关于弹性变形测量的几点理论分析与推导

最近您问我的关于弹性力学的问题，我回去查阅之后有了一个大概的答案，所以写了一个word文档给您解释一下。

因为不知道您对相关力学原理的了解程度，故以下的回复会有些繁琐，望您理解。

您给我所说的内容，我拍了一张图，按我的理解，将从以下问题进行回复：
1）为什么是，各个物理量的意思是什么；
2）为什么不考虑对y的偏导，同时精度是否足够；
3）怎么求。

在此之前，要先向您详细介绍一下弹性力学中的一些基本假定和数学原理。

一、研究方法、基本假定与数学原理
首先，这个公式是有限元原理的应用，是弹性力学的几何方程。

在这个公式中需要的性力学的基本假定有：
1）连续性；
2）各项同性；
3）均匀性；
4）完全弹性；
5）小变形。

这些基本假定有两个作用：
1）简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。

2）简化几何方程：在几何方程中，由于可略去后几个项,使几何方程成为线性方程。

同时，连续性还有一个重要的数学意义，就是可以应用泰勒公式。

二、公式来源及物理意义
首先，令x方向的坐标改变量（刚体位移+形变导致的位移）为f(x)，那么，在小变形的前提下，此时。

由于我们假设物体连续，那么就可以应用泰勒公式：
简化几何方程，忽略后几项，即：
u为x方向的刚体位移，为x方向的线性变形量，为与形变有关的位移。

三、求y方向的偏导的意义与精度影响
首先，从数学推导上说，公式中并没有对y的偏导。

同时由于u是x方向的位移，u y 恒等于0，对u求y方向偏导的值必定为0，所以不必考虑y方向的偏导，也不会影响精度。

对该公式的精度，由于泰勒展开美意阶的数值差距很大，且其本身就是小变形，故忽略后项对精度影响不大。

满足有限元分析的精度要求。

四、的求值
即为何为变形。

通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段， PA=dx，PB=dy，变形前位置为P、A、B变形后位置为P’、A’、B’。

应用连续性和小变形，可求得PA的线变形为：。