.1 不等式和不等式的性质训练题及解析

2.1 不等式和不等式的性质训练题
1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ） A ．a +b +c ＞130
B ．a +b +c ＜130
C ．a +b +c ≥130
D ．a +b +c ≤130
2．已知t ＝2a +2b ，s ＝a ²+2b +1，则（ ） A ．t ＞s
B ．t ≥s
C ．t ≤s
D ．t ＜s
3．已知P ＝x 2
+xy +y 2
，Q ＝3xy ﹣1，则（ ） A ．P ＞Q B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．P ，Q 的大小关系不确定
4．已知a ，b 为不相等的实数，记M ＝a 2
﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2
，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．不确定
5.如果,a b >那么下列说法正确的是（ ）
A ．ac bc >
B ．22ac bc <
C ．ac bc =
D ．0b a -< 6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．
11a b
> B ．
11
a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 7.下列命题正确的是（ ） A ．若>a b ，则
11
a b
< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd
8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（ ）
A ．22ac bc <
B ．
11a b < C ．b a
a b
> D ．22a ab b >> 9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（ ） A ．
11a b < B ．0b a
a b
+> C ．22a b > D ．a b < （多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ≠b ，则a 2
≠b 2
B ．若a 2≠b 2
，则a ≠b
C ．若a ＞b ，则a 2
＞b 2
D ．若a ＞|b |，则a 2
＞b 2
（多选）11．已知a ，b ，c 满足c ＜a ＜b ，且ac ＜0，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ．ac （a ﹣c ）＞0
B ．c （b ﹣a ）＜0
C ．cb 2
＜ab 2
D ．ab ＞ac
（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2
＞bc 2
B ．若a ＜b ＜0，则a 2
＞ab ＞b 2
C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则
D ．若a ＞b 且
，则ab ＜0
（多选）13．如果a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下面一定成立的是（ ） A ．a +d ＜b +c
B ．ac ＞bd
C ．ac 2
＞bc 2
D ．
14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______
15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（ ） A ．
1,43a b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
B ．()21,78a b +∈
C ．()9,42a b -∈-
D ．
739,59a b b +⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.
17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ）
A ．[7,26]-
B ．[1,20]-
C ．[4,15]
D ．[1,15]
18.已知a b c >>，求证111b c a b a c
+>---.
19.若0bc ad -≥，0bd >，求证： a b c d
b d
++≤．
20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-； （2）已知,0a b ab >>，求证：
11a b
<； （3）已知0,0a b c d >><<，求证：
a b c d
>.
2.1 不等式和不等式的性质训练题解析
1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）
A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130 【答案】D
【解答】解：由题意可知a+b+c≤130．
故选：D．
2．已知t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，则（）
A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s
【答案】C
【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，
s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，
所以s≥t，
故选：C．
3．已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定
【答案】A
【解答】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x+y）2+1＞0．
故P．
故选：A．
4．已知a，b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，则M与N的大小关系为（）
A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．不确定
【答案】A
【解答】解：∵M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2
， ∴M ﹣N ＝a 2
﹣ab ﹣ba +b 2
＝（a ﹣b ）2
， ∵a ，b 为不相等的实数， ∴（a ﹣b ）2＞0， ∴M ＞N ． 故选：A ．
5.如果,a b >那么下列说法正确的是（ ）
A ．ac bc >
B ．22ac bc <
C ．ac bc =
D ．0b a -< 【答案】D
【解答】因为a b >，不等式两边同时减去a 得0b a >-，D 正确，
若0c
，则AB 错误，若0c ≠，C 错误．故选：D ．
6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．
11
a b
> B ．
11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 【答案】B
【解答】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11
a b
>，所以成立；
选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以
110()
b a b a a a b -=<--，所以11
a b a
<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；
选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22
a b >，所以成
立
7.下列命题正确的是（ ） A ．若>a b ，则
11
a b
< B ．若>a b ，则22a b >
C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --
D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd
【答案】C
【解答】A.若>a b ，则
11
a b
<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确
D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C
8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（ ） A ．22ac bc < B ．11a b < C ．b a
a b
> D ．22a ab b >> 【答案】D
【解答】对于A ，当0c
时，220ac bc ==，A 错误；
对于B ，当2a =-，1b =-时，
112a =-，11b =-，此时11
a b
>，B 错误； 对于C ，22
0b a b a a b ab
--=<，b a a b ∴<，C 错误；
对于D ，
0a b <<，0a b ∴-<，
()20∴-=->a ab a a b ，()20ab b b a b -=->，22a ab b ∴>>，D
正确.
9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（ ） A ．
11a b < B ．0b a
a b
+> C ．22a b > D ．a b < 【答案】C
【解答】因0ab <，a b >，则a>0，b<0，
11
0,0a b
><，A 不正确； 0,0b a a b <<，则0b a
a b
+<，B 不正确； 又0a b +>，即0a b >->，则22
()a b >-，22a b >，C 正确； 由0a b >->得||a b >，D 不正确.故选：C
（多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ≠b ，则a 2
≠b 2
B ．若a 2≠b 2
，则a ≠b
C ．若a ＞b ，则a 2
＞b 2
D ．若a ＞|b |，则a 2
＞b 2
【答案】BD
【解答】解：对于A，若a≠b，则a2≠b2错误，反例：a＝1，b＝﹣1，故A错误：
对于B，若a2≠b2，则a≠b正确，故B正确；
对于C，若a＞b，则a2＞b2错误，反例：a＝1，b＝﹣5，故C错误；
对于D，若a＞|b|，则a2＞b2正确，故D正确，
故选：BD．
（多选）11．已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ab＞ac
【答案】BCD
【解答】解：因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，
所以c＜0，a＞0，b＞0，a﹣c＞0，b﹣a＞0，
所以ac（a﹣c）＜0，c（b﹣a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，
故选：BCD．
（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＞b＞0且c＜0，则
D．若a＞b且，则ab＜0
【答案】BCD
【解答】解：A，不成立，比如c＝0时，ac2＝bc2，
B，成立，a＜b＜0，则a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，C，成立，若a＞b＞0且c＜0，则a2＞b2＞0，，即有，
D，成立，若a＞b且，可得＞0，∵b﹣a＜0，∴ab＜0，
故选：BCD．
（多选）13．如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）
A．a+d＜b+c B．ac＞bd C．ac2＞bc2D．
【答案】BD
【解答】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣1，c ＝﹣5，d ＝﹣1时，
a +d ＞
b +
c ，故选项A 错误；
∵a ＜b ＜0，c ＜d ＜0， ∴﹣a ＞﹣b ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴ac ＞bd ，故选项B 正确； ∵a ＜b ，c 2
＞0，
∴ac 2
＜bc 2，故选项C 错误； ∵﹣a ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴＞＞0，故选项D 正确； 故选：BD ．
14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______ 【答案】()18,1--
【解答】依题意可知2026-<-<-b ，
由于25<<a ，由不等式的性质可知1821-<-<-a b .
15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（ ） A ．
1,43a b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
B ．()21,78a b +∈
C ．()9,42a b -∈-
D ．
739,59a b b +⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
【答案】AB
【解答】因为660<<a ，1518<<b ，
所以
111
1815
<<b ，1815-<-<-b ， 则
6601815
<<a b ，6156018+<+<+a b ，6186015-<-<-a b ， 即
143<<a b ，2178<+<a b ，1245-<-<a b ，则41,53+⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
a b a b b ； 故AB 正确，CD 错.
16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.
【答案】(5,10)
【解答】令4(2)()(2)()-=++-=++-a b m a b n a b m n a m n b ，
则241+=⎧⎨-=-⎩m n m n ，解得12=⎧⎨=⎩
m n ，
所以4(2)2()-=++-a b a b a b ， 因为34<-<a b ，所以62()8<-<a b ， 因为122-<+<a b ，
所以1622()28-+<++-<+a b a b ， 所以5410<-<a b ，
所以4-a b 的取值范围为(5,10)，
17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15] 【答案】B
【解答】令=-m x y ，4=-n x y ，
,343-⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩
n m x n m
y , 则85933=-=-z x y n m
552041333
-≤≤-∴≤-≤
m m 又
8840
15333
-≤≤∴-≤≤n n ，
因此85
192033
-≤=-=
-≤z x y n m ，故本题选B.
18.已知a b c >>，求证111b c a b a c
+>---. 【答案】证明见解析.
【解答】证明：111()()()()()()()()()
--+--+--+-=
------a b c a c a b c b c a b b c a b a c b c c a a b
2()()()()()()
----=---a b c a b c b c c a a b .
由>>a b c ，可知0->a b ，0-<c a ， 从而()()0--<a b c a ，
又0->b c ，()()()0---<b c c a a b ，又2
()0--<b c ， 因此上式分子、分母均小于零，
1110∴
+->---b c a b a c ，即111+>---b c a b a c
. 19.若0bc ad -≥，0bd >，求证：
a b c d
b d
++≤． 【解答】证明：
+++----==a b c d ad bd bc bd ad bc
b d bd bd
， 0,0-≥>bc ad bd ，
0-∴≤ad bc
bd
， ++∴
≤a b c d
b d
. 20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-； （2）已知,0a b ab >>，求证：
11
a b
<； （3）已知0,0a b c d >><<，求证：
a b c d
>. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解答】（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.
则a c b d ->-. （2）因为0ab >，所以
1
0ab
>. 又因为a b >，所以1a b ab ab
1⋅>⋅， 即
11b a >，因此11
a b
<. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得
11
0c d
>>. 又因为0a b >>，则 11
a b c d
⋅
>⋅，即a b c d >。