人教版初中数学八年级上册《全等三角表 角平分线课件》教学课件PPT 13

PD＝PE， PC＝PC， ∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC， ∴CD＝CE.同理可证BD＝BF. ∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.
课堂小结
角平分线的 性质及判定
性质定理：角平分线上的 点到角两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角两边 距离相等的点在角的平分线上.
三角形三条角平分 线交于内部一点
∠BDE＝∠CDF， ∵ ∠DEB＝∠DFC，
BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF， ∴DE＝DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC.
证明角平分线的方法思路 : 从数量上证明被角平分线 分成的两个角相等 . 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等， 即只需从 要证的线上的某一点向角的两边作垂 线段，再证明垂线段 相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问 题转化为证 “垂线段相 等”的问题，体现了转化思想 .
随堂演练
1. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别 为A，B .下列结论中不一定成立的是(D ) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
2.如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的 平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°， ∴DE＝DC.
在Rt△BDE和Rt△FDC中， ED＝CD， BE＝FC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC, ∴BD＝DF.
在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可 考虑使用三角形全等或角平分线的性质，若条件中有垂直和角 平分线，则优先考虑使用角平分线的性质. 运用角平分线的性质证明线段相等时，不需要利用三角形全等.
是三角形全等思
路的简化升级版
➢ 角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条件
结论
性质定理
一个点在角的平 这个点到这个角
分线上
两边的距离相等
逆命题
一个点到角两 这个点在这个 边的距离相等 角的平分线上
这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平 分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的
D
A
Rt△PDO和Rt△PEO全等.
O
P
E B
证明：过点O、P作射线OP.
∵ PD⊥OA, PE⊥OB ，
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且 PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折， 你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
➢ 下面我们来证明刚才得到的结论：
已知: 如图, OC是 ∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD丄OA,
3.如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC 的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探 究BC，CE，BF三条线段有什么关系？
导引：由角平分线和垂直联想到作另一个垂线段．
解：如图，作PD⊥BC，垂足为D. ∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD， 在Rt△PDC和Rt△PEC中，
∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°.
在 Rt △PDO和 Rt △PEO中，
O
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO, (H. L.),
∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等).
∴点P在∠AOB的平分线上.
D
A
P E
B
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC,
垂足分别为D、E、F.
B
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理 PE=PF.
∴ PD=PF（等量代换）.
∴ 点P在∠A的平分线上,
A
D
N
F
M
P
E
C
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
例2 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF 和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
分析：要证AD平分∠BAC，已知条件中有 两个垂直，即有点到角的两边的距离，再 证这两个距离相等即可证明结论，证这两 条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF 全等来完成．
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中，
A D
C
P
E
B
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等．
A D
C
P
O
关键词：(1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； 作用：角平分线的性质可用来证明两条线段相等．
EB
书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE. 易错警示：垂线段的长度≠随意两点间的距离
人教版数学八年级上册第13章
第13章 全等三角形
13.5 第3课时 角平分线
执教：XXXX学校 XXX
情景导入 生活中的数学
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离
都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
这要用到角平 分线的知识.怎 么用呢？
获取新知 角平分线的性质
PE丄OB, 垂足分别为点 D和点E.
求证：PD=PE.
A D
C
P
O
E
B
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中，
O
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
条件：点到角两边距离相等； 结论：点在角平分线上． (1)书写格式：如图， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线．
画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？
你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？
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点拨：只需要证明第三条角平分线经过另外 两条角平分线的交点即可.思路可表示如下：
A D
F
AP是∠BAC的平分线 PD=PF PF=PE
B
BP是∠ABC的平分线 PD=PE
P
C E
点P在∠BCA的平分线上
你会给出证明过 程吗？试试吧
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在∠A的平分线上.