基于CIR模型的银行间国债市场利率期限结构解析

基于CIR模型的银行间国债市场利率期限结构解析
随着债券市场的不断发展和利率市场化改革，我国要形成具有代表性的市场基准利率是关键所在。

而目前我国对这方面的研究比较欠缺，因此本文将利用国外成熟的动态利率期限结构模型（CIR模型）来研究我国银行间国债市场的利率期限结构。

本文采用极大似然估计法，并通过Matlab优化工具箱以及合成数据模型，利用银行间国债市场数据对CIR模型进行了参数估计。

在此基础上，通过Matlab程序拟合得出我国银行间国债市场的利率期限结构，最后将其应用到我国银行间固定利率国债定价上。

关键词：利率期限结构CIR模型国债即期利率
目前我国主要是通过大力发展债券市场来畅通投融资渠道，然而要发展债券市场就必须建立利率的市场化机制，因为市场无风险利率是其它各类债券定价的基础，也是各类金融产品收益水平计量的基准。

市场利率水平是宏观经济运行的重要指标。

市场无风险利率主要通过国债的收益率反映出来，因而国债定价过程是市场无风险利率确定的主要市场机制。

有效的国债市场应该能准确反映市场无风险利率，是制定国家货币政策的基础。

从这个意义上说，国债市场的利率期限结构应该是宏观经济运行的“晴雨表”。

因而研究国债市场利率期限结构对于分析经济状况、预测利率变化、确定利率产品风险都是重要的，其对于宏观经济政策的制定也具有重要的参考价值。

利率期限结构是指不同期限的即期利率与到期期限之间的函数关系及其变化规律。

本文采用银行间市场数据和国债数据来研究我国利率期限结构，选择银行间市场来研究我国利率期限结构是因为银行间债券市场是场外市场的主体和核心，具有市场容量大、债券品种多、交易量大、流动性强等特点。

而选择国债市场数据是基于以下方面考虑的：首先各类投资者关注国债收益水平，国债的无风险特征，使其收益率成为非国债产品所要求的最低收益率水平或投资非国债产品的机会成本。

其次国债为无风险品种，以其样本数据拟合收益曲线无需考虑不同期限债券间的信用风险溢价问题。

最后国债市场规模大、交易活跃、流动性高，不存在流动性风险溢价问题。

在对利率期限结构的实证分析过程中选择哪种模型以及对模型参数进行估计一直是一个难点，不同的估计方法使得参数的估计结果有着明显的不同，而模型的可靠性和适用性主要取决于有效的、准确的参数估计，因此采用哪种方法对参数进行估计是本文所要解决的重点问题。

本文选择国外成熟的动态利率期限结构模型（CIR模型）来研究我国的利率期限结构，对模型的参数估计选择合成数据模型。

利率期限结构的理论
（一）传统利率期限结构理论
传统的利率期限结构理论主要研究收益率曲线的形状以及形成的原因，主要涉及利率期限结构的形成假设，研究方法较为粗糙，其基本特征表现为对投资者的债券种类选择行为提出某种假设，定性说明实际市场中观察到的收益率经验曲线。

由此形成三大理论：预期理论、市场分割理论和流动性偏好理论。

1.预期理论：该理论认为远期利率等于市场整体对未来短期利率的预期，这样任意时点的完整的期限结构反映了当期市场对未来一系列短期利率走向的预期。

因此当前的利率期限结构代表了投资者对未来利率变化的一种预期，收益率曲线的形状主要取决于对未来短期利率的市场预期。

如果长期利率水平在短期利率之上，投资者预期未来短期利率可能高于现行短期利率，因而可能呈上升趋势，故收益率曲线向上倾斜；如果长期利率水平在短期利率之下，投资者预期未来短期利率可能低于现行短期利率，因而可能呈下降趋势，故收益率曲线向下倾斜；如果长期利率水平与短期利率相等，投资者预期未来短期利率等于现行短期利率，因而可能呈水平趋势，故收益率曲线呈水平状。

因此，收益率曲线反映了市场参与者的理性预期。

2.市场分割理论：该理论认为在债券市场按不同期限彼此分割，人们在投资时具有强烈的期限偏好，习惯于购买与自己的储蓄时间有相同期限的证券，因此各种不同期限的债券之间不能相互替代。

该理论认为，国债利率期限结构不取决于市场对未来短期利率的预期，而是取决于长短期国债市场各自的供求状况；预期的未来短期即期利率与隐含远期利率之间没有正式关系，收益曲线的形状是供给与需要的函数。

对于不频繁参与金融市场交易的人们来说，这一解释符合实际，但它否认了预期和流动性偏好对利率期限结构的影响，不能解释为什么不同期限的利率具有相同走势的经验事实，其有效性也得不到充分论证。

3.流动性偏好理论：该理论认为风险和预期是影响国债利率期限结构的两大因素，经济活动本身具有的不确定性导致无法完全预期未来的短期利率。

到期期限越长的利率变动的可能性越大，利率风险就越大，投资者为了减少风险，偏好于流动性较好的短期国债，而对于流动性相对较差的长期国债，投资者要求给予流动性报酬或风险报酬，因而长期利率必然高于短期利率，收益曲线呈上扬趋势；中期债券的收益是呈凸形的。

当资金紧俏导致供需不平衡时，也可能出现短高长低的反向收益率曲线。

（二）现代利率期限结构理论
现代利率期限结构理论主要研究利率期限结构的动态模型构建与数据拟合分析，采用大量连续或离散时间模型研究利率的随机特征和波动规律。

这些模型归纳起来可分为两大类：均衡模型和无套利模型。

1.均衡模型：通过设定影响经济状态的因素变化条件，进而建立刻画这些因素变动的模型。

此时利率水平是一个输出变量，这类模型提供了利率期限结构动态行为的经济学解释，为无套利模型的应用奠定了基础条件；均衡模型可以分为单因素模型与多因素模型。

单因素均衡模型的代表是Vasicek（1977）模型和CIR （1985）模型。

这些模型把90％的利率波动归因于利率的水平，将短期利率的波动分为飘移与随机扩散两个部分。

多因素均衡模型主要包括：Brennan-Schwartz （1979）模型、Rendleman和Barter（1980）模型等，此类模型认为利率期限结构是由包括宏观经济变动、利率水平、利率波动和利率波动的速率等几个因素共同作用的结果。

2.无套利模型：这类模型主要是基于预期理论建立起来的，认为债券市场价格是合理的，并将利率期限结构视为既定，根据市场的无套利机会条件求出利率所必须遵循的一个过程，在这些模型中，利率水平是一个输入变量，相关金融工具的价格是输出变量。

因此由无套利模型诱导出的利率期限结构与实际中的期限结构相符合。

代表模型有HL、HW、HJM、BGM模型等。

CIR模型简介
Cox，Ingersoll and Ross于1985提出了著名的CIR模型，它是一个持续竞争经济的一般均衡模型。

CIR模型的基本假定是个人从消费单一商品中取得的预期效用达到最大化，而这一商品是通过有限状态的技术生产出来的。

在最优选取中通过最优消费水平，财富投资于每个生产过程的最优比例，以及投资于各种债券或衍生品的最优比例，来达到预期效用的最大化。

CIR模型假定短期利率的风险中性过程为：
（1）
模型中参数θ可以看作是利率的长期水平，参数k表示均值回复速度，参数σ表示瞬时利率的波动率，dω（t）表示标准的布朗运动。

在模型中，θ与r的差距越大，短期利率朝着长期均衡利率的变化幅度就越大，由于CIR模型是属于风险中性的，故利率变化趋势涵盖了利率的预期以及风险溢价。

从（1）式可获得到期（T时刻）支付1美元的零息债券价格在时刻的解析表达式为：
B(t,T)=A1(t,T)exp(-A2(t,T)r(t))
其中：
λ为风险溢价。

CIR模型的优点是它产生于经济中的内在实际变量和总体均衡，因此它包含了风险回避、时间消费偏好、财富限制、导致风险补偿的因素和众多的投资选择。

实证分析
（一）最大似然法简介
设总体X的概率密度为f(x;θ)（当X为离散型时，f(x;θ)为分布列），θ=(θ1,θ2,…,θk)为待估的未知参数，(x1,x2,…,xn)为样本(X1,X2,…,Xn)的一组观测值，称为样本的似然函数，若存在某个，使得成立(其中Θ为θ的所有可能取值范围)，则称=(x1,x2,…,xn)=(1(x1,x2,…,xn),2(x1,x2,…,xn)…k(x1,x2,…,xn))为θ的极大似然估计值，而称=(X1,X2,…,Xn)=(1(X1,X2,…,Xn),2(X1,X2,…,Xn)…k(X1,X2,…,Xn))为θ的极大似然估计量。

由定义可知，求总体参数θ的极大似然估计的问题，就是求似然函数L(θ)的最大值问题。

由微积分学知，若似然L(θ)函数关于θ（也即关于θ1，θ2，…，θk）有连续偏导数，则极大似然估计一般可从方程组：
（2）
解得，又由于lnL(θ)与L(θ)同时取得最大值，故等价地可由方程组求得。

（3）
（2）式或（3）式称为似然方程。

通常（3）式的求解较为简单，于是求解极大似然估计的一般步骤为：利用总体的分布写出样本的似然函数；建立似然方程（2）式或（3）式；解上述似然方程得参数θ的极大似然估计。

（二）参数估计
目前对CIR模型的参数估计的方法主要有四种：时间序列模型、截面数据模型、合成数据模型、状态空间模型。

不同的估计模型最大的区别在于对模型参数进行估计时所采取的数据信息不同。

时间序列模型主要采用基准利率的时间序列数据对模型参数进行估计，该模型的优点是数据容易处理，缺点是不能估计出风险溢价系数，由于模型只采用
利率变化过程的数据，因而忽视了与利率相关的金融证券的价格信息。

截面数据模型主要采用某个时点的各种债券价格的截面数据对模型的参数进行估计。

该模型的缺点是估计出来的参数不能严格的区分出来，而且不稳定，完全忽视了数据的时间纵向特征。

合成数据模型克服了以上两种方法的缺陷，并将两种模型的优点结合起来，综合利用了纵向时间序列和横向截面这两个维度的动态信息对参数进行估计，不但能估计出所有的模型参数，而且使研究更加深入。

状态空间模型是采用完全意义上的合成数据来对参数进行估计。

可以说以上四种模型都有各自的优点和缺点，为了使参数的估计更加有效和稳定，本文采用合成数据模型对参数进行估计。

在CIR模型中，债券的理论价格可以用模型参数和风险溢价λ来表示，即p(rt,τ)=A(τ)exp(-B(τ)rt)。

然而实际上市场价格与理论价格是有一定差异的，实际市场价格可以用下述模型来表达：
其中：Pt,τ是债券的市场价格；εt,τ为服从标准正态分布的残差项，即εt,τ~N(0,σ2τ)，假定εt,τ对于不同的τ值是独立同分布的；σ2τ为待估参数。

CIR模型的离散状态形式为：
其中：△t为时间间隔；为服从标准正态分布的残差项，~N(0,σ2rt-1△t)；θ，k和σ是待估参数。

因此连同风险溢价共有5个待估参数。

本研究采用极大似然估计法来估计这些参数。

假设有T天的短期利率样本数据（即每天的rt），以及第T天的M个债券价格数据，估计第T+1天的参数值时，构造CIR模型的对数似然函数如下：
（三）计算环境
本文在对利率期限结构模型的参数估计和对利率期限结构的拟合利用了Matlab7.1软件的优化工具箱Optimization，利用这个工具箱的拟牛顿法（BFGS 算法）对似然函数进行优化，并求出似然函数的最大值。

本文所有的参数估计结果和对利率期限结构的拟合都是在Matlab优化工具箱Optimization的编程环境下完成的。

（四）数据来源
本文以银行间国债市场2010年7月23日记账式固定利率的19只附息国债为样本对象，来对银行间国债市场的利率期限结构进行实证分析，本文的基准利率集选取2008年1月21日到2010年7月27日的629个银行间7日回购定盘利率（FR007）来对模型参数进行估计，由于银行间的7日回购定盘利率报价按单利计算，按照下述公式将其转换为连续复利：R(t)=ln[1+r(t)(T-t)]/(T-t)，其中，(T-t)为7/365，t为当前时刻，T为到期时刻，r(t)为对应单利率，R(t)为对应连续复利率。

本文所用数据来自于锐思数据库（/cn/）。

（五）结果分析
利用极大似然估计法，编辑MATLAB程序（程序略），并通过拟牛顿（BFGS 算法）非线性最优化方法估计出CIR模型的参数如表1所示。

本文对CIR模型的参数进行分析，σ为波动因子来反映利率的波动程度，由表1可知σ的值比较小，说明利率的波动很小，这是由于银行间7日回购定盘利率的波动很小。

θ为利率的长期趋势水平，说明短期利率的长期趋势水平为2.34%。

k为短期利率的回复速度，值越大说明回复的速度越快。

将表1中的参数带入P(rt,τ)=A(τ)exp(-B(τ)rt)中可以得到债券的理论价格公式为：
在点t的连续复合即期利率；在此基础上编辑Matlab程序可以推导出我国银行间国债利率期限结构，如图1所示。

由CIR模型推导出的我国银行间国债利率期限结构是一条经典的利率期限结构曲线，其中粗线条代表远期利率曲线，细线条代表即期利率曲线。

在构造的利率期限结构曲线中即期利率迅速上升，而后趋于平缓，并稳定在2.22%的利率水平。

远期利率曲线的变化同即期利率曲线基本相同，但稍高于即期利率曲线，并稳定在2.225%的利率水平。

由图1可以看出，我国银行间国债利率期限结构曲线呈现以下特点：
我国银行间国债即期利率曲线和远期利率曲线都与到期期限成正比关系。

国债的到期期限越长，收益率就越高，即长期国债的即期利率要高于短期国债的即期利率。

这一点从图1可以看出，预期理论认为这是由于投资者预期未来即期利率上升所致；流动性偏好理论则认为长期债权的流动性比短期债券的流动性要差，应该获得更高的流动性溢价。

随着到期期限的增加，即期利率曲线和远期利率曲线的增幅会越来越慢。

如图1所示，我国银行间国债即期利率曲线从1年期到10年期增幅较大，而从7年期以后增幅减小，基本在0.22%上下波动。

远期利率曲线也有类似的变化。

利率期限结构应用
编辑Matlab程序利用CIR模型拟合的银行间国债利率期限结构对我国银行间2007年7月26日的16只固定利率国债进行定价，结果如表2所示。

分析表2可知：将所得的理论价格与市场交易收盘全价进行对比，发现在剩余期限较短时利用CIR模型拟合的利率期限结构对我国银行间固定利率国债进行定价，定出的价格与实际交易价格相比偏离度较小，而当剩余期限较长时利用
模型定出的价格与实际交易价格的偏离度较大。

值得注意的是，模型本身只是给出银行间固定利率国债的理论价格，而在实际交易过程当中还要考虑债券以及资金的供求关系，因此利用模型所得理论价格会在一定程度上有别于市场的实际价格。

参考文献：
1.Cox, Ingersoll, Ross.A Theory of the Term Structure of Interest Rates [J]. Econo-metrica, 1985
2.朱世武，陈建恒.交易所国债利率期限结构实证研究[J].金融研究，2003（10）
3.庄晓玖，杜海涛.利率期限结构理论在我国证券市场的实证分析[J].金融市场，2003
4.谢赤，吴雄伟.基于Vasicek和CIR模型中的中国货币市场利率行为实证分析[J].中国科学管理，2002（10）
5.邵宇，刁羽.微观金融学及其数学基础[M].清华大学出版社，2008
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。