河南省郑州市外国语学校2025届高考数学四模试卷含解析

河南省郑州市外国语学校2025届高考数学四模试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中
点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
2．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB yAD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )
A ．5
B ．2
C ．
30
2
D ．23
3．已知函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x
g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 4．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）
A ．247.79m
B ．254.07m
C ．257.21m
D ．2114.43m
5．已知1F 、2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一
条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞
B ．(3,2)
C ．(2,3)
D ．(1,2)
6．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6
π
，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=
B ．3
x π
=
C ．12
x π
=
D ．512
x π=
7．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面
内，点是线段
上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线
经过的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
8．设双曲线22
1x y a b
+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为
（ ） A ．
2
25514
x y -= B ．2
2
5514
y x -
= C ．
2
25514
y x -= D ．2
2
5514
x y -
= 9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．24π
B ．28π
C ．32π
D ．36π
10．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
11．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x
D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x
12．已知集合(){}
lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则A B =（ ） A ．{}
2x x >-
B ．{}
22x x -<<
C ．{}
22x x -≤<
D ．{}
2x x <
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 的前n 项满足()3*
1232232n n a a a na C n N ++++
+=∈，则n a =______.
14．已知实数,x y 满足20
2201x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值是______________.
15．如果函数()()()2
2281f x m x n x =-+-+（m ,
n R ∈且2m ≥,0n ≥）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,那么mn 的最大值为__________． 16．若3
21()(2)573
f x kx k x k =
+--+在()0,2上单调递减，则k 的取值范围是_______ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是11cos ,4231sin 2x y αα⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（α是参数），以原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3
π
，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值. 18．（12分）已知函数()ln f x x =.
（1）设2()
()f x g x x
=
，求函数
()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1a
e -+上不单调，证明：111
a a a +>+.
19．（12分）已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点()()2,0P n n >在抛物线C 上，
3PF =，直线l 过点
F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点．
（1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）求PA PB ⋅的最大值．
20．（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，5a 是2a 与11a 的等比中项. （1）求n S ；
（2）设数列{}n b 满足12b a =，132n a
n n b b +=+⨯，求数列{}n b 的通项公式.
21．（12分）已知a ∈R ，函数2()ln(1)2f x x x ax =+-++. （1）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：对(1,)-+∞上的任意两个实数1x ，2x ，总有()()12121
2123
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+
⎪⎝⎭成立.
22．（10分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>2⎛- ⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点
)
作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰
关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为b y x a
=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠
由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒
∴
tan 60b
a
=︒=，即223b a =.
∴双曲线的离心率为22c a e a a
==== 故选C.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 2、B 【解析】
由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=，利用向量三角形法则求
出12AE AB AD λλ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭，结合题给AE xAB yAD =+，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =. 【详解】
由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，
可求得1,AD CD =2AB DC =· ∵点E 在线段BC 上， 设(0
1)BE BC λλ= ，
则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++
(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫
=-++=-+ ⎪⎝⎭，
即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，
又因为AE xAB yAD =+ 所以1,2
x y λ
λ=-
=，
所以22
1
1111(1)1(1)22222
xy λλλλ⎛⎫
⎡⎤=-
=---=--+ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
， 当1λ=时，等号成立. 所以1
||||22
AE AB AD =+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力. 3、A 【解析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x
x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由
导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，
结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】
函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x g
x x a -=-⋅，
由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，
即0000242ln 5x
x a a x x -⋅+⋅=+-，
令()ln 5h
x x x =+-，
∴()111x
h x x x
-'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减，
∴()()14max h
x h ==，而0
024224x
x a a a -⋅+⋅≥，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，
∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题. 4、B 【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的1
8
，两面积作差即可求解. 【详解】
由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360
458
=， 设三角形的腰为a ，
由正弦定理可得10
135sin 45sin 2
a
=，解得135
2
a
=， 所以三角形的面积为：
(
)
2
11351cos135
sin 455022521222
S ⎛⎫-=⨯=⋅
=+ ⎪⎝⎭，
所以每块八卦田的面积约为：)
21
251454.078
π-⨯⨯≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题. 5、A 【解析】
双曲线22x a
﹣2
2y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，
不妨设过点F 1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b
a
（x ﹣c ）， 与y=﹣
b a x 联立，可得交点M （2
c ，﹣2bc a
）， ∵点M 在以线段F 1F 1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF 1|，即有24c +22
2
4b c a
＞c 1， ∴2
2b a
＞3，即b 1＞3a 1， ∴c 1﹣a 1＞3a 1，即c ＞1a ． 则e=
c
a
＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）． 故选：A ．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 6、B 【解析】
把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项． 【详解】
由题意2sin()13π
ϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
不妨取6π
ϕ=-或2ϕπ=，
若2
ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π
=+=，四个选项都不合题意，
若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3
x π
=是对称轴．
故选：B ． 【点睛】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键． 7、A 【解析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故
，
故
，故为
中点.
故选：. 【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8、C 【解析】
求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a -=-的渐近线方程为b
y x a
=±-，由题意可得4b a =-，又21c =，
即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】
解：抛物线24x y =的焦点为0,1
可得双曲线()22
10,0x y b a a b +=><
即为221y x b a -=-的渐近线方程为b
y x a
=±-
2b
a
=-，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-
，45
b =. 即双曲线的方程为2
25514
y x -=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题. 9、C 【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为231的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，
由正弦定理可得23
24sin120
AD =
=，解得2AD =，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =
+=
该几何体外接球的表面积为：(2
42232S ππ=⋅=.
故选：C 【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 10、B 【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】
4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；
22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 11、C 【解析】
套用命题的否定形式即可.
命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为
“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”.
故选：C
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
12、C
【解析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】 解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1n +
【解析】
由已知写出用1n -代替n 的等式，两式相减后可得结论，同时要注意1a 的求解方法．
【详解】
∵31232232n n a a a na C +++++=①，
∴2n ≥时，31231123(1)2n n a a a n a C -+++++-=②，
①－②得3322112()2(1)n n n n na C C C n n +++=-==+，
∴1n a n =+，
又3
1322a C ==，
∴1n a n =+（*n N ∈）．
故答案为：1n +．
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知n S 求n a 的解题方法求解．
14、8-
【解析】
先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.
【详解】
画出不等式组202201x y x y y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
表示的可行域如图阴影区域所示.
由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z 的直线系，
平移直线30x y +=，
易知当直线3z x y =+经过点(3,1)M -时，直线的纵截距最小，目标函数3z x y =+取得最小值，且
min 3(3)18z =⨯-+=-.
故答案为：-8
【点睛】
本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.
15、18
【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.
【详解】
解:①当2m =时, ()()281f x n x =-+,
()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减, 则80n -<,即08n ≤<,
则016mn ≤<.
②当2m >时, ()()()2
2281f x m x n x =-+-+, 函数开口向上,对称轴为()()288222
n n x m m --=-=---, 因为()f x 在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 则822
n m --≥-, 因为2m >,则()()822n m --≥-,
整理得212m n +≤,
又因为2m >,0n ≥
则2m n +≥
所以22m n +≥即22212221822
m n mn +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤=, 所以18mn ≤
当且仅当3,6m n ==时等号成立.
综上所述,mn 的最大值为18.
故答案为:18
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”. 16、(,1]-∞
【解析】
由题意可得导数()0f x '≤在()0,2恒成立，解出即可．
【详解】
解：由题意，2()2(2)f'x kx k x =+-，
当0k ≤时，显然()0f x '<，符合题意；
当0k >时，()0f x '<在()0,2恒成立，
∴(0)0,(2)0,(0,1]f f k '≤≤∴∈，
∴(,1]k ∈-∞，
故答案为：(,1]-∞．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+
⎪⎝⎭（2）最大值为34
【解析】
（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.
（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值.
【详解】 （1
）由11cos ,421sin ,2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去α得曲线C
的普通方程为22102x y x y +--=. 所以C
的极坐标方程为1cos 22
ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛
⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭
. （2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛
⎫+
⎪⎝⎭
，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭1cos cos 2θθθ⎫=+⋅⎪⎪⎝⎭
112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ 当6π
θ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34
. 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
18、（1）(x ∈为增区间；)x ∈
+∞为减区间.见解析（2）见解析 【解析】
（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.
（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()
1,1a e -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111
a a a +>+成立. 【详解】
（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0x g x x -'=
>，解得(x ∈为增区间；
由312ln ()0x g x x -'=<解得)
x ∈+∞为减区间. 下面证明函数只有一个零点：
∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，
∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点，
故函数只有一个零点.
（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则
(1)(),111x x
a x e a h x e x x x --'=-=>-- 当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意；
当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，
则()0x m x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，
又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()
1,1a e -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，
且()()11010a e e a m e e e a e a m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>
两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111
a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=->
∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10x
e x x >+>① 在①中令x a =，∴111111a a a e a e e a a ->+⇒
<⇒<++ 令1ln x a =∴1ln 1ln 1a
e a >+，即111ln 11ln a a a a
>+⇒>- 即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111
a a a +>+. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
19、（1）24y x =，(2,P ；（2）1．
【解析】
（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，即可求抛物线C 的方程从而可得解；
（2）设直线l 的方程为：x +my ﹣1＝0，代入y 2＝4x ，得，y 2+4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝﹣
4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2＝2+4m 2，x 1x 2＝1，PA =（112x y --，），PB =（x 2﹣2，2y -），由此能求出PA PB ⋅的最大值．
【详解】
（1）∵点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，P （2，y 0）是抛物线上一点，|PF |＝3，
∴22
p +=3， 解得：p ＝2，
∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，
∵点P （2，n ）（n ＞0）在抛物线C 上，
∴n 2＝4×2＝8，
由n ＞0，得n ＝P （2，．
（2）∵F （1，0），∴设直线l 的方程为：x +my ﹣1＝0，
代入y 2＝4x ，整理得，y 2+4my ﹣4＝0
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则y 1，y 2是y 2+4my ﹣4＝0的两个不同实根，
∴y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，
x 1+x 2＝（1﹣my 1）+（1﹣my 2）＝2﹣m （y 1+y 2）＝2+4m 2，
x 1x 2＝（1﹣my 1）（1﹣my 2）＝1﹣m （y 1+y 2）+m 2y 1y 2＝1+4m 2﹣4m 2＝1，
PA =
（112x y --，，PB =（x 2﹣2
，2y -）， PA PB ⋅=（x 1﹣2）
（x 2﹣2）+
（1y -
（2y -） ＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）
+4)12128y y y y +-++
＝1﹣4﹣8m 2+4﹣
+8
＝﹣8m 2
+5
＝﹣8（
m 2+1． ∴当
m =
时，PA PB ⋅取最大值1． 【点睛】 本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20、（1）232
n n +；（2）+1329n n b =⨯-. 【解析】
（1）根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前n 项和；
（2）由（1）中所求，结合累加法求得n b .
【详解】
（1）由题意可得()()()1211124
410a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩
又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩
，所以1n a n =+. ()2213S 22
n n n n n +++==
（2）由条件及（1）可得123b a ==.
由已知得1+132n n n b b +-=⨯，()-1322n n n b b n -=⨯≥
所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+
()()122+13222233229n n n n n --=+++
+⨯-+=≥. 又13b =满足上式，
所以+132
9n n b =⨯-
【点睛】 本题考查等差数列通项公式和前n 项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.
21、（1）11,
3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析 【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得()0f x '≤在[)2,x ∈+∞上恒成立，参变分离得121a x x ≤-
+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1()21
h x x x =-+，求出min ()h x 即可得到参数的取值范围； （2）不妨设121x x -<≤，()221212()()3
333F x f x x f x f x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-， 利用导数说明函数()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵2()ln(1)2f x x x ax =+-++ ∴1()21
f x x a x '=
-++，且函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，即()0f x '≤在[)2,x ∈+∞上恒成立， ∴121a x x ≤-+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1()21
h x x x =-+， ∵函数()h x 在[)2,+∞上单调递增，∴min 111()(2)433h x h ==-=， ∴113a ≤，∴实数a 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. （2）不妨设121x x -<≤，()221212()()3333F x f x x f x f x ⎛⎫=+--
⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-， 则()()()2220F x f x f x =-=，
∴21121()()3333F x f x x f x ⎛⎫'''=+- ⎪⎝⎭2112()333f x x f x ⎡⎤⎛⎫''=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. ∵()22212222033333x x x x x x x +-=-+=-≥，∴21233
x x x +≥， 又1()21
f x x a x '=-++，令()()
g x f x '=，∴21()20(1)g x x '=--<+， ∴()f x '在(1,)x ∈-+∞上为减函数，∴212()33f x x f x ⎛⎫''+≤
⎪⎝⎭， ∴2112()0333f x x f x ⎡⎤⎛⎫''+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，即()0F x '≤， ∴()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，∴()2()0F x F x ≥=，即()0F x ≥， ∴()221212()03
333f x x f x f x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭， ∴当(]21,x x ∈-时，()221212()3
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭. ∵121x x -<≤，∴()()121212123
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+
⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22、 (1) 2
214
x y += (2)见解析 【解析】
（1）由题得a,b,c 的方程组求解即可（2）直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数，即1212y y 0x t x t
+=--
，整理)()1212t y y 2my y 0+-=.设直线l
的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，将韦达定理代入整理即可.
【详解】
(1)
c a =，22131a
4b +=，又222a b c -=， 解得2a 4=，2b 1=.
所以，椭圆C 的方程为2
2x y 14
+= (2)
存在定点Q 3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l
的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，(
)
224m y 10+--=. 设()22B x ,y ，11x x y y 12
+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠
则由韦达定理可得，122y y 4m
+=+，1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数. 所以，1212y y 0x t x t
+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.
又11x my 0+=
，22x my 0+=，
所以，
))1221y my t y my t 0-+-=
，整理得，)
()1212t y y 2my y 0+-=.
从而可得，
)21t 2m 04m
-⋅=+，
即()
2m 40=，
所以，当t =
Q ⎫⎪⎪⎝⎭
时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x
轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x
轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭
，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 【点睛】
本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.。