高中数学解题方法——配方法配套练习和答案

第17讲 基于数学核心素养的解题方法——配方法
1. 如图，椭圆M ：22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =±
所围成的矩形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程； (Ⅱ) 设直线l :y x m(m )=+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与
矩形ABCD 有两个不同的交点 S ，T.求|PQ |
|ST |的最大值及取得最大值时m 的值. 2. 如图，动圆222
1:C x y t +=,13t <<,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ， B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点. (Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程. 3.若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则34x y +的最小值是【 】 A. 245 B. 285 C.5 D.6
本节练习参考答案
1. 如图，椭圆M ：22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =±
所围成的矩形ABCD 的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l :y x m(m )=+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点
S ，T.求
|PQ |
|ST |
的最大值及取得最大值时m 的值.
【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆M ：22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>3
∴3==c e a ，即2223
4
-=a b a ……①.
∵矩形ABCD 面积为8，∴⋅2a 2b=8，即ab=2……②
由①②解得：，a=2b=1.
∴椭圆M 的标准方程是2
2x y 14
+=.
(II)由2
2x y 14y x m +==+⎧⎪⎨⎪⎩
得225x 8mx+4m 4=0+-.
设()()
p p q q
P x y Q x y ，，，，则2p q p q 84m 4
x x =m x x =55
-+-⋅，.
由()
22=64m 204m 40>∆--得5m 5-.
∴2
2284m 442||=2m 4=5m 55P 5Q -⎛⎫
--⋅- ⎪⎝⎭
.
当l :y x m(m )=+∈R 过A 点时，m=1，当l :y x m(m )=+∈R 过C 点时，
m=1-.
①当5m 1<--时，有()())S m 1T 2m ST =23m --+，-1，，2+，，
∴()
2
2
||45m =||5
3m PQ ST -+.
设t=3m +，则()
2
22
24464135=1=45t t P ||4
5m Q ST 5t 4=
|m 4|5
3⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭-+. ∴当13=t 4，即45t=m=33-，时，|PQ ||ST |取得最大值2
55
.
②当1m 5<<时，由对称性，可知，当5m=3时，|PQ ||ST |取得最大值2
55
.
③当1m 1-≤≤时，ST =22，2||2
=5m ||T 5
PQ S -， ∴当m=0时，
|PQ ||ST |取得最大值2
55
. 综上可知，当5m=03±
，时，|PQ ||ST |取得最大值2
55
.
【解析】（Ⅰ）由已知条件，根据椭圆M 的离心率为3
2
，直线x a =±和y b =± 所围成的矩形ABCD 的面积为8，列方程组组求解.
（Ⅱ）应用韦达定理、勾股定理，用m 表示出
|PQ |
|ST |
，分5m 1<<--，1m 1-≤≤，1m 5<<三
种情况分别求解.
2.如图，动圆2
2
2
1:C x y t +=,13t <<,与椭圆2C ：2
219
x y +=相交于A ， B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点.
(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程.
【答案】解：（I ）设11A x y （，）
，则矩形ABCD 的面积114S x y =⋅.
由221119x y +=得22
1119
x y -=， ∴2
222
22111
1
1199
1=+9924x x y x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. ∴当2
12
=9
x ，2
112y =时，25t =，22
11x y 最大为94
，max 6S =. ∵13t <<，
∴当=5t 时，矩形ABCD 的面积取得最大值，最大面积为6.
(Ⅱ)设1122A x y B x y （，），（，）
， ∵123030A A -（，），（，）， ∴直线A 1A 的方程为()1
133
y y x x =
++①，直线A 2B 的方程为()1
233
y y x x =-
--②. 由①×②可得：()2
2
212199
y y x x =---③. ∵11A x y （，）
在椭圆2C 上，∴221119
x y +=.∴22
1119x y =-. 代入③可得：()212
2211999
x y x x ⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭=--，
∴点M 的轨迹方程为2
21(30)9
x y x <y -=-，＜.
【解析】（I ）设11A x y （，）
，应用函数方程思想求出22
11x y 最大时的情况即可. (Ⅱ)设出线A 1A 的方程、直线A 2B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆2
C 上，化简即可得到点M 的轨迹方程.
3. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则34x y +的最小值是【 】 A.
245 B. 28
5
C.5
D.6 【答案】C.
【考点】基本不等式或配方法的应用. 【解析】∵x +3y =5xy ，∴135y x +=，11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
.
∴
2113131213113
(34)()()5555555
x y x y y x y x +⋅+=++=++≥.（或由基本不等式得）
∴34x y +≥5，即34x y +的最小值是5.故选C.。