1.2空间向量基本定理课件(可编辑图片版)

A．－1a－1b－c B.1a＋1b－c
22
22
C.1a－1b－c 22
D．－1a＋1b－c 22
解析：(1)
B→1M
＝
B→1B＋Biblioteka B→M＝－c＋1 2
B→D
＝－c＋
1 2
(b－a)＝－
1 2
a
＋12b－c.故选D.
答案：(1)D
(2)已知四面体ABCD中，A→B＝a－2c，C→D＝5a＋6b－8c，对角 线AC，BD的中点分别为E，F，则E→F＝________.
[方法技巧] (1)若→p ＝x→a ＋y→b ＋z→c ，则 x→a ＋y→b ＋z →c 叫做向量→a ，→b ， →c 的线性表达式或线性组合，或者说→p 可以由→a ，→b ，→c 线性表示．
[方法技巧] (2)对于基底{→a ，→b ，→c }，除了应知道→a ，→b ，→c 不共面外，还 应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 选用不 同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向 量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不 同概念．
[方法技巧] 利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向 向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.
探究 3 求空间角 例 4 已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心． (1)求异面直线 AA1 与 BC 的夹角； (2)求 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值． 分析：将向量A→B，A→C，A→A1作为一组基向量，再考虑用转化思 想求解.对于1，可转化为求向量A→A1与B→C的夹角；对于2，作出 AA1 在底面内的射影 AO，则所求角即为向量O→A1与A→B1的夹角的余 角.
[方法技巧] 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线 性运算，利用向量共线的充要条件证明．
探究 2 证明空间垂直关系 例 3 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点．求证：EF⊥平面 B1AC.
证明：设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b， 连接BD，则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)
2 3.
[方法技巧]基向量法求空间角的基本思路是：将空间角转化为 两条直线的方向向量的夹角(或其补角、余角)，再构造基向量并借 助向量的运算求出角．
变式训练 2 如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中， E，F，G 分别是 A′D′，D′D，D′C′的中点，请选择恰当的 基向量解决下列问题：
存在三个实数 x，y，z，使O→A′＝x O→A ＝xa，O→B′＝yO→B＝yb，P′ →P＝zO→C＝
zc，O→P＝O→A′＋O→B′＋P′ →P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，即O→P＝p＝xa＋yb＋zc①. 如果 p＝xa＋yb＋zc＝x′a＋y′b＋z′c，那么可推出 x＝x′，y＝y′，z＝z′， 这也证明了表达式①是唯一的．
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋
b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b D．a＋2c
解析：A、B、C都与向量p、q共面，只有D与p、q不共面，故 选D.
答案：D
3．O、A、B、C为空间四个点，又{ O→A ， O→B ， O→C }为空间的 一个基底，则( )
A．O、A、B、C四点不共线 B．O、A、B、C四点共面，但不共线 C．O、A、B、C四点中任意三点不共线 D．O、A、B、C四点不共面
答案：D
题型一 空间向量基本定理的理解 1．(多选)设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间 的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量 组是( ) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
题型二 空间向量的表示 例 1 (1)如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC， M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝ 2G→N，现用基向量O→A，O→B，O→C表示向量O→G，设O→G＝xO→A＋yO→B＋ zO→C，则 x，y，z 的值分别是( )
1.2空间向量基本定理
最新课标 1.了解空间向量基本定理及意义； 2．掌握空间向量的线性运算； 3．会用空间向量基本定理证明线线、线面关系.
[教材要点]
要点 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么 对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得： p＝__xa_＋__y_b_＋__z_c______.
[方法技巧] 用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形， 运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量 转化为基向量的“代数和”．
变式训练 1
(1)如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AC 与 BD 交于
点 M，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则B→1M＝( )
A．x＝1，y＝1，z＝1 333
B．z＝1，y＝1，z＝1 336
C．x＝13，y＝16，z＝13 D．x＝1，y＝1，z＝1
633
解析：(1)连接ON.∵M，N分别是对边OA，BC的中点， ∴O→M＝12O→A，O→N＝12(O→B＋O→C)，∴O→G＝O→M＋M→G＝O→M＋23 M→N＝O→M＋23(O→N－O→M)＝13O→M＋23O→N＝13×12O→A＋23×12(O→B＋O→C) ＝16O→A＋13O→B＋13O→C，∴x＝16，y＝z＝13.故选D. 答案：(1)D
证明：设O是A1在底面ABC内的射影，选A→B，A→C，A→A1作为基 向量．由已知可得A→B，A→C，A→A1两两间的夹角均为60°，设棱长均 为a.
(1)A→A1·B→C＝A→A1·(A→C－A→B)＝A→A1·A→C－A→A1·A→B ＝|A→A1||A→C|cos 60°－|A→A1||A→B|cos 60° ＝12a2－12a2＝0. 所以〈A→A1，B→C〉＝90°，所以异面直线AA1与BC的夹角为90°.
2．基底与基向量： 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合
就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a， b，c生成的，我们把__{_a_，__b_，__c_}______叫做空间的一个基底，a， b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间 的一个基底．
＝12(A→A1＋A→D－A→B)＝12(－a＋b＋c)， ∵A→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b， ∴E→F·A→B1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0， ∴E→F⊥A→B1，即EF⊥AB1.同理可证EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
证明：设O→A＝a，O→B＝b，O→O1＝c， 则P→Q＝P→A1＋A→1O1＋O→1Q＝13A→A1＋A→1O1＋12O→1B1 ＝13O→O1－O→A＋12O→B＝－a＋12b＋13c R→S＝R→E＋E→B＋B→S＝12A→E＋E→B＋13B→B1 ＝12O→B－O→A＋13O→O1＝－a＋12b＋13c ∴P→Q＝R→S ∵R∉PQ ∴PQ∥RS.
2x－y＝－1，
此方程组无解．
即不存在实数x，y使得O→A＝xO→B＋yO→C，
所以O→A，O→B，O→C不共面．
所以{O→A，O→B，O→C}能作为空间的一个基底．
[方法技巧] 1．如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个 向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． 2．假设 a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程 组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为 基底．
解析：假设 O→A ， O→B ， O→C 共面，由向量共面的充要条件知，
存在实数x，y
使O→A＝xO→B＋yO→C成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
y－3x＝1， ∴x＋y＝2，
[答疑解惑]
教材 P11 探究 证明：设向量 a，b，c 不共面(如图所示)．过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→P＝p，过点 P 作直 线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′，在平面 OAB 内，过 P′作直线 P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线 OA，OB 相交于点 A′，B′，于是
解析：如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，
则x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C， a＋b＋c＝ A→C1 .由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x， y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．故选 BCD. 答案：BCD
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－ e3，O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C} 能否作为空间的一个基底．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基 底．( × ) (2)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3} 使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.( × ) (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表 示．( √ ) (4)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间 向量构成的．( √ )
(2)易知平面ABC的一个法向量为
O→A1
，且
O→A1
＝A→A1
－
1 3
A→B
－
1 3
A→C，A→B1＝A→B＋A→A1，
所以O→A1·A→B1＝23a2，
易求得|O→A1|＝ 36a，|A→B1|＝ 3a.
所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为|cos〈 A→B1 ， O→A1 〉|＝
||OO→→AA11|·|AA→→BB11||＝
解析：
(2)如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则E→F＝G→F－G→E ＝12C→D－12B→A＝12C→D＋12A→B＝12(5a＋6b－8c)＋12(a－2c)＝3a＋3b－ 5c.
答案：(2)3a＋3b－5c
题型三 空间向量基本定理的应用 探究 1 证明空间平行关系
例 2 在长方体 OAEB－O1A1E1B1 中，OA＝3，OB＝4，OO1 ＝2，点 P 在棱 AA1 上，且 AP＝2PA1，点 S 在棱 BB1 上，且 SB1＝ 2BS，点 Q、R 分别是棱 O1B1，AE 的中点，求证：PQ∥RS.
(1)证明：平面 EFG∥平面 AB′C； (2)若该平行六面体 ABCD－A′B′C′D′为一正方体，证明： BD′⊥平面 EFG.
(2)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设 A→B ＝a， A→D ＝ b， A→A′ ＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的 中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c} 表示以下向量：
①A→P；②A→M；③A→N；④A→Q.
解析：(2)连接AC、AD′ ①A→P＝12(A→C＋AA→′)＝12(A→B＋A→D＋A→ A′)＝12(a＋b＋c)． ②A→M＝12(A→C＋AD→′)＝12(A→B＋2A→D＋A→A′)＝12a＋b＋12c.
③A→N＝12(AC→′＋AD→′)＝12[(A→B＋A→D＋A→A′)＋(A→D ＋A→A′)]
＝12(A→B＋2A→D＋2A→ A′)＝12a＋b＋c. ④A→Q＝A→C＋C→Q＝A→C＋45(A→A′－A→C)＝15A→B＋15A→D＋45A→ A′ ＝15a＋15b＋45c. 答案：(2)见解析