预应力混凝土简支梁设计

预应力混凝土简支梁设计
一多层房屋的预应力砼屋面梁，构件及截面尺寸如图二所示。

先张法施工时在工地临时台座上进行，在梁的受拉、受压区采用直径9mm 的消除应力钢丝H φ,2
/1330mm N f pyk =，分别在梁的受拉、受压区采用锥形锚具一端同时超张拉，养护时预应力钢筋与张拉台座温差为25C 0
，砼达到设计强度以后放松预应力钢筋，砼采用C50，非预应力钢筋采用HRB335钢筋。

现已知该梁为一般不允许出现裂缝构件，承受均布恒栽标准值为=k g 18KN/m(含自重)，均布活载标准值k q =14KN/m ，活载准永久值系数Ψq=0.5，按《砼结构设计规范（GB50010-2010）》设计该梁。

要求：
（１） 进行梁的正截面承载力计算，估算纵向预应力钢筋，并根据构造要求估算非预应力钢筋。

（２） 计算总预应力损失。

（３） 进行梁的正截面承载力计算，确定梁的纵向预应力钢筋和非预应力钢筋。

（４） 进行梁的斜截面承载力计算，确定梁的箍筋。

（５） 验算梁的使用阶段正截面抗裂能力是否满足要求。

（６） 验算梁的使用阶段斜截面抗裂能力是否满足要求。

（７） 验算梁的使用阶段挠度是否满足要求。

（８） 验算梁在施工阶段强度及抗裂能力是否满足要求。

一．进行梁的正截面承载力计算，估算纵向预应力钢筋，并根据构造要求估算非预应力钢筋。

1.计算参数
mm l 9600= mm l 93500= mm l n 9100=
C50混凝土：2/50mm N f cu = 2/1.23mm N f c = 2/89.1mm N f t = 2/4.32mm N f ck = 2/64.2mm N f tk =
mm N E c /1045.34⨯= 0.11=α 8.01=β
直径9mm 的消除应力钢丝H φ：2/1470mm N f ptk = 2/1330mm N f pyk =
2/1040mm N f py = 25/1005.2mm N E p ⨯= 2/410mm N f py
=' HRB335非预应力钢筋：2/300mm N f y = 2/300mm N f yv = 2/300mm N f y =' 25/100.2mm N E s ⨯= 施工条件：构件为“一般不允许出现裂缝构件”，允许挠度为3000l ,
当'
cu cu f f =时，放张预应力筋。

2.内力计算
① 跨中最大弯矩：
m
KN l q g M k k ⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=23.45035.9)144.1182.1(8
1 )4.12.1(8
122
()m KN l q g M k k k ⋅=⨯+⨯=+=
69.34935.9)1418(8
1
8
1
220
()m KN l q g M k q k q ⋅=⨯⨯+⨯=+=
20.27335.9)145.018(8
1
8
1
220ψ
② 支座截面处最大剪力
()KN l q g V n k k 46.1871.9)144.1182.1(2
1
4.12.12
1
=⨯⨯+⨯⨯=+=
()KN l q g V n k k k 6.1451.9)1418(2
1
2
1
=⨯+⨯=+=
3. 正截面配筋计算
按翼缘位于受压区的T 形截面计算。

计算时可先假定中和轴位于翼缘内，按宽度f b '的矩形截面计算，然后再核算与假定是否相符。

构件达到正截面承载力极限状态时，受压区预应力钢筋p A '，无论受拉或受压，其应力都较小，在配筋计算时可忽略不计，则本题可按单筋矩形计算。

考虑弯矩较大，受拉区可采用双排布置预应力筋。

估算 mm a s
65=
mm a h h s 735658000=-=-=
106.0735
3601.230.15.010
23.450115.0112
6
2
01=⨯⨯⨯⨯⨯-
-='-
-=h b f M f c αξ
∴mm mm h x 1252
50
100775.770=+<==ξ 与假定相符。

∴ 20
1980.6221040
735
3601.230.1106.0mm f h b f A
py
f c p
=⨯⨯⨯⨯=
'=
ξα
（先选用10H φ9，2636mm A p =，经计算不满足抗裂要求）选用13H φ9 ，
202.827mm A p =，根据构造要求：2
)8.206~1.124()25.0~15.0(mm A A p p =='
选用2H φ9 223.127mm A p ='
选配非预应力钢筋：
2
13760068012080502
1
1001202405021100360mm A =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯= 根据构造要求：()%2.0≥'+'A A A s p 即297.147mm A s ≥'； 受拉受压区选配同样的非预应力钢筋：选配2φ10 ，即：
2157mm A A s
s ='= 钢筋布置见图-1
4. 截面几何特征
表中：a —各截面i A 的重心至底边的距离； i y —各截面的重心至换算截面重心的距离； i I —各截面对其自身重心的惯性矩； EP α—预应力钢筋与混凝土的模量比
942.51045.31005.24
5
=⨯⨯==C P EP
E E α；
—预应力钢筋与混凝土的模量比ES
797.510
45.3100.24
5=⨯⨯==C S ES
E E α； 换算截面面积：20143822mm A A i ==∑,
换算截面重心至底边的距离为:mm A S y 436143822
1063.6275/4
0=⨯=
=∑ 换算截面惯性矩为：
4666201072.103831003.20111069.8372mm I y A I i i i ⨯=⨯+⨯=+=∑∑
二、计算预应力损失
先张发构件热处理钢筋超张拉：
ptk con f 75.0≤σ 取 2/1029147070.070.0mm N f ptk con =⨯==σ
21/8.106mm N E l
a
p l ==
σ 5523 1.010*******/l s s E t N mm σα-=∆=⨯⨯⨯⨯=
2
4/73.251029025.0)5.0(
125.0mm N f con ptk
con
l =⨯=-=σσσ
第一批预应力损失：
2431'
/53.182mm N l l l lI lI =++==σσσσσ
扣除第一批预应力损失后，预应力钢筋的合力；
p l con p l con p A A N ''-'+-=I I I )()(σσσσ
N 80774423.127)53.1821029(02.827)53.1821029(=⨯-+⨯-=
p l con
p p l con p p y A y A e N '''-'--=I I I )()(0σσσσ 33623.127)53.1821029(6.37802.827)53.1821029(⨯⨯--⨯⨯-= mm 228852046⋅=N
受拉区，受压区预应力钢筋合力点处混凝土的法向应力。

2
6
00
2
6
000/79.13361072.10383228852046143822807744/13.966.3781072.10383228852046143822807744mm
N y I e N A N mm
N y I e N A N p p p p pc p p p p pc -=⨯⨯-=
'-=
'=⨯⨯+=+=I
I I I I
I I I σσ
2'
2/255.0/96.13mm N f mm N cu pcI =<=σ
配筋率：
3
-0
3
-0
101.98143822
15723.127106.84143822
157
02.827⨯=+='+'=
'⨯=+=
+=
A A A A A A s
p s p ρρ
∵ 2/50mm N f cu
=' ∴
2
3
'
52
3
5/30.511098.11515079
.134065151340
65/153.881084.61515096
.1334065151340
65mm N f mm N f cu pc
l cu pc
l =⨯⨯+-⨯
+=
'+'+=
'=⨯⨯+⨯
+=
+'+=
--ρσ
σρσσ
第二批预应力损失：2
525/30.51/88.153mm
N mm N l l l l ='='==σσσσC C
总预应力损失为：
22/100/336.4188.15353.182mm N mm N l l l >=+=+=I C σσσ 22/100/83.23330.5153.182mm N mm N l l l >=+='+'='I C σσσ
由于)
'P 'S (4.0A P
S A A A +〈+,故： N
A A N p l con p l con p 26.673955)()(I I I =''-'+-=I I I σσσσ
N y A y A e N p P l con p p l con p p 182863752)()('
I I I 0=''-'--=I I I σσσσ
2
6
00
2
6000/23.13361072.1038318286375214382226.673955/35.116.3781072.1038318286375214382226.673955mm
N y I e N A N mm
N y I e N A N p II
p pII pII pcII p II
p pII pII pcII -=⨯⨯-=
'-
=
'=⨯⨯+=+=σσ三、正截面承载力计算
1、消压状态时：20/97.759mm N a PCII EP l con p =+-=σσσσ
2'
'''0/94.793mm N PCII l con p =+-=σσσσ ''000p
p p p p A A N σσ+=
23.12794.79302.82797.759⨯+⨯= =kN 52.729 2、鉴别中和轴位置
当受压区混凝土破坏时，受压区预应力筋应力为：
0/94.38341094.7932'
'0'>=-=-=mm N f py p p σσ 为拉应力
在受压区有：
N
A f A h b f s y p p f f c 3.103775115730023.12794.3832501003601.230.1'
''
'''1=⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⨯⨯=+-σα 在受拉区有：p py s y A f A f +
=300×157+1040×827.02=907242N <N 3.1037751
∴属于第一类截面
③计算承载力
由0=∑X ，得： '
''''1s y s y p p p py f c A f A f A A f x b f -++=σα
x =
'1'
'''f
c s y p p s y p py b f A f A A f A f ασ-++
=109.30mm>2's a =30=60mm 计算相对受压区高度：
394.0100.20033.097.75910400033.0002.018
.0002
.015
1
=⨯⨯-+
+=
-+
+
=
cu s po py cu
b E f εσεβξ
mm A A a A a A a p
s p
p s s 9.6002
.8271574
.5502.82790157=+⨯+⨯=
++=
=0h 800-60.9=739.1mm
=0h b ξ0.394⨯739.1=291.21mm x mm 30.109=>
即：0'2h x a b ξ<<
)()()2
('0'
''0''0'1p p p s S y f c u a h A a h A f x
h x b f M ---+-=σα
()m
KN M m KN ⋅=>⋅=-⨯⨯--⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯23.45003.621)301.739(23.12794.383)301.739(1573002/30.1091.73930.1093601.230.1
∴正截面承载力满足要求。

四、斜截面承载力验算，并确定梁的箍筋
（1）确定梁的箍筋 a) 截面尺寸复核 截面腹板净高为：
()()mm h w 4805050100120800=+-+-=
4=b h w
∴KN
V kN bh f c
c 46.1872.5121
.7391201.230.125.025.00=>=⨯⨯⨯⨯=β
∴截面尺寸满足条件要求。

b)计算箍筋数量及间距 对均布荷载有：
=07.0bh f t 0.7⨯1.89⨯120⨯739.1=117.34KN V KN 46.187=<
又=03.0A f c 0.3⨯23.1⨯143822=996.69k N >V=187.46kN
KN V kN N bh f p t 46.18782.15305.07.000=<=+
∴需按计算配箍筋。

=
--≥
005.07.0h f N bh f V S A yv p
t sv
152.01
.7393001153820
187460=⨯-
选用双肢8φ，152
.0101
152.0=≤
sv A S =664.47mm 根据构造要求=max S 250mm ，取S=250mm 。

∴选用双肢mm 250@8φ箍筋。

（2）验算斜截面承载力
00005.07.0p sv
yv
t u N h S
A f bh f V ++= =
KN KN 46.18739.24372952005.01.739250
101
300117340>=⨯+⨯⨯
+ ∴斜截面抗剪承载力足够。

五、使用阶段正截面抗裂验算
1.混凝土下边缘的预压应力：
2
6
max 0
00
/33.124341072.1038318286375214382226.673955mm
N y I e N A N II
p pII pII pcII =⨯⨯+=
+=
σ 2.抗裂验算：
26
6
00k /62.144341072.103831069.349mm N y I M ck
=⨯⨯⨯==σ 2
6
600
q /42.1143410
72.103831020.273mm N y I M cq =⨯⨯⨯==
σ 22/64.2/29.233.1262.14mm N f mm N tk pc ck =<=-=-∏σσ
22/0/91.033.1242.11mm N mm N pc cq <-=-=-∏σσ
所以构件一般不开裂要求，即正截面抗裂度满足要求。

六、使用阶段斜截面抗裂度验算
沿构件长度方向，均布荷载作用下简支梁支座边缘处剪力为最大，并且沿截面高度其主应力在1-1，2-2，3-3处较大（如图-2），因而，必须逐次地对以上3处做主应力验算。

（1）计算剪应力
3
111487577633691033675624112050249600031636000mm S =⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=-3
2217675136336910336756266120133249600031636000mm S =⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=-3
3313477556344
91040418903741890344113428912050297200037424000mm S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=-由材料力学中剪应力计算公式110k V S
I b
τ-=
得： 26
11/738.1120
1072.1038314875776
145600mm N =⨯⨯⨯=
-τ 2
622/065.2120
1072.1038317675136145600mm N =⨯⨯⨯=-τ
2
6
33/575.1120
1072.1038313477556145600mm N =⨯⨯⨯=
-τ （2）计算正应力
在支座截面处，荷载引起的弯矩为零，所以其正应力c σ也应为零，而由预应力引起的正应力pc σ∏按下式计算：0
p p po pc N N e y A I σ∏∏∏
∏=
±
则：26
11pc /882.021610
72.10383182863752
14382226.673955mm N =⨯⨯-=
-∏ σ 26
22pc /686.401072.10383182863752
14382226.673955mm N =⨯⨯-=
-∏ σ 2
6
33pc /335.926410
72.1038318286375214382226.673955mm N =⨯⨯+=
-∏ σ （3）计算主拉应力及主压应力
2tp pc cp σσσ∏⎫=±⎬⎭
截面1-1：222
/352.1738.1)2882.0(2882.0mm N tp =+-+-
=σ 222
/234.2738.1)2
882.0(2882.0mm N cp -=+---
=σ
截面2-2：222
/780.0065.2)2686.4(2686.4mm N tp =+-+-
=σ 222
/466.5065.2)2686.4(2686.4mm N cp -=+---
=σ 截面3-3：222
/259.0575.1)2
335.9(2335.9mm N tp =+-+-
=σ 222
/594.9575.1)2
335.9(2335.9mm N cp -=+---
=σ （4）验算抗裂度：
22max ,/508.264.295.095.0/352.1mm N f mm N tk tp =⨯=<=σ
22max ,/44.194.326.06.0/594.9mm N f mm N ck cp =⨯=<=σ
∴ 斜截面抗裂度满足要求。

七、使用阶段挠度验算（变形验算）
由前面抗裂验算结果ck pc tk f σσ∏-<表明，梁在使用阶段一般不出现裂缝，其短期刚度：
41464010045.31072.103831045.385.085.0mm I E B c s ⨯=⨯⨯⨯⨯==
受弯构件刚度：
214146
66
10709.110045.310
69.3491020.2731069.349mm N B M M M B s k q k ⋅⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯=+= 由荷载产生的挠度：
mm B l M f k l 63.1810709.11035.91069.34948514
6262
01=⨯⨯⨯⨯⨯==α
由预应力引起的反拱：
mm I E l e N B
l e N f p p p p l 16.1110
72.103831045.389350182863752282
86
42
c 202
02=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===
∏∏ ∴mm
l f mm f f f l l l 17.31300/9350300/47.716.1163.180lim 21===<=-=-=
∴ 变形满足要求
八、施工阶段强度及抗裂内力验算
①施工预应力时截面上边缘混凝土应力
200
00
1/450.2mm N y I e N A N p p p ct -='
-=
I
I σ
2/28.564.222mm N f tk =⨯=
∴ tk ct
f 2<σ
满足要求
②截面下边缘混凝土应力 200
00
1/18.15mm N y I e N A N p p p cl =+=
I
I σ
2/92.254.328.08.0mm N f ck =⨯=
∴ck cl
f 8.0<σ
满足要求
∴施工阶段强度及抗裂均满足要求。

资料仅供参考!!!。