江苏省清江中学2017-2018学年高三考前周练模拟(6.3)数学试题解析(解析版)Word版含解斩

2017-2018学年一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知集合{}1,2,3,4A =,集合{}|,B x x a a R =≤∈,若(],5A B =--∞,则a 的值是 ． 【答案】5考点：集合的并集运算. 2.若复数1a ii++是实数(i 为虚数单位), 则实数a 的值是 ． 【答案】1- 【解析】试题分析：设1a ii ++)0(≠=b bi ,则bi b i a +-=+，借助两复数相等的条件可得⎩⎨⎧=-=1b b a ,则1-=a .考点：复数的有关概念及运算.3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员) 对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查, 假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区驾驶员36人, 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的总人数分别为12,21,25,42,则这四个社区驾驶员的总人数N 为 ． 【答案】300【解析】试题分析：因10042252112=+++,故3001001236=÷=N . 考点：分层抽样方法及比例关系的运用.4.若抛物线28y ax =的焦点与双曲线2221x y a-=的右焦点重合, 则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：因抛物线的焦点为)0,2(a F ,双曲线的焦点为)0,1(2+a F ,所以122+=a a ,解之得33=a ，所以,332=c 故2==a c e . 考点：抛物线的焦点及双曲线的焦点.5.如图所示的流程图的运行结果是 ．【答案】20考点：算法流程图．6.某校有,A B 两个学生食堂, 若,,a b c 三名学生各自随机选择其中一个食堂用餐, 则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ． 【答案】34【解析】试题分析：三名同学每人都有,A B 两种选择,所有可能共有8种,其中三名同学不在同一个食堂的可能选择为AAB BBA BAB ABA BAA ABB ,,,,,记六种,所以三人不在同一食堂的概率为4386==P . 考点：古典概型计算公式．【易错点晴】本题是一道典型的以列举法为起点的古典概型公式运用为主的概率题.求解时充分运用简单列举法将所有事件逐一列举出来,然后借助古典概型的概率的计算公式求出其概率.解答的过程中对三个学生都有两种选择的情形进行逐一列举,所有能有AAB BBA BAB ABA BAA ABB BBB AAA ,,,,,,,共八种,而其中不在同一食堂就餐的可能只有AAB BBA BAB ABA BAA ABB ,,,,,六种,查的是函数最后采用古典概型的计算公式算出其概率.7.若函数()()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 则ω的值为 ． 【答案】32考点：三角函数的图象与性质．8.已知正四棱锥的底面边长是侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为 ． 【答案】24 【解析】试题分析：正四棱锥的底面是正方形,则其底面积为18=底S ,则其高4925=-=h ,故其体积为2441831=⨯⨯=V . 考点：棱锥的体积及计算． 9.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．【答案】2- 【解析】试题分析：由1sin cos 2αα=+得:43cos sin 2=αα,所以47)cos (sin 2=+αα,由于0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos sin =+αα,所以cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭214)cos (sin 2)cos (sin 22sin cos 22-=+-=--=αααααα. 考点：同角三角函数的关系及二倍角的正弦、余弦公式．【易错点晴】本题是一道典型的已知条件求值问题。

求解时充分借助已知与欲求之间的关系，巧妙探求二者之间的关系，先化简欲求代数式的目标与方向，再对已知条件进行合理变形，以缩短二者之间的差异，这是已知条件求值问题一般求解思路．如果本题将1sin cos 2αα=+要与1cos sin 22=+αα联立求出ααcos ,sin 的值，再求απα2cos ),4sin(-的值可以但求解过程相当繁冗，很容易陷入求解的困境.10.已知函数()322f x x x mx =-++,若对任意12,x x R ∈,均满足()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦,则实数m 的取值范围是 ．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭考点：导数在研究单调性中的应用．11.设0,0x y >>,向量()()1,4,,a x b x y =-=-,若a b ,则x y +的最小值为 ． 【答案】9 【解析】 试题分析：由题设x x y --=14,即014>-=x x y ,也即1>x ，所以4()1x h x x y x x =+=+- 4151x x =-++-，由于4141≥-+-x x (当且仅当2=x 时取等号),故9≥+y x .考点：向量平行的条件和基本不等式的运用．【易错点晴】本题重点考查的是向量平行的条件及函数最值问题的求解.解答时充分借助题设中的两向量平行,建立了变量x 和y 之间的关系014>-=x xy ,进而将问题转化为求函数14)(-+=x x x x h 的最小值问题,求解时先巧妙地对其进行变形为5141)(+-+-=x x x h ,创设运用基本不等式的前提和条件,从而简化了最值的求解过程,优化了解答过程.12.已知22:1O x y +=,若直线2y =+上总存在点P ,使得点过P 的O 的两条切线互相垂直, 则实数k 的最小值为 ． 【答案】1 【解析】试题分析：圆心)0,0(O 到直线2y =+的距离为kd +=12,当两条切线互相垂直时，OP ==所以若存在满足题设条件的点,则2≤d ,即212≤+k,所以1≥k ,故实数k 的最小值为1.考点：直线与圆的位置关系及运用．13.设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 若()()31n n S na n n n N *=--∈,且211a =,则20S 的值为 ． 【答案】1240考点：通项n a 与前n 项和n S 的关系1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式．【易错点晴】本题重点考查的是数列有关知识及运用.解答时充分借助题设条件,先求出数列中的首项1a 的值,然后运用数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系1--=n n n S S a ,将已知条件化为1(1)n n n S nS ---3(1)n n =-，进而化为311=---n S n S n n ,运用等差数列的定义可以判定数列}{n S n 是511=S 为首项,公差为3的等差数列,最后运用等差数列的通项公式求出n S ,进而求出124020=S ,从而简化了问题的求解过程和解答过程.14.在平面直角坐标系xOy 中, 设,A B 为函数()21f x x =-的图象与x 的两个交点, ,C D为函数()f x 的图象上的两个动点,且,C D 在x 轴上方(不含x 轴), 若,C D 关于y 轴对称,则AC BD 的取值范围为 ．【答案】94⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦考点：函数方程思想与建模思想及导数在实际生活中的运用．【易错点晴】解答本题的关键是借助已知与题设建立目标函数,解答时充分利用题设,将D C ,的坐标用一个变量t 来表示,即)1,(),1,(22t t D t t C ---,再将向量BD AC ,写出来,借助向量的数量积公式建立出关于t 的目标函数,然后运用导数作为工具求出了该目标函数的值域,也就求出BD AC ⋅的取值范围.本题是一道典型先构建目标函数,再运用知识求其最值的应用问题,解答时充分利用了变量t 取值范围,从而准确地求出了两向量的数量积的取值范围.二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2sin sin sin B A C =.（1）求2ac b -的值；（2）若b =且32BA BC =,求BC BA +的值. 【答案】(1)0；(2) 22．考点：正弦定理、余弦定理及向量的数量积公式.16.（本小题满分14分）如图, 在直三棱柱111A B C ABC -中,,,AB BC E F ⊥ 分别是11,A B AC 的中点.（1）求证：EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)运用直线与平面平行的判定定理即可获证；(2)运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理即可获证. 试题解析：（1）连结1AC ,直三棱柱111A B C ABC -中,11AAC C 是矩形,∴ 点F 在1AC 上,且为1AC 的中点,1A BC ∆ 中,,E F 分别是11,A B AC 的中点,EFBC ∴. 又BC ⊂平面ABC , EF ⊄平面ABC ,EF ∴平面ABC . （2）直三棱柱111A B C ABC -中,1B B ⊥ 平面ABC ,11,,,,B B BC EF BC AB BC AB EF B B EF ∴⊥⊥∴⊥⊥. 1,B BAB B EF =∴⊥平面11ABB A .EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A .考点：直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理. 17.（本小题满分14分）如图, 有一景区的平面图是一半圆形, 其中AB 长为2,km C 、D 两点在半圆弧上, 满足BC CD =,设COB θ∠=.（1）现要在景区内铺设一条观光道路, 由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成, 则当θ为何值时, 观光道路的总长l 最长, 并求l 最大值；（2）若要在景区内种植鲜花, 其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花, 在扇形COD 内种一半面积的鲜花,则当θ为何值时，鲜种植面积S 最大.【答案】(1) 3πθ=,max 5l =；(2) 3πθ=．考点：导数、解直角三角形、二倍角的正弦和余弦公式和应用.18.（本小题满分16分）如图, 在平面直角坐标系xOy 中, ()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为())12,A A ,若直线3450x y ++=上有且仅有一个点M ,使得1290F MF ∠=︒.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方, 且圆T 经过椭圆C 两焦点, 点,P Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点, 若0PQ QT =时, ,P Q 取得最大值为2求实数t 的值.【答案】(1)2212x y +=；(2) 12t =．（2）设()00,P x y ,因为点P 在椭圆上, 所以有220012x y +=,因为圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方, 且圆T 经过椭圆C 两焦点. 所以圆T 的方程为()()2221,0x y t t t +-=+>,由0PQ QT =得()()22222201PQ PT QT x y t t =-=+--+,又220012x y +=,所以()22201PQ y t t =-+++.①当1t -≤-即1t ≥时, 当01y =-时,PQ,因为PQ的最大值为2所以2=,解得58t =,又1t ≥,故舍去.②当1t ->-即01t <<时, 当0y t =-时, PQ2,解得214t =,又01t <<,所以12t =.综上, 当12t =时, PQ考点：椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、两点间距离公式、二次函数的最值及求法. 【易错点晴】本题重点考查的圆锥曲线的代表椭圆的标准方程和有关几何性质．求解时充分借助题设条件，运用方程思想，建构等式求解所要求解的量；依据题设条件和两点间距离公式建构目标函数，然后运用消元的思想将两个变量的函数消元变为一个变量的函数,最后借助题设中椭圆的几何性质分类整合,求出了满足题设条件的的值,这个求解过程充满了分析探究推理论证的味道.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足,()143n n a a n n N *++=-∈.（1）若数列{}n a 是等差数列, 求1a 的值； （2）当12a =时, 求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）若对任意n N *∈,都有2212015n n a a n ++≥-成立, 求1a 的取值范围.【答案】(1)21-；(2) ()22235,21223,22n n n n k S k Z n n n k⎧-+=-⎪⎪=∈⎨-⎪=⎪⎩；（3）(][),42,-∞-+∞．()223519 (41122)n n n n -+=+++-+=.考点：等差数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识、二次函数及求解方法，分类整合的思想和推理论证的能力.【易错点晴】本题以数列为载体考查的是函数方程思想、分类整合思想和推理论证的能力,数列问题中蕴含了许多推理论证的素材,求解时要充分借助题设条件,寓数学思想方法于解答的全过程,以此考查检测学生的运算求解能力、推理论证能力及运用所学知识分析解决问题的能力．本题中运用了方程思想，建构等式求出了1a 的值，运用函数思想建构目标函数，通过不等式的恒成立求出1a 的取值范围，体现了数学思想在解题中的妙用. 20.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为()0,+∞,若()f x y x=在()0,+∞上为增函数, 则称()f x 为“一阶比增函数” ；若()2f x y x =在()0,+∞上为增函数, 则称 ()f x 为“二阶比增函数”；我们把所有“一阶比增函数” 组成的集合记为A ,所有“二阶比增函数” 组成的集合记为B .（1）设函数()()()()322210,f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时,()f x AB ∈；②若()f x A ∈,且()f x B ∉,求实数a 的取值范围；（2）对定义在()0,+∞上的函数()f x ,若()f x B ∈,且存在常数k ,使得()()0,,x f x k ∀∈+∞<,求证： ()0f x <.【答案】(1)①证明见解析；②01a <≤；(2)证明见解析．（2）证明：假设存在()00,x ∈+∞使得()00f x >,记()020f x m x =>,因为()f x B ∈,所以()f x 为“二考点：转化化归的思想、推理论证的能力及创新意识和分析问题解决问题的能力.21.【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题, 请选定其中两题. 如果多做，则按所做的前两题记分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图, 已知AB 是O 的直径,AC 是O 的弦,BAC ∠ 的平分线AD 交O 于D ,过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点,E OE 交AD 于点F .若35AC AB =,求AFFD的值.【答案】58． 【解析】试题分析：运用题设中提供的条件并借助AE OD //探寻比值即可. 试题解析：连接,OD BC 设BC 交OD 于点M ,,OA OD OAD ODA =∴∠=∠,又,,OAD DAE ODA DAE OD AE ∠=∠∴∠=∠∴,又AC BC ⊥,且,DE AC BC DE ⊥∴.∴四边形CMD 为平行四边形,CE MD ∴=, 由35AC AB =,设3,5AC x AB x ==,则32OM x =,又55348,,4,,522252AF AE x OD x MD x x x AE AC CE x OD AE FD OD x =∴=-=∴=+=∴===考点：平面上有关图形的性质及运用.B.选修4-2：矩阵与变换：（本小题满分10分） 已知矩阵2a A ⎡=⎢⎣1b ⎤⎥⎦,若矩阵A 属于特征值1-的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,属于特征值4的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵1A -.【答案】1412⎡-⎢⎢⎢⎢⎣ 3412⎤⎥⎥⎥-⎥⎦．考点：特征方程特征向量与矩阵的关系、逆矩阵的求解法.C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知直线cos :(sin x t m l t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数) 恒经过椭圆5cos :(3sinx C y ϕϕ=⎧⎨=⎩为参数) 的右焦点F .（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点, 求FA FB ⨯的最大值与最小值. 【答案】(1)4；(2) 9，8125．考点：直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化及运用. D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知,,x y z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++. 【答案】证明见解析． 【解析】试题分析：运用基本不等式及不等式的可加性进行推证即可获解. 试题解析：因为,,x y z 都是为正数，所以12x y x y yz zx z y x z⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭.同理可得22,y z z x zx xy x xy yz y+≥+≥,当且仅当x y z ==时, 以上三等式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加, 并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++≥++. 考点：基本不等式及不等式的性质.【必做题】（第22题, 第23题, 每题10分，共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）22.（本小题满分10分）如图, 平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直, 且11,,,,2,23AB BE AF BE AF AB AF CBA BC P π===⊥∠==为DF 的中点. （1）求异面直线DA 与PE 所成的角；（2）求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角(锐角) 的余弦值.【答案】(1)6π；(2)55．考点：空间向量的数量积公式、待定系数法求法向量. 23.（本小题满分10分）设集合{}1,0,1M =-,集合(){}123,,,...|,1,2,...n n i A x x x x x M i n =∈=,集合n A 中满足条件“121...n x x x m ≤+++≤” 的元素个数记为nm S .（1）求22S 和42S 的值； （2）当m n <时, 求证：111322nn m n m S +++<+-.【答案】(1)8，32；(2)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)直接运用题设中定义的新概念进行求解即可获解；(2)先借助题设中定义的新的概念进行推理和论证，再运用转化与化归的数学思想即可.考点：转化化归的思想、推理论证的能力及创新意识和分析问题解决问题的能力.。