广东省汕尾市陆丰龙山中学2020年高三数学文模拟试卷含解析

广东省汕尾市陆丰龙山中学2020年高三数学文模拟试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 在等比数列
A. B.4 C. D.5
参考答案：
B
因为，因为，又，所以，选B.
3. 若函数，则（其中为自然对数的底数）
A．B．C．
D.
参考答案：
C
4. 若实数x，y满足，则的最大值是（）
A．3 B．8 C．14 D．15
参考答案：
C
作出不等式组对应的平面区域如图
由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直
线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时
，故选C.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
6. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图，则该几何体的左视图为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
7. 已知y=f(x)是奇函数，且满足，当,1)时，，则y=f(x)在(1,2)内是
A．单调增函数，且f(x)<0 B．单调减函数，且f(x)>0
C．单调增函数，且f(x)>0 D．单调减函数，且f(x)<0
参考答案：
A
8. 已知集合，且有4个子集，则a的取值范围是
A．(0，1) B．(0，2) C. D.
参考答案：
C
略
9. 函数函数y=的单调递增区间为( )
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）
参考答案：
C
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可以看出原函数是由y=3t和t=x2﹣2x复合而成的复合函数，y=3t为增函数，从而t=x2﹣2x的增区间便是原函数的增区间，从而求二次函数t=x2﹣2x的增区间即可．
【解答】解：令x2﹣2x=t，y=3t为增函数；
∴t=x2﹣2x的单调递增区间为原函数的单调增区间；
∴原函数的单调递增区间为（1，+∞）．
故选：C．
【点评】考查复合函数的单调性，以及指数函数、二次函数的单调性，清楚复合函数是由哪两个函数复合而成的．
10. 设集合A={－1,1,2,3,5}，B={2,3,4}，，则
A. {2}
B. {2，3}
C. {－1，2，3}
D. {1，2，3，4}
参考答案：
D
【分析】
先求，再求.
【详解】因为，
所以.
故选D.
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注
意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，求实数a组的集合的子集有多少个？．
参考答案：
8
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】先通过解二次不等式化简集合A，对集合B分类讨论，利用已知条件B?A求出a 的所有取值，然后利用子集的定义写出其所有子集．
【解答】解：1）当B=?即a=0时适合条件B?A
∴A=0
2）当B≠?时
∵A={3，5}，B={ }
由=3，或=5 得a=或a=也适合条件B?A
综上所述所有满足条件的实数a组成的集合为{0，，}
{0，，}所有子集为?，{0}，{ }，{ }，{0，}，{0，}，{ ，}，{0，，}共8个．
故答案为：8．
【点评】本题考查子集的运算、集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念．属基础题．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆的标准方程为．
参考答案：
13. 设直线x+my-1=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为
，则实m的值是.
参考答案：
由圆的方程可知圆心坐标为，半径为2，因为弦AB的长为，所以圆心到直线的距离。

即，所以解得。

14. 若tan（θ+）=，则sin2θ=．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．
【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．
【解答】解：tan（θ+）=，
=，可得tanθ=﹣．
sin2θ===．
故答案为：；
【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．
15. 的展开式中的系数是．
参考答案：
192
16. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距
为
参考答案：
17. 从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是
（写出所有正确的结论的编号）________
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．参考答案：
①③④⑤
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 对某校高三年级100名学生的视力情况进行统计（如果两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在
[4.1,4.3)的概率为.
（1）求a，b的值；
（2）若报考高校A专业的资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有
的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3]中抽取4名同学，设这4人中有资格（仅考虑视力）考A专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望. 参考答案：
（1）；（2）分布列见解析，期望值为2.
【分析】
（1）根据“从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为”求得，根据频率之和为1列方程求得.
（2）首先求得和中分别抽取的人数，再按照分布列的计算方法求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）由于“从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为”所以
.由，解得.
（2）和的频率比为，所以在中抽取人，在中抽取人. 的人数为，其中视力
以上有人，视力以下有人.的人数为
人.的所有可能取值为，且
，，
，.所以分布列为
所以.
【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查分层抽样，考查随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
19. 设函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|≤），它的一个最高点为（，1）以及相邻的一个零点是．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）﹣2cos2x+1，x∈[，2]的值域．
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）由T=2?T=8，继而可得ω；由ω+φ=2kπ+（k∈Z），|φ|≤，可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换可求得g（x）=sin（x﹣），≤x≤2?﹣≤x﹣≤，利用正弦函数的单调性即可求得x∈[，2]时y=g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵T=﹣=2，
∴T==8，
∴ω=；
又ω+φ=2kπ+，k∈Z．
∴φ=2kπ﹣，k∈Z．
又|φ|≤，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（x﹣）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=g（x）=sin（x﹣）﹣2cos2x+1
=sin x﹣cos x﹣cos x
=（sin x﹣cos x）
=sin（x﹣），
当≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，
∴﹣≤sin（x﹣）≤，
∴﹣≤sin（x﹣）≤．
∴y=g（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，着重考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定及正弦函数的单调性，属于中档题．
20. （本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知点、为双曲线
：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线
于点．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求
的值．
参考答案：
（1）设的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，即，所以
在中，，，所以
……3分
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：
……6分
（2）由条件可知：两条渐近线分别为 (8)
分
设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则
则点到两条渐近线的距离分别为，……11分因为在双曲线：上，所以，
又
所以
……14分21. （本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩
（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．
(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；
(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学
生成绩
在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．
参考答案：
（Ⅰ）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有，可得x=0.3.
所以频率分布直方图如图所示：
……………4分
（Ⅱ）平均分为： (6)
分
（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，
且X的可能取值是0，1，2．
则，，=．
所以X的分布列为：
所以EX＝0×＋1×＋2×＝=．……………12分22. 22．（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。

（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长。

参考答案：
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则各点的坐标为，
所以
设平面DMN的法向量为
即，
则是平面DMN的一个法向量。

从而（1）因为，所以，
解得
所以
（2）因为
所以
因为，解得
根据图形和（1）的结论可知，从而CM的长为。