高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案解析

数学《不等式》复习资料
一、选择题
1．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2x y y +=的最大值为（ ）
A ．512
B ．8
C ．256
D ．64
【答案】C 【解析】 【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2
x y
y +=的最大值为256.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
2．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80
C ．90
D ．120
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1
f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．()223
f x x =+D ．()4
2x
x
f x e e =+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+
，()122f -=-<，A 错误；
B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. (
)2f x =
=
，故(
)3
f x ≥
，C 错误； D. (
)4222x
x f x e e =+-≥=，当4x
x
e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．已知,x y 满足约束条件230
23400x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1
（其中0,0m n >>），则11
2m n
+的最小值为（ ） A ．3 B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式
求得
11
2m n +的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
(
)11111151519322323232322n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，
由211x y x y +=⎧⎨+=⎩
得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6．已知实数x ，y 满足不等式||2x y +≥，则2
2x y +最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．22
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据2
2x y +表示圆心在原点的圆求解其最小
圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得
当0y ≥时，2x y +≥ （2）当0y <时，2x y -≥
如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由2
2x
y +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，
又由22
22211d -==+，所以24d =，
即2
2x
y +最小值为4.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.
7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->
【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，
1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；
取11,49a b ==71
1812
a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数
223
2
3()13
a c ac f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '
，当函数[]()ln ()g x f x '=的定
义域为R 时，B Ð的取值范围为( )
A ．,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
B ．,6ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出函数的导数，依题意即222
()3203
a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以
()
222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；
【详解】
解：因为223
2
()13
a c f x x bx x +-=+++，
所以222
()323
a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R ，则有
()
222(2)40b a c ∆=-+-<
，即222a c b +->，结合余弦定理，
222cos 22
a c
b B a
c +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】
本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.
9．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由3log (2)1a b +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>，
所以12118211642(42)()(8)(83333
a b a b a b b a b a +=
++=++≥+=，
当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
10．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r
恒
成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．3⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．,3⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】
因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1
cos1202
AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，
由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2
222
()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
即2210k kt t -+->，构造函数2
2
()1f k k tk t =-+-， 由题意，(
)
2
2
410t t ∆--<=，
解得t <或t >
. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则13
12
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53 C ．
74
D ．
95
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2m n +=，化简135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，
Q
131111212
n m n m n ++=++++++ 35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
Q 2
1225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．已知,x y 满足33025010
x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩
，则3
6y z x -=-的最小值为（ ）
A ．
157
B ．
913
C ．
17
D ．
313
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，目标函数3
6
y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示， 目标函数3
6
y z x -=
-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率. 直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22
A -，
由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 33
3
21
1362
z -==--. 故选：D .
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
13．已知函数()2
f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大
值为（ ） A ．12 B ．13
C ．14
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，作出不等式组所表示的平面区域，又
()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．
【详解】
由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：
可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为1
22
b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为1
22
b a z =-+
进行平移，找到截距的最大值．
14．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
15．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：
2154m m ≤-，解得：
114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
16．若变量x ，y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以
22max ()10x y +=，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
17．在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由余弦定理可知2
2
2
2cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的表达
式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
22223sin a b c ab C ++=
两式相加，得到()
2
2
cos 32cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫
+=+=-
⎪⎝
⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛
⎫-=
= ⎪⎝
⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫
-
∈- ⎪⎝
⎭
所以cos 13C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， 因为()0,C π∈，所以2,333C π
ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以03
C π
-
=，即3C π
=
，又a b =，
所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于
中档题.
18．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B ．
32
C ．0
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得
2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距 把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x
y =⎧⎨=-⎩
可得(1,1)A -- 此时3z =-， 故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键，属于中档题．
19．设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【详解】
如图，作出约束条件表示的可行域.
由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；
当直线经过点时，z取得最小值.故，故选：A。

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

20．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A
．
85
B ．8
C ．
165
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
2
2
24
24512
x y x y ----=⨯
+，而
2
2
24
12
x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距
离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】
因为2
2
2424512
x y x y ----=⨯
+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线
240x y --=的距离的5倍，如图所示，
点44
(,)33
A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时22
442433
3512d -⨯-==+， 所以24x y --16
53
d =. 故选：D. 【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.。