辽宁省盘锦市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题含解析

辽宁省盘锦市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．等式33=11
x x x x --++成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 3．下列计算结果正确的是（ ）
A ．329()a a -=
B ．236a a a ⋅=
C ．3332a a a +=
D ．0(cos 600.5)1︒-= 4．要使式子
1x x +有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B ．x≠0 C ．x ＞﹣1且≠0 D ．x≥﹣1且x≠0
5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )
A ．﹣4＜P ＜0
B ．﹣4＜P ＜﹣2
C ．﹣2＜P ＜0
D ．﹣1＜P ＜0
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，若BC=3，则DE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°8．下列各数中，为无理数的是（）
A．38B．4C．1
3
D．2
9．计算-5+1的结果为（）
A．-6 B．-4 C．4 D．6
10．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（）
A．50°B．20°C．60°D．70°
11．抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1与x轴交于A，B两点，C（x1，m）和D（x2，n）也是抛物线上的点，且x1＜2＜x2，x1+x2＜4，则下列判断正确的是（）
A．m＜n B．m≤n C．m＞n D．m≥n
12．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）
A．3cm B6cm C．2.5cm D5cm
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018=_____个单位长度．
14．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心．大于12
MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点p(a ，b)，则a 与b 的数量关系是________．
15．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．
16．已知一次函数y=ax+b 的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 是BC 的中点，AE ⊥BD 于点F ，则CF 的长是_________．
18．在平面直角坐标系内，一次函数2y x b =-与21y x =-的图像之间的距离为3，则b 的值为__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了两幅统计图：
（1）样本中的总人数为人；扇形统计十图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为度；
（2）补全条形统计图；
（3）该单位共有1000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m
x
（m≠0）的图象交于点A
（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
21．（6分）灞桥区教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了铁一中滨河学部分七年级学生2016﹣2017学年第一学期参加实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a=%，并补全条形图．
（2）在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该区共有七年级学生约9000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？
22．（8分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0）、点B（0，4），点C、D分别是边OA、AB 的中点．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．
（I）如图①，连接BD′，当BD′∥OA时，求点D′的坐标；
（II）如图②，当α＝60°时，求点C′的坐标；
（III）当点B，D′，C′共线时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．
23．（8分）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．
24．（10分）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E 旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．
（1）求证：△GBE∽△GEF．
（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．
（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．
25．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═k
x
（x＞0）的图象上，点A′
与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=1
2
，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方
形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
26．（12分）先化简，再求值：（x﹣2﹣
5
2
x+
）÷
2
(3)
2
x
x
+
+
，其中3．
27．（12分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=1．当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；
D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误，
故选C ．
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
2．B
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．
【详解】
由题意可知：3010x x -≥⎧⎨+>⎩
, 解得：3x …
, 故选：B ．
【点睛】
考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
3．C
【解析】
【分析】
利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项及零指数幂的定义分别计算后即可确定正确的选项．
【详解】
A 、原式6a =，故错误；
B 、原式5a =，故错误；
C 、利用合并同类项的知识可知该选项正确；
D 、cos600.5︒=，cos600.50︒-=，所以原式无意义，错误，
故选C ．
【点睛】
本题考查了幂的运算性质及特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是能够利用有关法则进行正确的运算，难度不大．
4．D
【解析】
【分析】
根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于1，和分母不等于1，即可求解．【详解】
根据题意得：
10 {
x
x
+≥
≠
，
解得：x≥-1且x≠1．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．5．A
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞1．
∵对称轴在y轴的左边，∴
b
2a
-＜1．∴b＞1．
∵图象与y轴的交点坐标是（1，﹣2），过（1，1）点，代入得：a+b﹣2=1．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣3，
∵b＞1，∴b=2﹣a＞1．∴a＜2．
∵a＞1，∴1＜a＜2．∴1＜2a＜3．∴﹣3＜2a﹣3＜1，即﹣3＜P＜1．
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
6．A
【解析】
试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1 考点：线段垂直平分线的性质
7．B
【解析】
【分析】
由图形可知AC ＝AC ，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中
∵AB ＝AD ，AC ＝AC ，
∴当CB ＝CD 时，满足SSS ，可证明△ABC ≌△ACD ，故A 可以；
当∠BCA ＝∠DCA 时，满足SSA ，不能证明△ABC ≌△ACD ，故B 不可以；
当∠BAC ＝∠DAC 时，满足SAS ，可证明△ABC ≌△ACD ，故C 可以；
当∠B ＝∠D ＝90°时，满足HL ，可证明△ABC ≌△ACD ，故D 可以；
故选：B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.
8．D
【解析】
A =2，是有理数；
B =2，是有理数；
C ．
13
，是有理数；D ，是无理数， 故选D.
9．B
【解析】
【分析】
根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】
解：-5+1=-（5-1）=-1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了有理数的加法．
10．D
【解析】
题解析：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
11．C
【解析】
分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程2x =，根据抛物线2
441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，得出()()244410a a a =--⨯->V ，
求得 0a >，
距离对称轴越远，函数的值越大，根据121224x x x x <<+<，，判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.
详解：∵()2244121y ax ax a a x =-+-=--，
∴此抛物线对称轴为2x =，
∵抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，
∴当24410ax ax a -+-=时，()()244410a a a =--⨯->V ，
得0a >， ∵121224x x x x <<+<，，
∴1222x x ，->-
∴m n >，
故选C ．
点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大， 12．D
【解析】
分析：根据垂径定理得出OE 的长，进而利用勾股定理得出BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
详解：连接OB ，
∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，BD=1cm ，AE=2cm ．
在Rt △OEB 中，OE 2+BE 2=OB 2，即OE 2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=1．
在Rt △EBC 中，22224845BE EC +=+=
∵OF ⊥BC ，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴OF OC
BE BC
=，即
4
OF
=
解得：
故选D．
点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
【分析】
根据P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；可知每移动一次，圆心离中心的距离增加1个单位，依据2018=3×672+2，即可得到点P2018在正南方向上，P0P2018=672+1=1．【详解】
由图可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；
P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；
P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；
∵2018=3×672+2，
∴点P2018在正南方向上，
∴P0P2018=672+1=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化，应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．14．a+b=1．
【解析】
试题分析：根据作图可知，OP为第二象限角平分线，所以P点的横纵坐标互为相反数，故a+b=1.
考点：1角平分线；2平面直角坐标系.
15．73°
【解析】
试题解析：∵∠CBD=34°，
∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，
∴∠ABC=∠ABE=1
2
∠CBE=73°．
16．x≥1．
【解析】
试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．
故答案为x≥1．
考点： 一次函数与一元一次不等式．
17．2 【解析】 试题解析：∵四边形ABCD 是矩形， 90ABE BAD ∴∠=∠=o ，
∵AE ⊥BD ， 90AFB ∴∠=o ，90BAF ABD ABD ADB ∴∠+∠=∠+∠=o ，
BAE ADB ∴∠=∠，
∴△ABE ∽△ADB ， AD AB AB BE
，∴= ∵E 是BC 的中点， 2AD BE ∴=， 2222BE AB ∴==， 12BE BC ∴=∴=，，
22223,6AE AB BE BD BC CD ∴=+==+=，
6.3
AB BE BF AE ⋅∴== 过F 作FG ⊥BC 于G ，
FG CD ∴P ， BFG BDC V V ∽，∴ FG BF BG CD BD BC ∴==，223
FG BG ∴==， 43
CG ∴=， 22 2.CF FG CG ∴+=
2.
18．1-35或1+35
【解析】
【分析】
设直线y=2x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y=2x-b于点D，根据直线的解析式找出点A、B、C的坐标，通过同角的余角相等可得出∠BAD=∠ACO，再利用∠ACO的余弦值即可求出直线AB的长度，从而得出关于b的含绝对值符号的方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：设直线y=2x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y=2x-b于点D，如图所示．
∵直线y=2x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，
∴点A（0，-1），点C（1
2
，0），
∴OA=1，OC=1
2
，22
OA OC
5，
∴cos∠ACO=OC
AC
5
∵∠BAD与∠CAO互余，∠ACO与∠CAO互余，∴∠BAD=∠ACO．
∵AD=3，cos∠BAD=AD
AB
5
，
∴5
∵直线y=2x-b与y轴的交点为B（0，-b），
∴AB=|-b-（-1）5
解得：55
故答案为55．
【点睛】
本题考查两条直线相交与平行的问题，利用平行线间的距离转化成点到直线的距离得出关于b的方程是解
题关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(1) 80、72；(2) 16人;(3) 50人
【解析】
【分析】
(1) 用步行人数除以其所占的百分比即可得到样本总人数:8÷10%=80(人);用总人数乘以开私家车的所占百分比即可求出ｍ，即m=80⨯25%=20;用3600乘以骑自行车所占的百分比即可求出其所在扇形的圆心角:360⨯(1-10%-25%-45%)=72o.
(2) 根据扇形统计图算出骑自行车的所占百分比, 再用总人数乘以该百分比即可求出骑自行车的人数, 补全条形图即可．
(3) 依题意设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车, 用x分别表示改变出行方式后的骑自行车和开私家车的人数, 根据题意列出一元一次不等式, 解不等式即可．
【详解】
解：（1）样本中的总人数为8÷10%=80人，
∵骑自行车的百分比为1﹣（10%+25%+45%）=20%，
∴扇形统计十图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为360°×20%=72°
（2）骑自行车的人数为80×20%=16人，
补全图形如下：
（3）设原来开私家车的人中有x人改骑自行车，
由题意，得：1000×（1﹣10%﹣25%﹣45%）+x≥1000×25%﹣x，
解得：x≥50，
∴原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．【点睛】
本题主要考查统计图表和一元一次不等式的应用。

20．（1）y=3
x
；y=x-2；（2）（0,0）或（4,0）
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得AB与x轴的交点，设交点是C，然后根据S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐
标．
试题解析：（1）∵反比例函数y=m
x
（m≠0）的图象过点A（1，1），
∴1=
1
m ∴m=1．
∴反比例函数的表达式为y=3
x
．
∵一次函数y=kx+b的图象过点A（1，1）和B（0，-2）．
∴
31 {
2
k b
b
＝
＝
+
-
，
解得：
1
{
2
k
b-
＝
＝
，
∴一次函数的表达式为y=x-2；
（2）令y=0，∴x-2=0，x=2，
∴一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．∵S△ABP=1，
1 2PC×1+
1
2
PC×2=1．
∴PC=2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据S△ABP=S△ACP+S△BCP 列方程是关键．
21．（1）10，补图见解析；（2）众数是5，中位数是1；（3）活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．
【解析】
【分析】
（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用310°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；根据1天的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以8天的人数所占的百分比，即可补全统计图；
（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；
（3）用总人数乘以活动时间不少于1天的人数所占的百分比即可求出答案．
【详解】
解：（1）扇形统计图中a=1﹣5%﹣40%﹣20%﹣25%=10%，
该扇形所对圆心角的度数为310°×10%=31°，
参加社会实践活动的天数为8天的人数是：
20
20%
×10%=10（人），补图如下：
故答案为10；
（2）抽样调查中总人数为100人，
结合条形统计图可得：众数是5，中位数是1．
（3）根据题意得：9000×（25%+10%+5%+20%）=5400（人），
活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（I）（10，4）或（6，4）（II）C′（6，3（III）①C′（8，4）②
C′（24
5
，﹣
12
5
）
【解析】
【分析】
（I）如图①，当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，只要证明B、C′、D′共线即可解决问题，再根据对称性确定D″的坐标；
（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．解直角三角形求出OK，C′K即可解决问题；
（III）分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】
解:（I）如图①，
∵A（8，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=8，
∵AC=OC=AC′=4，
∴当OB∥A C′，四边形OBC′A是平行四边形，∵∠AOB=90°，
∴四边形OBC′A是矩形，
∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，
∴B、C′、D′共线，
∴BD′∥OA，
∵AC=CO，BD=AD，
∴CD=C′D′=1
2
OB=2，
∴D′（10，4），
根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．
（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．
在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，
∴AK=2，3
∴OK=6，
∴C′（6，23）．
（III ）①如图③中，当B 、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．
②如图④中，当B 、C′、D′共线时，BD′交OA 于F ，易证△BOF ≌△AC′F ，
∴OF=FC′，设OF=FC′=x ，
在Rt △ABC′中，BC′=22AB AC -'=8，
在RT △BOF 中，OB=4，OF=x ，BF=8﹣x ，
∴（8﹣x ）2=42+x 2，
解得x=3，
∴OF=FC′=3，BF=5，作C′K ⊥OA 于K ，
∵OB ∥KC′，
∴
KC OB '=FK OF =FC BF
'， ∴4
KC '=3FK =35， ∴KC′=125，KF=95
， ∴OK=245，
∴C′（24
5
，﹣
12
5
）．
【点睛】
本题考查三角形综合题、旋转变换、矩形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（1）证明见解析；（2
）
5
；（3）证明见解析.
【解析】
分析：（1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据
∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知
∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；
（2）设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；
（3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由
1
2
MF MN
AB BC
==即可得证．
详解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
AB DB
NBE ABN BN BN
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：，
∴
（3）∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵
1
2 MF MN
AB BC
==，
∴
1
2 MF MN
BD BC
==，
∴△MFN∽△BDC．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
24．（1）见解析；（2）y=4﹣x+
4
4x
-
（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣
【解析】
【分析】
（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；
（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=
4 4x -
，即可得出结论；
（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】
（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，
∴∠F'=∠CFE，
在△BEF'和△CEF中，
，
∴△BEF'≌△CEF，
∴BF'=CF，EF'=EF，
∵∠GEF=90°，
∴GF'=GF，
∴∠BGE=∠EGF，
∵∠GBE=∠GEF=90°，
∴△GBE∽△GEF；
（2）∵∠FEG=90°，
∴∠BEG+∠CEF=90°，
∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠CEF，
∵∠EBG=∠C=90°，
∴△BEG∽△CFE，
∴，
由（1）知，BE=CE=2，
∵AG=x，
∴BG=4﹣x，
∴，
∴CF=
4
4x
，
由（1）知，BF'=CF=
4
4x -
，
由（1）知，GF'=GF=y，
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
4 4x -
当CF=4时，即：
4
4x
-
=4，
∴x=3，（0≤x≤3），
即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+
4
4x
-
（0≤x≤3）；
（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵△AGQ与△CEP相似，
∴①△AGQ∽△CEP，
∴∠AGQ=∠CEP，
由（2）知，∠CEP=∠BGE，
∴∠AGQ=∠BGE，
由（1）知，∠BGE=∠FGE，
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，
∴∠BGE=60°，
∴∠BEG=30°，
在Rt△BEG中，BE=2，
∴BG=23
3
，
∴AG=AB﹣BG=4﹣23
3
，
②△AGQ∽△CPE，
∴∠AQG=∠CEP，
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，
∴EG∥AC，
∴△BEG∽△BCA，
∴，
∴，
∴BG=2，
∴AG=AB ﹣BG=2，
即：当△AGQ 与△CEP 相似，线段AG 的长为2或4﹣233． 【点睛】
本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
25．（1）y 1=
8x ，y 2=x ﹣2；②2＜x ＜4；（2）k=6；（3）证明见解析. 【解析】
分析：（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB 面积，用a 、k 表示面积问题可解；
（3）设出点A 、A′坐标，依次表示AD 、AF 及点P 坐标．
详解：（1）①由已知，点B （4，2）在y 1═
k x （x ＞0）的图象上 ∴k=8
∴y 1=8x
∵a=2
∴点A 坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B （4，2），A （﹣2，﹣4）代入y 2=mx+n 得，
2=42m n m n
+⎧⎨-=-+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩
， ∴y 2=x ﹣2；
②当y 1＞y 2＞0时，y 1=8x
图象在y 2=x ﹣2图象上方，且两函数图象在x 轴上方， ∴由图象得：2＜x ＜4；
（2）分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连BO ，
∵O 为AA′中点，
S △AOB =12
S △AOA′=8 ∵点A 、B 在双曲线上
∴S △AOC =S △BOD
∴S △AOB =S 四边形ACDB =8
由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，
k a ）（3a ，3k a ） ∴1()2823k k a a a
⨯+⨯=， 解得k=6；
（3）由已知A （a ，
k a ），则A′为（﹣a ，﹣k a
）. 把A′代入到y=12x n +，得：﹣1=2
k a n a -+， ∴n=12k a a
-， ∴A′B 解析式为y=﹣1122k x a a
+-. 当x=a 时，点D 纵坐标为k a a
-， ∴AD=2k a a - ∵AD=AF ，
∴点F 和点P 横坐标为22+
=k k a a a a
-， ∴点P 纵坐标为1211222
k k a a a a ⨯+-=. ∴点P 在y 1═k x （x ＞0）的图象上. 点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
262
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】 原式()
2245223x x x x --+=⨯++， ()()()2+33223x x x x x -+=⨯++，
33
x x -=+．
当x =
=
2= 【点睛】 本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是化简成最简再代入计算.
27．（2）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=2时，x 2=x 2=﹣2．
【解析】
【详解】
分析：（2）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可. 详解：（2）解：由题意：0a ≠．
∵()2
2242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：
解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，
解得：121x x ==．
点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.
当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.
当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.。