头脑风暴算法优化的乳腺MR图像软子空间聚类算法

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.11471004(国家自然科学基金);the Key Research and Develop-ment Program of Shaanxi Province under Grant No.2018SF-251(陕西省重点研发计划资助课题).Received 2019-09-02,Accepted 2019-11-05.
CNKI 网络出版:2019-11-18,/KCMS/detail/11.5602.TP.20191118.0947.002.html
计算机科学与探索
Journal of Frontiers of Computer Science and Technology
头脑风暴算法优化的乳腺MR 图像软子空间聚类算法*
范
虹+，史肖敏，姚若侠
陕西师范大学计算机科学学院，西安710119+通信作者E-mail:****************.cn 摘
要：传统的软子空间聚类算法在对信息量大、强度不均匀、边界模糊的乳腺MR 图像进行分割时，易受初始
聚类中心和噪声数据的影响，导致算法陷入局部最优，造成误分类。

针对该问题，提出一种头脑风暴算法优化的乳腺MR 图像软子空间聚类算法。

算法首先引入一个放松界约束与广义噪声聚类结合的目标函数，并用隶属度计算方法来寻找簇类所在子空间；然后在子空间聚类时用给定指数来适配聚类任务；最后在聚类过程中运用头脑风暴算法进行优化，有效地平衡局部搜索与全局搜索，从而弥补现有算法易陷入局部最优的不足。

对比算法与该算法在Berkeley 图像数据集上的实验结果表明该算法具有较高的精度，临床乳腺MR 图像聚类的实验结果验证了所提算法的鲁棒性。

关键词：乳腺MR 图像；头脑风暴算法；软子空间聚类算法；图像聚类文献标志码：A
中图分类号：TP391.4
范虹,史肖敏,姚若侠.头脑风暴算法优化的乳腺MR 图像软子空间聚类算法[J].计算机科学与探索,2020,14(8):1348-1357.
FAN H,SHI X M,YAO R X.Soft subspace clustering algorithm optimized by brain storm algorithm for breast MR image[J].Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2020,14(8):1348-1357.
Soft Subspace Clustering Algorithm Optimized by Brain Storm Algorithm for Breast MR Image
FAN Hong +,SHI Xiaomin,YAO Ruoxia
School of Computer Science,Shaanxi Normal University,Xi an 710119,China
Abstract:The traditional soft subspace clustering algorithm is very susceptible to the initial clustering center and noise data when segmenting breast MR images with large amount of information,uneven intensity and boundary blur,which results in that algorithm falls into local optimum and causes serious misclassification.Aiming at solving this problem,a soft subspace clustering algorithm improved by brain storm algorithm for breast MR images cluster-ing is proposed in this paper.Firstly,a new objective function combines relaxation criterion and generalized noise clustering,and the membership degree calculation method is used to find the subspace where the cluster class is located.Then,the clustering task in the subspace is adapted with a given index.Finally,the brain storm algorithm is used in the clustering process to balance local search and global search and overcomes the disadvantages that the
1673-9418/2020/14(8)-1348-10
doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1909084
范虹等：头脑风暴算法优化的乳腺MR图像软子空间聚类算法
1引言
乳腺癌居女性恶性肿瘤发病率之首，已经成为全球名列第一的“杀手”[1-2]，其防治工作成为肿瘤防治工作的主要挑战。

据统计，乳腺癌的发病率占女性新发恶性肿瘤的29%，致死率为14%，是女性最易罹患的癌症[3]。

虽然乳腺癌的病因尚不明确，但是其愈后恢复性很好。

只要早发现、早诊断、早治疗就能降低乳腺癌死亡率，筛查和普查一直被公认为是早期检查出乳腺癌最有效的方法，因此医学影像学检查起着重要的作用[4]。

现有影像检查中磁共振成像（magnetic resonance imaging，MRI）因具有良好的软组织分辨力、较高的空间分辨率以及任意三维成像的优势，能更准确地评估肿瘤的大小、浸润范围、周围子灶情况，对乳腺检查具有独到的优势。

近年来，国内外已逐渐将MRI检查作为乳腺癌高危人群的筛查方法[5]。

然而，在成像过程中，由于外部不确定性因素的影响，图像中总是存在随机的莱斯噪声，并且存在一系列问题，例如灰度不均匀和边界模糊，给分割带来一定难度。

模糊C均值聚类算法（fuzzy C-means，FCM）允许图像像素按其成员值的比例分为一类或多类，为MR 图像分割提供了较高的分割精度，引起了诸多学者的兴趣[6-7]。

然而，由于图像某些特征类簇仅与部分存在于子空间中的属性相关，需在子空间中寻找最优。

于是Agrawal等人提出了子空间聚类（subspace clus-tering，SC）的概念[8]，随后又逐渐演变为硬子空间聚类（hard subspace clustering，HSC）和软子空间聚类（soft subspace clustering，SSC）[9]。

其中SSC算法可通过为每个维度分配权重来测量各个维度对聚类的影响以优化最终结果，典型的算法有熵加权K-均值聚类算法（entropy weighting K-means，EWKM）、局部自适应聚类算法（local adaptive clustering，LAC）、模糊子空间聚类算法（fuzzy subspace clustering，FSC）[10]、基因共表达网络的模糊子空间聚类算法（fuzzy soft subspace clustering method for gene co-expression net-work，FSSCGCN）[11]、不平衡数据的软子空间聚类算法（bi-weighting for imbalanced data clustering，BWIC）[12]、视图-协同模糊软子空间聚类（multi view collaboration based fuzzy soft subspace clustering，MVC-FSSC）[13]和加权闵可夫斯基K-means算法（Minkowski metric weighted K-means，MWK-Means）[14]等。

这些算法可扩展性高，应用也相对灵活，但对乳腺MR图像聚类时易受初始聚类中心的影响而陷入局部最优。

2017年范虹等人提出用烟花算法优化软子空间聚类算法（soft subspace clustering for MR image clustering based on fireworks optimization algorithm，FWASSC）[15]，很好地平衡了局部与全局搜索性能，且对乳腺MR图像具有较好的聚类效果，但FWASSC算法对MR图像分割中仍存在边界不精确现象。

与其他群体智能优化算法如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、人工蜂群算法等进行对比，头脑风暴优化算法的优势在于能够模拟人类创造性地解决问题的思维过程且执行效率较高[16-17]。

鉴于此，本文借助头脑风暴优化算法[15]可以较好地平衡局部与全局搜索性能，且执行效率较高的优势，提出了一种基于头脑风暴算法优化的乳腺MR图像软子空间聚类算法，弥补现有软子空间聚类算法易陷入局部最优的不足，有效提高算法的聚类精度。

2相关算法简介
2.1软子空间聚类算法
子空间聚类算法中控制权重分布的一个经典策略就是采用最大熵策略，代表性的熵加权独立软子空间聚类算法包括EWKM和LAC。

其中EWKM的目标函数如式（1）所示：
ì
í
î
ï
ï
ï
ï
J EWKM=∑i=1C∑j=1N u ij∑k=1D w ik(x ik-z ik)2+λ∑i=1C∑k=1D w ik∙ln w ik s.t.u ij∈{0,1},∑i=1C u ij=1,0≤w ij≤1,∑k=1D w ik=1（1）目标函数中的第二项是负香农熵，λ用于平衡其对聚类过程的影响，如何设置此参数是一个重要的研究课题。

EWKM通过引入熵项，可以有效地控制
existing algorithms are easy to fall into local optimum.The experimental results of the comparison algorithms and the proposed algorithm in Berkeley image dataset show that the proposed algorithm has higher precision,and the clustering results of clinical breast MR images verify the strong robustness of the proposed algorithm.
Key words:breast MR image;brain storm algorithm;soft subspace clustering algorithm;image clustering
1349
Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 计算机科学与探索2020,14(8)
所获得的权重，已经成为一种基准的独立软子空间聚类算法（independent soft subspace clustering ，ISSC ）。

LAC 与EWKM 算法基本上具有相似的优缺点，为了解决算法对聚类任务的响应程度，Amorim 和Mirkin 试图通过采用Minkowski 度量来改进EWKM 与LAC 算法，以取代传统的欧几里德距离；FSC 算法能够有效减少冗余和非相关属性对聚类过程的扰乱，有效避免在对高维数据或数据集中的多个特征进行聚类时数据冗余而增加计算量的缺陷[18]；FWASSC 算法在寻优过程中，将搜索过程中复杂的等式约束放松为界约束且引入噪声聚类以提高算法对噪声数据的鲁棒性。

分别参见文献[19-20]，这些改进算法为软子空间聚类做出了较大的贡献。

2.2噪声聚类算法研究
多数图像聚类算法旨在根据图像的特征信息对
图像进行分类，却往往忽略了聚类算法对于噪声数据的敏感问题。

为处理噪声数据在聚类过程中的数据敏感问题，Davé提出了广义噪声聚类算法（generalized
noise clustering ，GNC ）[21]，其目标函数如式（2）所示。

J GNC (U ,V )=∑i =1C
∑k =1N
u m ik D 2ik +∑i =1C
∑k =1N
δ2ik æèçöø
÷1-∑i =1C
u ik m
（2）其中，
D ik =||x k -v i ||代表数据点x k 到中心矢量v i 的欧式距离；δ2
ik
=ηi ∙u *ik
，且ηi 参数来自可能性C -means
聚类（possibilistic C -means ，PCM ），u *
ik
与FCM 计算隶属度相同，分别为：
ηi =β∙∑k =1N
u
m ik
,FCM ∙D 2
ik ∑k =1
N
u
m ik
,FCM
,β>0（3）
u *ik =éëêêùû
úú∑j =1C æèçöø÷D ik D jk 2
m -1-1
,∀i ,k （4）
GNC 的中心矢量v i 为：
v i =
∑k =1
N
u m
ik ∙x
k
∑k =1
N u m
ik ,∀i （5）
噪声聚类算法可以有效解决实际应用中存在的噪声问题，它可以管理不完整的数据以及混淆的数据，给研究带来新的突破。

2.3头脑风暴算法研究
头脑风暴优化（brain storm optimization ，BSO ）算
法由史玉回教授于2011年提出，其核心是采用聚类思想搜索局部最优，通过局部最优的比较得到全局最优；同时又采用变异思想增加多样性，避免算法陷入局部最优。

针对特定问题，每一个个体都具有多种方向的交互可能，其中新个体的产生一般有两种方式：
方式1基于单个聚类中心的个体产生机制，具体实现如式（6）所示：
x i new =x i old +ξ∙N (μ,σ)
（6）
其中，x i new 和x i old 分别为x new 和x old 的第i 维；N (μ,σ)为正态分布；ξ为随机值对于新个体的权重系数。

方式2基于两个已经存在个体x old1和x old2的产
生机制，如式（7）所示。

ìíîx i new =x i old +ξ∙N (μ,σ)
x i old =ω1x i old1+ω2x i old2
（7）
其中，
ω1和ω2为两个已存在个体的权重系数。

由于随机产生系数的原因，BSO 算法可能在迭
代求解局部最优解的过程中出现早熟收敛的现象，史玉回等人又提出了一种基于讨论机制的头脑风暴优化算法（discussion mechanism based brain storm
optimization algorithm ，DMBSO ）[22]
，算法利用一种新
的组内讨论与组间讨论机制，分别控制全局与局部搜索能力。

在开始搜索最优解时通过线性减少组间讨论时间和增加组内讨论的时间来增强全局搜索效果，然后通过精细搜索得到加强，防止过早收敛。

3基于头脑风暴算法优化的软子空间聚类算法
为降低软子空间聚类在聚类过程中的时间复杂度且减少噪声数据对算法的影响，改善已有算法的聚类效果，本文提出一种基于头脑风暴算法优化的软子空间聚类算法（soft subspace clustering based on brain storm optimization algorithm ，BSOSSC ）。

3.1目标函数与隶属度方法设计
受MWK-Means 、FWASSC 和GNC 算法的启发，
在进行软子空间聚类时，引入指数系数来适配给定的聚类任务，在算法进行寻优时，将目标函数与搜索策略中的等式约束放松为界约束，从而降低了算法的时间复杂度且不影响最终的聚类效果。

另外，为了降低噪声数据对算法性能的影响，特引入了广义噪声聚类算法。

根据上述算法思想，本文设计如式
1350
范虹等：头脑风暴算法优化的乳腺MR 图像软子空间聚类算法
（8）所示的目标函数，以提高算法的聚类效果及对噪声数据的鲁棒性。

ìíî
ïïïïïïïïïïïïïïïïJ BSOSSC =∑i =1C ∑k =1D ∑j =1N u m ij æèççöø÷÷w ik ∑l D w il β||x jk -z ik p +∑i =1C ∑j =1N δ2ij æèçöø÷1-∑i =1C u ij m
s.t.u ij ∈{}0,1,∑i =1
C
u ij <1and 0≤w ik ≤1,
∑l D w il <1（8）目标函数融合了SSC 与GNC 算法以确保在软子
空间聚类的同时提高算法的抗噪性能，且保留了
FWASSC 算法中将∑l D
w il 与∑l C
u il 的等式约束放松为界约束的优点。

其隶属计算方法如式（9）所示。

u ij =α(t )u fuzzy _ij +(1-α(t )u crisp _ij )
（9）
其中，
t 指代的当前迭代次数，α(t )为当前迭代次数与最大迭代次数MaxIter 的关系，如式（10）所示，η为其控制参数。

α(t )=æèöø
t MaxIter η
（10）
式中，
u fuzzy 和u crisp 分别表示硬隶属度与模糊隶属度，如式（11）和式（12）所示。

u crisp _ij =ìí
î1,i =arg min d qj ,q ∈(1,C )
0,其他
（11）
u fuzzy _ij =
(d ij )
-1m -1
∑i =1
C
(d ij
)
-1m -1
+(δ2ij
)
-1m -1（12）
模糊隶属度中变量d ij 的计算如式（13）所示，其中，聚类中心点z ik 如式（14）所示。

d ij =∑k =1D
æèççö
ø
÷÷w ik ∑k ′D w ik ′
β
(x jk -z ik )2（13）
z ik =
∑k =1
N
u m ik ∙x
k
∑k =1
N
u
m
ik
,∀i （14）
当聚类个数大于等于2时，算法会根据指数p 来适配当前聚类任务，弥补FWASSC 算法在聚类任务数较多时而出现聚类效果不精确的缺陷。

3.2BSOSSC 算法及其实现流程
DMBSO 在初始化种群中对N 个个体进行评估，
将初始化的N 个个体进行种群聚类，并根据评价结果选出每组中最优个体作为聚类中心。

产生一个随机数r 1来替换随机的聚类中心，实施组内与组间讨论，并判断是否达到最大讨论次数，比较新个体与对应个体，将较优的个体予以保留，并调整组内与组间讨论次数的上限值，达到最大迭代次数即结束。

由于DMBSO 算法能够兼顾局部搜索与全局搜索，因而在软子空间聚类中引入DMBSO 进行求解，实现流程图如图1所示。

4算法性能分析
本章利用自然图像数据进行实验，验证本文所
提算法的聚类效果，并与LAC 、EWKM 、FSC 、FWASSC 算法进行对比。

实验平台及环境为：操作系统，Windows7旗舰版64位；处理器，Intel ®Core TM i5-2400********GHz ；编译环境，Matlab2016a 。

4.1算法抗噪性能分析
由于在MR 成像过程中，受环境和设备影响，使
信号的实部和虚部同时被非相关零均值相同方差的高斯噪声干扰，因而MR 图像的噪声常常表现为Rician 分布[23]，因此本节的实验采用人工合成图像添加Rician 噪声，如图2（a ）所示。

图2中，第一列为无噪声图像，第二列的第一行和第二行分别为信噪比为10和20的图像，其余各列（c ）~（h ）分别为对比算法和本文算法的聚类结果。

从实验中可以看出LAC 、EWKM 、FSC 、MWK-Means 算法对图像的噪声极其敏感，导致结果中背景与目标混淆严重；FWASSC 算法虽基本将背景与目标区分开来，但是仍然存在被噪声污染的现象，而本文算法的结果中存在的噪点较少，表现出较好的抗噪性能。

为衡量本文算法的抗噪性能，通过峰值信噪比就对比算法及本文算法的抗噪性能进行分析。

峰值
信噪比（peak signal to noise ratio ，PSNR ）[2]
的计算如
式（15）所示。

PSNR =10×lg MAX 2
I MSE
（15）
其中，MAX 表示像素点的最大值，MSE 代表原图像与分割后的图像的均方误差，
I 为原图像的像素值。

不同噪声等级下抗噪性能对比如表1所示。

PSNR 值越大，算法的抗噪性能越好。

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Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 计算机科学与探索2020,14(8)
表1实验结果直观地表达了算法的抗噪性能。

视觉效果及客观评价指标PSNR 均表现出本文算法的可行性及有效性。

4.2算法分割精度分析
本节选取Berkeley 计算机视觉组的标准图库，用
图3第一列的图像来研究分析图像的分割精度，
聚类
Fig.1Algorithm implementation flow diagram of this paper
图1
本文算法实现流程图
Fig.2Clustering results of noisy image 图2
含噪声图像的聚类结果
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范虹等：头脑风暴算法优化的乳腺MR 图像软子空间聚类算法
个数分别为3、2、2，实验结果如图3所示。

为了对图像分割效果进行评估，主要从视觉评价及Dice 系数[15]来定量评价算法的分割性能。

Dice 系数的计算方式如式（16）所示。

DC =
2N (A ⋂B )N (A )+N (B )
（16）
其中，A 代表标准结果，B 代表分割结果，N 为图像像素的大小，
DC 值表示分割结果与标准结果的接近程度。

通常，DC 越接近1，表示分割结果越准确，反
之亦然。

从图3的实验结果可以看出，对比算法LAC 、EWKM 、FSC 和MWK-Means 分割效果不理想，尤其对鹅影子的错分现象比较严重，混淆了影子和湖面；FWASSC 和本文算法的分割相对于前四者较为精确，不但将目标的轮廓清晰地分割出来，并且保持了边缘的完整性，细节划分也比较理想。

但因烟花爆炸产生火花时的随机性，从而影响到算法的稳定性，使FWASSC 算法的分割精度又比本文算法逊色一些。

图3中第二行和第三行结果中目标与背景的区分效果比较直观。

通过表2中Dice 系数评价指标可以表明这一点。

4.3算法时间复杂度分析
BSOSSC 算法的时间复杂度与数据个数、维度、
聚类个数以及种群规模均相关，隶属度计算的时间复杂度与数据个数N 、聚类数C 及样本维度D 相关，其时间复杂度为O (NCD )；维度权值计算与聚类个数及样本维度相关，其时间复杂度为O (CD )；广义噪声聚类的时间复杂度与聚类个数N 及样本维度C 相关，其时间复杂度为O (NC )；在聚类过程中引入BSO 算法，其时间复杂度与数据个数N 及迭代次数T 相关，其时间复杂度为O (TN )，三者在计算机执行过程中属同级关系，且T ≫CN ，因此BSOSSC
的时间复杂度为
Fig.3Clustering results of Berkeley natural image 图3
Berkeley 自然图像聚类结果
Table 1PSNR results at different noise levels
表1
不同噪声水平下PSNR
值
Table 2Analysis of segmentation accuracy of algorithm
表2
算法分割精度分析
1353
Journal of Frontiers of Computer Science and Technology计算机科学与探索2020,14(8)
O(TN)。

表3为对比算法与本文算法分割图2和图3的运行时间对比表。

由表3可见，优化算法的引入使得FWASSC和本文算法的运行时间要比LAC、EWKM、FSC和MWK-Means算法高。

又由于头脑风暴优化算法的时间复杂度低于烟花算法的时间复杂度，因此本文算法的整体运行时间得到改善。

如果对于实时性要求不是非常高的图像分割，用相对较长的时间来换取较高的图像分割精度也具有一定的研究意义。

5临床乳腺MR图像聚类分析
上章的实验已验证本文算法在自然图像上具有较好的聚类效果，本章将其应用于临床数据，以验证算法对临床MR图像的分割效果。

本章选取如图4和图5第一行所示的DICOM格式临床乳腺MR图像，其中图4为注入造影增强后的三维T1加权梯度回波序列图。

图5中第一列为未注入增强剂的图像，第2到5列分别为注入增强剂并按时间序列采集的图像。

图4和图5中，红圈代表肿瘤所在区域。

数据采用德国西门子1.5T标准磁共振扫描仪采集的三维T1加权梯度回波序列图。

扫描过程中的各参数如下：TR=5.6ms，TE=2.76ms，层间距0.3mm，层厚1.2mm，FOV=34cm×34cm，图像大小为512×512，每次扫描时间为60s。

分割结果如图4（b）~图4（g）和图5第二行至第七行所示。

为了更清晰地显示肿瘤分割结果，图4（b）~图4（g）中仅保存了与肿瘤相关的一侧乳房的分割情况。

从图中可以看出FSC算法和MWK-Means算法基本没有分出乳房的边缘和区域，仅分出部分肿瘤（图4中的圆点）；LAC算法虽然把肿瘤分割出来了，但出现过分割，将很多正常组织和肿瘤划为一类，分割效果也不理想；EWKM对于肿瘤区域的分割效果相对较好，仍有大部分正常组织区域错分现象；FWASSC 算法虽已基本分割出肿瘤，但仍存在过分以及边缘错分现象；本文算法的聚类分割结果不仅划分出了肿瘤区域，而且周围其他区域也基本划分正确，轮廓也较为清晰，显然本文算法性能要好一些。

从图5中可以看出：由于没有增强的图像（第一列）肿瘤部位比较暗，不容易分割，除本文算法分出少量肿瘤区域外，其他五种算法都将肿瘤区域与正常组织划分为一类，分割效果很不理想。

后面四列随着增强剂的注入，肿瘤区域亮度加大，分割的难度相对有所下降，但LAC算法也依然仅分割出了少量肿瘤区域，EWKM算法和MWK-Means算法更是严重混淆了肿瘤区域与其他组织区域。

相比之下，FSC 和FWASSC算法虽然没有完整地分割出肿瘤区域，但已分出区域的少量轮廓，分割结果有了很大的提升。

再看本文算法的分割结果，尽管还有少量肿瘤
Table3Running time of various algorithms to divide Fig.2and Fig.3
表3各种算法分割图2与图3
的运行时间
Fig.4Clustering results of clinical breast MR image
图4临床乳腺MR图像聚类结果
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区域漏分，但有了较为清晰的轮廓，能够有效地分辨出肿瘤区域和周围其他组织，并且分割出了更多的细节，表明本文算法对临床MR 图像的分割也有效。

由此可见，本文算法在临床乳腺MR 的诊断上有一定的应用价值。

6结论
本文提出了一种基于头脑风暴算法优化的乳腺
MR 图像软子空间聚类算法。

为提高噪声聚类性能，算法首先将广义噪声聚类函数引入到目标函数中，并用隶属度计算方法来寻找簇类所在子空间；
然后
Fig.5Segmentation results of breast MR image under different sequences
图5
不同序列下乳腺MR 图像分割结果
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在子空间聚类时用给定指数来适配聚类任务；最后在聚类过程中运用头脑风暴算法进行优化，有效权衡局部与全局的搜索能力，在一定程度上，聚类性能得到改善。

实验结果表明，本文算法不仅在自然图像聚类方面具有较高的精度与鲁棒性，而且在临床医学MR图像聚类方面，可以更有效地实现MR图像的分割与去噪。

References:
[1]Siegel R L,Miller K D,Fedewa S A,et al.Colorectal cancer
statistics[J].CA:A Cancer Journal for Clinicians,2017,67
(3):177-193.
[2]Du J S,Gao Y,Bi X,et al.S-band microwave-induced thermo-
acoustic tomography system[J].Acta Physica Sinica,2015, 64(3):437-442.
[3]Chen B Y,Zhang Y R,Wang L,et al.Microwave tomography
for early breast cancer detection based on the alternating direction implicit finite-difference time-domain method[J].
Acta Physica Sinica,2016,65(14):101-109.
[4]McKenzie F,Zietsman A,Galukande M,et al.Drivers of adv-
anced stage at breast cancer diagnosis in the multicountry African breast cancer-disparities in outcomes(ABC-DO)study [J].International Journal of Cancer,2018,142(8):1568-1579.
[5]Bezdek J C,Ehrlich R,Full W.FCM:the fuzzy C-means clus-
tering algorithm[J].Computers&Geosciences,1984,10(2/3): 191-203.
[6]Zhang D Q,Chen S C.A novel kernelized fuzzy C-means
algorithm with application in medical image segmentation [J].Artificial Intelligence in Medicine,2004,32(1):37-50.
[7]Krinidis S,Chatzis V.A robust fuzzy local information C-
means clustering algorithm[J].IEEE Transactions on Image Processing,2010,19(5):1328-1337.
[8]Agrawal R,Gehrke J,Gunopulos D,et al.Automatic subs-
pace clustering of high dimensional data for data mining app-lications[J].ACM SIGMOD Record,1998,27(2):94-105.
[9]Parsons L,Haque E,Liu H.Subspace clustering for high di-
mensional data:a review[J].ACM SIGKDD Explorations Newsletter,2004,6(1):90-105.
[10]Deng Z H,Choi K S,Jiang Y Z,et al.A survey on soft
subspace clustering[J].Information Sciences,2016,348(1): 84-106.
[11]Wang Q,Chen G L.Fuzzy soft subspace clustering method
for gene co-expression network analysis[J].International
Journal of Machine Learning and Cybernetics,2017,8(4): 1157-1165.
[12]Cheng L F,Yang T P,Chen L F.Soft subspace clustering al-
gorithm for imbalanced data[J].Journal of Computer Appli-cations,2017,37(10):2952-2957.
[13]Zhao K F,Jiang Y Z,Xia K J,et al.View-collaborative
fuzzy soft subspace clustering for automatic medical image segmentation[J].Multimedia Tools and Applications,2020, 79(13/14):9523-9542.
[14]De Amorim R C,Mirkin B G.Minkowski metric,feature
weighting and anomalous cluster initializing in K-means clustering[J].Pattern Recognition,2012,45(3):1061-1075.
[15]Fan H,Hou C C,Zhu Y C,et al.Soft subspace algorithm
for MR image clustering based on fireworks optimization algorithm[J].Journal of Software,2017,28(11):3080-3093.
[16]Li S,Yuan Z G,Wang C,et al.Optimization of support vec-
tor machine parameters based on group intelligence algori-thm[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2018,13
(1):70-84.
[17]Shi Y H.Brain storm optimization algorithm[C]//LNCS
6728:Proceedings of the2nd International Conference Adv-ances in Swarm Intelligence,Chongqing,Jun12-15,2011.
Berlin,Heidelberg:Springer,2011:303-309.
[18]Zhang H W,He J J,Han J H,et al.Fuzzy soft subspace clus-
tering method based on intelligent optimization algorithm [J].Computer Science,2016,43(3):256-261.
[19]Lu Y P,Wang S R,Li S Z,et al.Particle swarm optimizer
for variable weighting in clustering high-dimensional data [J].Machine Learning,2011,82(1):43-70.
[20]Bi Z S,Wang J H,Yin J.Subspace clustering based on diff-
erential evolution[J].Chinese Journal of Computers,2012, 35(10):2116-2128.
[21]Dave R N,Sen S.Generalized noise clustering as a robust
fuzzy c-M-estimators model[C]//Proceedings of the1998Con-ference of the North American Fuzzy Information Processing Society-NAFIPS,Pensacola,Aug20-21,1998.Piscataway: IEEE,1998:256-260.
[22]Yang Y T,Shi Y H,Xia S R.Discussion mechanism based
brain storm optimization algorithm[J].Journal of Zhejiang University(Engineering Science),2013,47(10):1705-1711.
[23]Fan H,Zhu Y C,Wang F M,et al.Segmentation of breast
MR images based on multiresolution level set algorithm[J].
Acta Physica Sinica,2014,63(11):118701.
1356
范虹等：头脑风暴算法优化的乳腺MR 图像软子空间聚类算法
附中文参考文献：
[2]杜劲松,高扬,毕欣,等.S 波段微波热致超声成像系统研
究[J].物理学报,2015,64(3):437-442.
[3]陈碧云,张业荣,王磊,等.基于交替隐式有限差分法的快
速早期乳腺癌时域微波断层成像[J].物理学报,2016,65(14):101-109.
[12]程铃钫,杨天鹏,陈黎飞.不平衡数据的软子空间聚类算
法[J].计算机应用,2017,37(10):2952-2957.
[15]范虹,侯存存,朱艳春,等.烟花算法优化的软子空间MR
图像聚类算法[J].软件学报,2017,28(11):3080-3093.
[16]李素,袁志高,王聪,等.群智能算法优化支持向量机参数
综述[J].智能系统学报,2018,13(1):70-84.
[18]张恒巍,何嘉婧,韩继红,等.基于智能优化算法的模糊软
子空间聚类方法[J].计算机科学,2016,43(3):256-261.[20]毕志升,王甲海,印鉴.基于差分演化算法的软子空间聚
类[J].计算机学报,2012,35(10):2116-2128.
[22]杨玉婷,史玉回,夏顺仁.基于讨论机制的头脑风暴优化
算法[J].浙江大学学报(工学版),2013,47(10):1705-1711.[23]范虹,朱艳春,王芳梅,等.多分辨率水平集算法的乳腺
MR 图像分割[J].物理学报,2014,63(11):118701.
FAN Hong was born in 1969.She received the Ph.D.degree from Xi an Jiaotong University in 2008.Now she is a professor at Shaanxi Normal University.Her research interests include pattern recognition,intelligent information pro-cessing,etc.
范虹（1969—），女，宁夏平罗人，2008年于西安交通大学获得博士学位，现为陕西师范大学计算机科学学院教授，主要研究领域为模式识别，智能信息处理等。

SHI Xiaomin was born in 1994.She is an M.S.candidate at School of Computer Science,Shaanxi Normal University.Her research interest is medical image processing.
史肖敏（1994—），女，陕西渭南人，陕西师范大学计算机科学学院硕士研究生，主要研究领域为医学图像处理。

YAO Ruoxia was born in 1968.She received the Ph.D.degree from Northwestern University in 1990.Now she is a professor at Shaanxi Normal University.Her research interests include computational complexity and symbolic com-puting,pattern recognition,etc.
姚若侠（1968—），女，陕西西安人，1990年于西北大学获得博士学位,现为陕西师范大学计算机科学学院教授，主要研究领域为计算复杂性与符号计算，
模式识别等。

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