2021年高三数学暑假作业调研测试(8月30)

2021年高三数学暑假作业调研测试（8月30）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，
请把答案直接填在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．
1．集合的所有子集个数为_________．
2．已知复数，（是虚数单位），若为纯虚数，则实数＝_________．
3．直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是_________．
4．函数的值域是_________．
5．如图，程序执行后输出的结果为_________．
6．椭圆的一条准线方程为，则________．
7．已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若，m⊥n，则；②若，则；
③若，则；④若，则．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝_________．
9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．
10．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=_________．
11．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_________．
12．在锐角△ABC中，b＝2，B＝，，则△ABC的面积为_________．
13．已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．
14．对于总有≥0 成立，则实数= ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
已知函数．（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）已知，且，求α的值．
16．（本小题满分14分）
已知数列的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．
17．（本小题满分15分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．P
E F
18．（本小题满分15分）
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为
时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足（元）．（Ⅰ）试写
出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y
的最大值与最小值．
19．（本小题满分16分）Array已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，
1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为
自然对数的底，）；
（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．
江苏省泰兴中学2011届高三数学暑假作业检测练习（答案）
一、填空题
1、8
2、
3、a＝－2
4、（0，＋∞）
5、64
6、5
7、①④
8、
9、10、11、12、
13、18 14、4
二、解答题
15．解：（Ⅰ）＝．…………4分
由，得．
∴函数的单调增区间为．…………7分
（Ⅱ）由，得．
∴．…………………………………………10分
∴，或，
即或．
∵，∴．……………………………………………14分
16．解：（Ⅰ）n≥2时，．…………………4分
n＝1时，，适合上式，
∴．…………………5分
（Ⅱ），．…………………8分
即．
∴数列是首项为4、公比为2的等比数列．…………………10分
，∴．……………… 12分
T n ＝＝． ………………… 14分 17．解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC ＝，AC ＝2．
在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝2，AD ＝4． ∴S ABCD ＝．……………… 3分 则V ＝． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，
∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，
∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．
∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，
∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分
∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分 （Ⅲ）证法一：
取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ． ∵EM 平面PAB ，PA 平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB ． ……… 12分
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC 平面PAB ，AB 平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ，
∴平面EMC ∥平面PAB ．
∵EC 平面EMC ，
∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分 证法二：
延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．
∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，
∴C 为ND 的中点． ……12分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC 平面PAB ，PN 平面PAB ， ∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分
18．解：（Ⅰ）1
()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2
y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分
＝ …………………… 8分 （Ⅱ）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，
在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 11分 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，
在t ＝20时，y 取得最小值为600． …………………… 14分 （答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；
第20天，日销售额y 取得最小为600元． …………………… 15分 19．解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得．
∵m ＜3，∴m ＝1． …… 2分
N
F E
D
C
B
A
P
M
F
E
D
C
B
A P
圆C：．
设直线PF1的斜率为k，则PF1：，
即．∵直线PF1与圆C相切，∴．
解得．……………………4分
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．……………………6分2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：．……………………8分
（Ⅱ），设Q（x，y），，
．……………………10分
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．……………………12分
则的取值范围是[0，36]．………14分
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．……………………16分
20．解：（Ⅰ），，．
∴，且．……………………2分
解得a＝2，b＝1．……………………4分（Ⅱ），令，
则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．
在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；
当x∈时，，∴h(x)是减函数．……………………7分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分
即．……………………12分（Ⅲ），．
假设结论成立，则有
2
111
2
222
120
2ln0,
2ln0,
2,
2
20.
x x nx
x x nx
x x x
x n
x
⎧--=
⎪
--=
⎪
⎪
⎨+=
⎪
⎪--=
⎪⎩
①
②
③
④
①－②，得．
∴．
由④得，
∴．即．
即．⑤……………………14分
令，（0＜t＜1)，
则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．
，∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴．…………………………………16分*38499 9663 陣227421 6B1D 欝k22956 59AC 妬36267 8DAB 趫qC
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