浙江省宁波市余姚市子陵中学九级(上册)期中数学试卷

2015-2016学年浙江省宁波市余姚市子陵中学九年级（上）期中
数学试卷
一．选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）（2015•东营）若=，则的值为（）
A．1 B．C．D．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵=，
∴==．
故选D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
2．（4分）（2015•乐山）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称
轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；
当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图
象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自
变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
3．（4分）（2015秋•余姚市校级期中）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是（）
A．2 B．C．1 D．21
【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，再求多边形的半径．
【解答】解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2）•180°=360°×2，
解得：n=6．
故正多边形为6边形．
边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
所以正多边形的半径等于2．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质；熟练掌握正六边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．
4．（4分）（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
5．（4分）（2015秋•余姚市校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△BAC的值为（）
A．B．C．D．
【分析】由S△BDE：S△CDE=1：3，得到=，于是得到=，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，
根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴==，
∴S△BDE：S△BAC=（）2=．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握等高不同底的三角形的面积的比等于底的比与三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
6．（4分）（2015•常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
7．（4分）（2013•衢州）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）
A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2
【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．
【解答】解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），
∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，
即y=x2+2x，
∴b=2，c=0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
8．（4分）（2009•湖州）在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，两次摸球所有可能的结果如图所示，则摸出的两个球中，一个是红球，一个是黑球的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有情况，看摸出的两个球中，一个是红球，一个是黑球的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：由树状图可知共有3×3=9种可能，一个是红球，一个是黑球的有2种，所以概率是，
故选B．
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（4分）（2014•台州）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）
A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9
【分析】首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．
【解答】解：∵ME∥AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴=，
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE=1cm，EC=3cm，
∴=，
∴=，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：=．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．
10．（4分）（2015•巢湖市自主招生）已知函数y=，则使y=k成立的x值恰好有
三个，则k的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y=3与两抛物线有三个交点，则得到k=3．
【解答】解：如图，
当y=k成立的x值恰好有三个，即直线y=k与两抛物线有三个交点，
而当x=3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），
所以k=3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
11．（4分）（2015•荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA
向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．C．D．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC 边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
解y=•3x•x=x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
解y=•x•3=x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
12．（4分）（2015•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出=，可解得
DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴=，即=，
解得DE=，
∴AE=AD﹣DE=5﹣=2.8．
故选：B
【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）（2015•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．
【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：
甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，
有4种甲没在中间，
所以甲没排在中间的概率是=．
故答案为．
【点评】本题考查用列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）（2015•上海）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3．
【分析】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，
把A（0，3）代入，得
3=﹣1+b，
解得b=4，
则该函数解析式为y=x2+2x+3．
故答案是：y=x2+2x+3．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
15．（4分）（2016•市中区三模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为．
【分析】首先连接OA，OB，由∠C=45°，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=AB•cos45°=2×=．
故答案为：．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．16．（4分）（2014•铁岭模拟）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc＜0．
【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＞0，c＞0，则abc的正负即可判定．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0；
∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，
∴﹣＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断．
17．（4分）（2012•卢湾区一模）如图，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4，（AD＞CD），若△ABC∽
△ACD，则AD=．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可求出AD的长度．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴AB：AC=AC：AD，
又∵AB=5，AC=4，
∴5AD=16
∴AD=．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，比较简单．
18．（4分）（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，
且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．
【分析】延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．
【解答】解：如图，延长ME交⊙O于G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
过点O作OH⊥MG于H，连接MO，
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，
OM=×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE•sin60°=1×=，
在Rt△MOH中，MH===，
根据垂径定理，MG=2MH=2×=，
即EM+FN=．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．
三．解答题（共78分）
19．（6分）（2015•徐州）小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．
（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为25%
（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30元的概率为多少？
【分析】（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用1除以4，求出抽中20元奖品的概率为多少即可．
（2）首先应用树状图法，列举出随机翻2张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于30元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于30元的概率为多少即可．【解答】解：（1）∵1÷4=0.25=25%，
∴抽中20元奖品的概率为25%．
故答案为：25%．
（2），
∵所获奖品总值不低于30元有4种情况：30元、35元、30元、35元，
∴所获奖品总值不低于30元的概率为：
4÷12==．
【点评】（1）此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P （A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
（2）此题还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
20．（8分）（2015•孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．
（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．
【分析】（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r﹣20）2+402，
然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图1，
点O为所求；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，
∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，
即所在圆的半径是50m．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．
21．（8分）（2012秋•郯城县期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴=
∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=10m，
∴=
∴BC=5米，
∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5米
∴树高为6.5米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
22．（10分）（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；
（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE；
（2）连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴=，即=，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．
23．（10分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；
（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；
（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；
解得x1=2，x2=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．
24．（10分）（2015•常州模拟）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销
x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）利用已知结合销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具，表示出涨价后的销量即可，进而得出w与x的函数关系；
（2）利用（1）中所求，得出关于x的等式方程求出即可；
（3）利用“玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务”进而得出不等式组求出x的取值范围，再利用二次函数性质求出最值即可即可．
【解答】解：（1）由题意可得：y=600﹣×20=1000﹣10x，
2
解得：x1=50，x2=80，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
（3）根据题意得：
解得：44≤x≤60，
w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，
∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，
∴当44≤x≤60时，w随x增大而增大．
∴当x=60时，w最大值=12000（元）．
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为12000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及不等式组的应用，根据题意得出x的取值范围是解题关键．25．（12分）（2015秋•余姚市校级期中）如图所示：在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，
2为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC 交x轴于点E．
（1）求点C，P的坐标；
（2）求弓形的面积；
（3）探求线段BE和OE存在何种数量关系，并证明你所得到的结论．
【分析】（1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM；由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线；最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标；
（2）连接BM，易求扇形AMB的面积和△AMB的面积，由S弓形ACB=S扇形AMB﹣S△AMB计算即可；（3）首先证△AMC为等边三角形，再根据等边三角形的三个内角都是60°和直径所对的圆周角∠ACP=90°可求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE．
【解答】解：（1）连接PB，
∵PA是圆M的直径，
∴∠PBA=90°，
∴AO=OB=3，
又∵MO⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2
∴P点坐标为（3，2），
在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，
根据勾股定理得：AP==4，
∴圆的半径MC=2，
又∵OM=，
∴OC=MC﹣OM=，
则C（0，﹣）；
（2）连接BM，
∵BP=2，AP=4，
∴sin∠PAB=，
∴∠PAB=30°，
∴OM=AM=，
∴S△AMB=AB•OM=×6×=3，
∵AM=BM，
∴∠AMB=120°，
∴S扇形AMB==4π，
∴S弓形ACB=4π﹣；
（3）BE=20E，理由如下：
∵AM=MC=2，AO=3，OC=，
∴AM=MC=AC=2，
∴△AMC为等边三角形，
又∵AP为圆M的直径，
∴∠ACP=90°
∴∠OCE=30°，
∴OE=1，BE=2，
∴BE=2OE．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质、扇形的面积公式、三角形面积公式的运用．解答该题时通过作辅助线构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．
26．（14分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；
②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
【解答】解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，
∴点B的坐标为1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=﹣4a
∴a=
∴y=x2x+2．
（2）设P（m，m2m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ=m2m+2﹣（m+2）
=m2﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）方法一：
在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）
∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4
当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2
∴M（2，﹣3）；
当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴K AC×K BC=﹣1，
∴AC⊥BC，MN⊥x轴，
若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，
则，，
设M（2t，﹣2t2﹣3t+2），
∴N（2t，0），
①||=，
∴||=，
∴2t1=0，2t2=2，
②||=，
∴||=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．。