人教A版高中数学选修椭圆同步练习

《椭圆》
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
1． 已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A ．
116922=+y x B ．116252
2=+y x C ．
1162522=+y x 或125162
2=+y x D ．以上都不对 3．如果22
2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,0 4．以椭圆
116252
2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．
1481622=-y x B ．12792
2=-y x C ．
1481622=-y x 或12792
2=-y x D ．以上都不对 5．椭圆
124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）
A ．20
B ．22
C ．28
D ．24
6．与椭圆1422
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13
322=-y x D ．1222
=-y x 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
7．若椭圆2
2
1x my +=的离心率为
2
，则它的长半轴长为_______________. 8．椭圆552
2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

9．椭圆
22189x y k +=+的离心率为1
2
，则k 的值为______________。

10．设AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，
则AB OM k k ⋅=____________。

11.椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。

三、解答题：（本大题共3小题，任选两题，其中所做的第一题12分，满分25分）
12．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -,Ｐ为椭圆上一点，且||21F F 是||1PF 和||2PF 的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .
13．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直
平分线与x 轴相交于点0(,0)P x .证明：.2
2022a
b a x a b a -<<--
14．已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称。

《椭圆》答案
一、选择题
1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2
2
2
2218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=
得5,4a b ==，2212516x y ∴
+=或125162
2=+y x 3．D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k
+=>⇒<< 4．C 当顶点为(4,0)±
时，22
4,8,11648x y a c b ===-=； 当顶点为(0,3)±
时，22
3,6,1927
y x a c b ===-= 5．D 2222
12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得
12121
296,242
PF PF S PF PF ⋅==⋅=
6．
A 2
41c c =-=，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为2222
13x y a a -
=-过点(2,1)Q 得222
22
4112,132
x a y a a -=⇒=-=- 二、填空题
7. 1,2或 当1m >时，
22
1,111
x y a m
+==； 当01m <<时，22222
223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m m
-+===-===== 8．1 焦点在y 轴上，则2225
1,14,151y x c k k k
+==-== 9．54,4
-或 当89k +>时，22
2891,484c k e k a k +-==
==+； 当89k +<时，22
29815,944
c k e k a --==
==- 10．22b a - 设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212
(,)22
x x y y M ++，得2121,AB y y k x x -=-
2121OM
y y k x x +=+，222122
21
AB OM y y k k x x -⋅=-，222222
11,b x a y a b += 2
2
2
2
22
22,b x a y a b +=得2
2
2
2
2
221
21
()()0,b x x a y y -+-=即222
2122221y y b x x a
-=--.
11. ()55
-
可以证明12,,PF a ex PF a ex =+=-且2221212PF PF F F +<
而3,2,
3
a b c e
====，则22222222
()()(2),2220,1
a ex a ex c a e x e x
++-<+<<
2
2
111
,,
x x
e e e
<-<<
即
55
e
-<<
三、解答题
12．解：(1)由题设｜
1
PF｜＋｜
2
PF｜＝２｜
2
1
F
F｜＝4
∴4
2=
a， 2c=2，∴ｂ＝3∴椭圆的方程为1
3
4
2
2
=
+
y
x
.
（２）设∠θ
=
2
1
PF
F，则∠
1
2
F
PF＝60°－θ
由正弦定理得：
)
60
sin(
120
sin
sin
1
2
2
1
θ
θ-
︒
=
︒
=
PF
PF
F
F
由等比定理得：
)
60
sin(
120
sin
sin
2
1
2
1
θ
θ-
︒
+
︒
+
=
PF
PF
F
F
)
60
sin(
2
3
4
sin
2
θ
θ
-
︒
+
=
∴
整理得：)
cos
1(3
sin
5θ
θ+
=
5
3
cos
1
sin
=
+
∴
θ
θ
故
2
3
2
tan=
θ
11
3
5
25
3
1
5
3
2
tan
tan2
1
=
-
⋅
=
=θ
PF
F.
13．证明：设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则中点1212
(,)
22
x x y y
M
++
，得21
21
,
AB
y y
k
x x
-
=
-
222222
11
,
b x a y a b
+=222222
22
,
b x a y a b
+=得222222
2121
()()0,
b x x a y y
-+-=即
222
21
222
21
y y b
x x a
-
=-
-
，AB的垂直平分线的斜率21
21
,
x x
k
y y
-
=-
-
AB的垂直平分线方程为122112
21
(),
22
y y x x x x
y x
y y
+-+
-=--
-
当0
y=时，
22222
212121
02
21
(1)
2()2
y y x x x x
b
x
x x a
-+-+
==-
-
而
21
22
a x x a
-<+<，
2222
.
a b a b
x
a a
--
∴-<<
14．解：设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，AB的中点
00
(,)
M x y，21
21
1
,
4
AB
y y
k
x x
-
==-
-
而22
11
3412,
x y
+=22
22
3412,
x y
+=相减得2222
2121
3()4()0,
x x y y
-+-=
即
121200
3(),3
y y x x y x
+=+∴=，
0000
34,,3
x x m x m y m
=+=-=-
而
00
(,)
M x y在椭圆内部，则
22
9
1,
43
m m
+<
即m
<<。