安徽省泗县第一中学2020届高三第五次月考试题理(数学)

绝密★启用前
数 学
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.命题“4
,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 4
,0x R x x ∀∈+< B. 4
,0x R x x ∀∈+≤ C. 4000,0x R x x ∃∈+≥
D. 4
000,0x R x x ∃∈+<
2.已知2{|430},{|P x x x Q y y =-+<==，则P Q =I （ ） A. [0,1)
B. [0,2)
C. (1,2]
D. (1,2)
3.由曲线3,y x y ==
）
A.
512 B.
13
C.
14
D.
12
4.已知向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为3
π
，()2,3,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v ，且AM BC ⊥u u u u v u u u v ，则
λ
μ
=（ ） A.
16
B. 6
C.
14
D. 4
5.设函数2
1
()1
x
x
f x e e x -=+-
+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞
B. (1,)+∞
C. 1
(,1)3- D. 1(,)(1,)3
-∞-+∞U
6.“0a ≥”是“函数()(1)f x ax x =+在区间(0,)+∞上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论： ①100a =；②10S 最小；③712S S =；④190S =．
其中一定正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③④
C. ①③
D. ①②④
8.已知函数()x
e
x x f sin =
，则函数()x f y =的图象大致是 （ ）
9.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的
距离为
2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，则下列判断正确的是（ ） A. 要得到函数()f x 的图象只将2cos 2y x =的图象向右平移6
π
个单位
B. 函数()f x 的图象关于直线5
12
x π=对称 C. 当,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，函数()f x 的最小值为2- D. 函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
10.已知四棱锥S-ABCD 的底面是等腰梯形，AB ∥CD,
AD=DC=BC=1,AB=SA=2,且SA ⊥平面ABCD.则四棱锥S-ABCD 外接球的体积为 （ ）
A ．π8
B ．328π
C ．π28
D ．3
22π
11.设函数121,1
(),4,1
x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨
->⎪⎩若互不相等的实数,,p q r 满足()()(),f p f q f r ==则222p q r ++的取值范围是（ ） A. (8,16)
B. (9,17)
C. (9,16)
D. 1735
(
,)22
12.已知2
()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合{|[()]3}B x f f x =≤，若A B =≠∅，则实
数a 的取值范围是（ ） A. [6,2]-
B. [23,6]
C. [2,23]-
D. [6,23]--
第П卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．
13.已知平面向量,a b r r 满足2,1,223a b a b ==+=r r r r ，则a b r
r 与的夹角为___________．
14.函数()y f x =的图象和函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =-对称，且函数
()(1)3g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点___________。

15.
22tan 7.5tan153(sin 7.5cos 7.5)tan15tan 7.5︒⋅︒
+︒-︒=︒-︒
___________．
16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
17.已知0m >，命题:p 函数()log (2)m f x mx =-在[0,1]上单调递减，命题:q 不等式1x x m +->的解集为R ，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围．
18.已知等差数列{}n a 的公差为2，且1241,1,1a a a ---成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*11
()n n n b n N a a +=∈，数列{}n b 的
前n 项和n S ，求使215
n S <成立的最大正整数n 的值.
19.在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，15a b c ++=，2sin sin sin B A C =+,且
222c a b ab =++.
（1）求ABC △的面积； （2）求△ABC 的中线CG 的长．
20.已知函数1
()2f x ax a x
=+-，当[1,3]x ∈时，()f x 的最小值为0． （1）求a 的值；
（2）若0a >，不等式(2)20x x
f k -⋅≥在区间[1,1]-上有解，求k 的取值范围．
21.【改编】（四省八校联考）四棱锥 P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，PA =PD AD =AB =2CD =2,PB=3. (1) 求证：平面 P AD ⊥平面ABCD ；
(2) 求二面角 A -PC -D 的余弦值.
22.已知函数2
()(1)x
f x x e ax =--． （1）讨论()f x 的单调性；
（2若函数()f x 有两个零点分别记为12,x x ． ①求a 的取值范围； ②求证：12
(
)02
x x f '+<．
答案
1.【答案】D
2.【答案】D.
3.【答案】A
【详解】封闭图形的面积为
)
1
33
14120
00
215
||3412
x dx x x =-=⎰.选A. 4.【答案】B 【详解】由题设有0AM BC =u u u u r u u u r
g ，故()()
·0AB AC AC AB λμ+-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，整理得：
()4930λμλμ-++-=即6λμ=，
6λ
μ
=，选B. 5.【答案】D 【详解】()2
1
1
x
x f x e
e x --=+-
+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数， 又
()(
)
2
22'1
x x
x
f x e e x -=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+∞上为增函数.
因()()()()22,11f x f
x f x f x =+=+，由()()21f x f x >+ 得到21x x >+，
故23210x x -->，1
3x <-或1x >，选D.
6. 【答案】C
【详解】若0a ≥，则当0x >时，()2
f x ax x =+，
当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，对称轴1
02x a
=-
<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增. 所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分条件. 若()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增， 当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，符合； 当0a >时，对称轴1
02x a
=-
<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，符合； 当0a <时，()2
21,01
,ax x x a
f x ax x x a ⎧+<<-⎪⎪=⎨⎪--≥-⎪⎩
，当112x a a -<<-时，()f x 为减函数，舍去. 故“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的必要条件
所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件.选C.
7.【答案】B 【解析】
【详解】设等差数列的公差为d ，则111236615a a d a d ++=+，故190a d +=即100a =.①正确. 若10,0a d ><，则910S S =且它们为n S 的最大值，②错误.
127891*********S S a a a a a a -=++++==，故712S S =，③正确. 1910190S a ==，故④正确，综上选B.
8.【参考答案】B
【命题意图】本题考查函数的图象和奇偶性、单调性等性质的判断；考查数形结合思想、推理证明的能力；考查数学运算、数学抽象核心素养.
【解题思路】因为函数()x f 为奇函数，当π=x 时()0=πf ,当2
π
=x 时02>⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，故选B .
9.【答案】A 【详解】因为()f x 的最大值为
A =2
π，
故
22
T π
=即2ω=，所以()()2f x x φ=+， 令12
x π
=-，则6
k π
φπ-
+=即,6
k k Z π
φπ=+
∈，
因2
π
φ<
，故6π
φ=
，()26f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭.
222266y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+==++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，故向右平移6π
个单位后可以得到
()
26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，故A 正确；
55
01266f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数图像的对称中心为5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故B 错； 当6
6
x π
π
-
≤≤
时，26
6
2
x π
π
π
-
≤+≤
，故()min 1
2
f x =-
，故C 错；
当
6
3
x π
π
≤≤
时，
522
6
6
x π
π
π
≤+≤
，()26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故D 错.
综上，选A.
10.【参考答案】B
【命题意图】本题考查三角形的解法、多面体外接球体积有关的计算；考查运算求解能力及空间想象能力；考查直观想象等核心素养.
【解题思路】设AB 中点为1O ,连接D O C O 11,，则A O CD 1//，所以四边形1ADCO 是平行四边形，11=∴C O ，同理11=D O .D O C O B O A O 1111===∴1O ∴是等腰梯
形ABCD 的外心.设BS 的中点为点
O ，连接OA O O ,1，则
SA O O ∥1,ABCD O O 平面⊥∴1.OD OC OB OA ===∴,又
OS OA AB SA =∴⊥,,∴点O 是四棱锥S-ABCD 的外接球球心.在SAB Rt ∆中，
AB=SA=2,221==∴BS OA ,3
282234π
π=⨯=∴球V ，故选B.
11.【答案】B
【详解】不妨设p q r <<，()f x 的图像如图所示，
令()()()f p f q f r m ===，则1
12
1214p q r m ++-=-=-=，故112121p q ++-=-或
112121p q ++-=-+且01m <<，
所以p q =（舎）或11222p q +++=即221p q +=且34r <<， 故()222129,17p
q
r
r
++=+∈，故选B.
12.【答案】B
【详解】因为A φ≠，故设{}01|A x x x x =≤≤，此时()2
04a b f x -≤≤，
令()t f x =，则()3f t ≤的解00t t ≤≤，其中2
004
a t
b ≤-≤
故0,0t t t ==为23t at b ++=的两个根，故030
t a
b =-⎧⎨
-=⎩，
所以2
304
a a -≤-≤，解得236a ≤≤，故选B.
13【答案】
3
π
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用·a a a v v v = ；（2）计算角，·cos ,a b a b a b =v v v v v v .特别地，两个非零向量,a b r r 垂直的充要条件是0a b =r r
g .
14.【答案】(1,4)- 【详解】因为log a
y x =恒过定点()1,0，所以()f x 过定点()0,1-，所以()g x 过定点()1,4-，填()1,4-．
2-．
15.【答案】2- 【详解】原式tan 7.5tan153cos15tan15tan 7.5︒︒
=
-︒︒-︒
sin 7.5sin153cos15sin 7.5︒︒=-︒︒
．填
16.
17.【答案】)2,m ⎡∈+∞⎣
【详解】命题:p 令()2u x mx =-，()u x Q 在[0,1]x ∈上单减，1m ∴>．
又()0u x >，min ()(1)20u x u m ∴==->，12m ∴<<． 命题:q 2,,x m x m
x x m m x m
-≥⎧+-=⎨
<⎩，1x x m +->Q 的解集为R ，
∴只需min ()1x x m m +-=> ．
p q ∧Q 为假命题，p q ∨为真命题 ，∴p 、q 一真一假．
（1）若p 真q 假，则121
0m m m m <<⎧⎪
≤∴⎨⎪>⎩无解． （2）若p 假q 真，则121
,20m m m m m ≤≥⎧⎪
>∴≥⎨⎪>⎩
或， 综上所述，[2,)m ∈+∞.
18.【答案】⑴21n a n =+，*n N ∈；⑵5
【详解】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2
111(1)(1)(5)a a a +=-+，
解得13a =，故21n a n =+，*n N ∈． （2）由1111
()(21)(23)22123
n b n n n n =
=-++++，
得123...n n S a a a a =++++， 1111111
(...)235572123n n =
-+-++-++111()2323
n =-+3(23)n n =+，
由2
3(23)15
n n <+，解得6n <．
故所求的最大正整数n 为5．
19.【参考答案】(1) 设,,2a x b x d c x d ==+=+,由ABC △的周长为15,可得：5x d +=,
因为222c a b ab =++,所以2
2
2
(2)()()x d x x d x x d +=++++, 将5d x =-代入到上式中,解得：3,2x d ==,所以3,5,7a b c ===,
所以由余弦定理可得：2223571
cos 2352
C +-==-⨯⨯,
所以由()0,C π∈,可得23
C π=
,
所以11sin 3522ABC S ab C =
=⨯⨯=
V (2) 依题意，G 为AB 的中点,由1()
2CG CA CB =+u u u r u u u r u u u r
，
2221(2)4CG CA CB CA CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221119[35235]424⎛⎫=++⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以CG =． 20【答案】⑴1
13
a a =-=或；⑵1k ≤ 【详解】（1）()22211'ax f x a x x
-=-= ， 13x ≤≤Q 即219x ∴≤≤． ①当19
a ≤
时，在()1,3上有()0f x '<恒成立，()f x 在[]1,3上单调递减， min 1()(3)3203f x f a a ∴==+-=，13
a ∴=-． ②当119a <<时，
x ∈时()0,()f x f x '<单调递减；
x ∈时()0,()f x f x '>单调递增，
min ()20f x f a ∴===，0a =， 0a ∴=（舍）或1a =（舍）
． ③当1a ≥时，在()1,3上()0f x '≥恒成立，()f x 在[1,3]上单调递增，
min ()(1)120f x f a a ∴==+-=，1a \=． 综上所述：13a =- 或1a =．
（2）由（1）可知：11,()2a f x x x ==+
-， 1(2)222202x x x x x f k k -⋅=+--⋅≥，212()122
x x k ≤-+， 要使不等式在[1,1]-上有解，则只需2max 12[()1]22
x x k ≤-+， 令221112(2),()1212222
x x x t t t t =≤≤-+=-+，其最大值为1，1k ∴≤． 21.【名师指导】（I ）利用条件证明△PAD 的中线OP 垂直于底面ABCD 即可；
（II ）建立空间直角坐标系，求出平面PAC 和平面PCD 的法向量，利用向量夹角公式即可求得二面角A-PC-D 的余弦值
【解题思路】如图，（I ）设O 是AD 中点，连接OP,OB,因为PA=PD ，所
以OP ⊥AD,
…………………1分
由条件知5,4222222=+==-=AB OA OB OA PA OP
在△POB 中，因为2229PB OB OP ==+，所以
OB OP ⊥…………………3分
因为
O OB AD ABCD OB ABCD AD =⊂⊂I ，且平面平面,…………………4分
所以直线OP ⊥平面ABCD ，又OP ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD;……………5分 (II)如图建立空间直角坐标，则()()()0 1 1 ,0 0 1 ,0 0 1,, C ,, D ,,A -，)2 ,0 ,0(P ， …………………6分
)0,1,2(= ， )2,0,1(= ， 设),,(1111z y x n = 是平面PAC 的法向量， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0
202111111z x n y x AC n ρ，取z 1=1，则x 1=-2,y 1=4，所以)1,4,2(1-=n ， …………………8分
)0,1,0(),2,0,1(=-=，设),,(2222z y x n =是平面PCD 的法向量， 则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅0
0222222y n z x DP n ，取z 2=1，则x 2=2，所以)1,0,2(2=n …………………10分
351055
213,cos 21-=⋅->=
<n n …………………11分
设所求二面角为θ，则35105cos =
θ…………………12分 22.【详解】（1）()(1)2(2)x x x f x e x e ax x e a ='=+---，
（i ）当0a ≤时，20x e a ->，
(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减；
(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．
（ii ）当102
a <<时， (,ln(2))x a ∈-∞时，()0,()f x f x '>单调递增；
(ln(2),0)x a ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；
(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．
（iii ）当12
a =
时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单增． （iv ）当12a >时， (,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '>单调递增；
(0,ln(2))x a ∈时，()0,()f x f x '<单调递减，
(ln(2),)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．
综上所述：0a ≤时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增；
102
a <<时，()f x 在(ln(2),0)a 上单调递减，在(,ln(2)),(0,)a -∞+∞上单调递增； 12
a =
时，()f x 在R 上单调递增； 12a >时，()f x 在(0,ln(2))a 上单调递减，(,0),(ln(2),)a -∞+∞上单调递增. （2）①(0)1f =-，
（i ）当0a =时，()(1)x
f x x e =-，只有一个零点，舍去；
（ii ）当0a <时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增， min ()(0)10f x f ∴==-<
又(1)0f a =->，取1b <-且ln()2a b <-，
则2()(1)b f b b e ab =--2(1)2a b ab >---2(21)2
a b b =-+- (1)(21)02
a b b =-+->， ()f x ∴存在两个零点．
（iii ）当102
a <<时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ≤时，()0f x < ()f x ∴不可能有两个零点，舍去．
（iv ）当12a =
时，()f x 在R 上单调递增，()f x 不可能有两个零点，舍去． （v ）当12
a >时，0x ≤时，()0f x <，又()f x 在(0,ln 2)a （）单调递减，在(ln 2,)a +∞（）上单调递增，因()01f =-，()f x ∴不可能有两个零点，舍去．
综上所述：0a <．
②由①知：0a <，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 要证12()02x x f '+<， 即证1202
x x +<，即证120x x +<， 令()()()g x f x f x =--，则
()()()g x f x f x '+''=-(2)()(2)x x x e a x e a -=-+--()x x x e e -=- 当0x >时，()0,()'>g x g x 单调递增．
不妨设120x x >>，则1()(0)g x g >，即11()()0f x f x -->， 又12()()f x f x =Q ，21()()f x f x ∴>-，
()f x Q 在(,0)-∞上单调递减， 21x x ∴<- ，120x x ∴+< ，原命题得证．。