2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《圆的有关性质》解答题专题优生辅导训练2(附答案)

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《圆的有关性质》
解答题专题优生辅导训练2（附答案）
1．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
3．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
4．如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O于点E．连接ED交AB于点F．
（1）求证：△CDE是等腰三角形．
（2）当CD：AC＝2：时，求的值．
7．已知OA是⊙O的半径，OA＝1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．
（1）如图1，若P为OA中点，则AC＝，∠ACB＝°；
（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD 的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF．（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若，BE＝4，求⊙O的直径．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，弦DH⊥AB于点E，交弦BC于点F，AD交BC于点G，连接BD，求证：F是BG的中点．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
13．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
14．四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O任意一点，连接AD交BC 于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）填空：①当∠CAD的度数为时，四边形ABDC是正方形；
②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为．
16．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接AD，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠DAC．
（2）当AF＝8，AD＝6，CD＝3时，求⊙O的直径．
17．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝10，AC＝5，D，E分别是边AC，AB上的点，⊙O经过点D，E，C，交BC边于点F，已知＝．
（1）求证：∠DEA＝∠B；
（2）若AD＝3，求⊙O的半径．
18．已知：如图，在锐角三角形ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，作BH⊥AC，依次交⊙O于点E，交AC于点G，交⊙O于点H．
（1）求证：∠BEC＝∠EDC；
（2）若∠ABG+∠DEC＝45°，⊙O的直径等于10，BC＝14，求CE的长．
19．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．
参考答案
1．（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．
∵AB⊥DG，AB是直径，
∴＝，DE＝EG，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE．
（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．
∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，
∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，
∴∠FBO＝90°﹣2x，
∵∠AFO＝45°，
∴∠FOB＝45°+x，
∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，
∴∠FOB＝∠OFB
∴BF＝BO＝OA，
∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝2FR＝2FC，
∴tan∠F AR＝tan∠F AC＝，
设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，
则t2+4t2＝4，
∵t＞0，
∴t＝，
∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2＝，
∵m＞0，
∴m＝，
∴AC＝2m＝．
2．（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝．
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
3．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝
4．（1）证明：∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
（2）解：连接OA，OB，AB，AC，
∵的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝8，
∴AB＝8，
由（1）同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
∴MN＝AB＝4．
5．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
6．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵＝，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠C＝∠AED，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）如图，连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，
设CD＝2x，AC＝x，
∵AB是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝x，
∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DH，
∴DH＝x，
∵DE＝CD，
∴CH＝EH＝＝x，
∴AE＝2CH﹣AC＝x．
∴＝．
7．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，
∴AC＝OA，
∵OC＝OA，
∴OC＝OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC＝1，∠ACO＝60°，
∵PC⊥OA，
∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，
故答案为：1；30．
（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，
∵BC⊥OA，
∴PB＝PC，
∴AB＝AC，
∵OB＝CO，OA＝OA，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴S△ABO＝S△ACO＝S1，
∴S1+S2＝S3，
∵，
∴，
∴S12+S1S2﹣S22＝0，
∴﹣1＝0．
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵CE为直径，
∴∠CBE＝90°，
∴AO∥BE，
∴△AOD∽△BED，
∴，
∵OE＝OC，
∴OP＝BE，
∴，
∴+1，
∴，
∴．
8．（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴＝，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．
（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴＝，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴＝＝，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝＝＝8，∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝＝＝3．
∴⊙O的直径为3．
9．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴＝＝，
∴＝，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
10．解：（1）∵D是的中点，
∴＝，
∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝CD，
又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG（AAS）；
（2）如图，连接OD交BC于点M，
∵D为的中点，
∴OD⊥BC，
∴BM＝CM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM＝AC＝5，
∵＝，
∴＝，
∴OE＝OM＝5，
∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，
∴EF＝DE＝＝12，
∴BF＝＝＝4；11．证明：∵AB是直径，AB⊥DH，
∴＝，
∵D是的中点，
∴＝＝，
∴∠CBD＝∠HDB，
∴FB＝FD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FDG+∠FDB＝90°，∠FGD+∠FBD＝90°，∴∠FDG＝∠FGD，
∴FD＝FG，
∴FG＝FB，即点F是BG的中点．
12．（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
13．（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
14．解：（1）∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；
（2）连接BD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ACO＝30°．
15．（1）证明：∵BC为ΘO直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD，
又∠BAF+∠CAF＝∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠CAF＝∠BAE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）；
（2）解：①当∠CAD＝45°时，四边形ABDC是正方形．理由：∵∠CAD＝∠BAD＝45°，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，
∵BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是正方形．
故答案为：45°．
②∵△EAB≌△DAC，
∴AE＝AD，S△ABE＝S△ADC，
∴S△AED＝S四边形ABDC＝4，
∴•AD2＝4，
∴AD＝2，
故答案为．
16．（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠F AE+∠AFE＝90°，
∵∠ABD＝∠AFE，
∴∠BAD＝∠F AE，
∴∠BAD﹣∠DAF＝∠F AE﹣∠DAF，即：∠BAF＝∠DAC．
（2）连接BF．
∵AB是圆O的直径，
∴∠BF A＝90°，
∵∠BDA＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝90°，
∴AC＝，
∴∠BF A＝∠ADC＝90°，
∵∠BAF＝∠DAC，
∴△ABF∽△ACD，
∴，
∴，
∴⊙O的直径为4．
17．解：（1）连接CE，∵，
∴∠CED＝∠ECF，
∴DE∥BC，
∴∠DEA＝∠B．
（2）连接EO并延长⊙O于G，连接DG、CG，∵EG是直径，
∴∠ECG＝90°，
∵四边形EGCD是圆内接四边形，
∴∠EGC＝∠EDA，
∵∠BAC＝90°，
∴△CEG∽△AED，
∴，
∵DE∥BC，
∴＝，
∵AE＝6，BE＝10﹣6＝4，
∴由勾股定理可知：DE＝3，CE＝，
∴
∴GE＝，
∴⊙O的半径是
18．（1）证明：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∵BH⊥AC，
∴∠BGC＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝∠GBC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠GBC，
又∵∠DAC＝∠DEC，
∴∠EBC＝∠DEC，
∵∠ECD＝∠BCE，
∴△ECD∽△BCE，
∴∠BEC＝∠EDC；
（2）解：由（1）得：∠EBC＝∠DEC，
∵∠ABG+∠DEC＝45°，
∴∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD，
∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝14，
∵∠ADC＝90°，AC＝10，
∴AD2+DC2＝AC2，即（14﹣DC）2+DC2＝102，解得：DC＝8或DC＝6，
∵∠DAC＝∠GBC＜45°，
∴AD＞DC，
由（1）得：△ECD∽△BCE，
∴CE：BC＝CD：CE，
∴CE2＝CD×BC＝6×14＝84，
∴CE＝2．
19．解：（1）连接AD，如图1所示：
设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝γ，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠CAD＝β，
∴∠DAB＝β﹣γ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴γ+β＝90°，
∴β＝90°﹣γ，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDC＝∠ABD＝α；
（2）连接BC，如图2所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BAC＝90°，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，
∴∠ACE＝β；
（3）连接OC，如图3所示：
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴＝＝，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，
∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，
∴△AHE∽△ADB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣＝．
20．解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，
∴＝．
∴PB＝PC．
又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），
∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．
∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．
（2）过点P作PE⊥AD于E，
由（1）可知，
当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，
则AE＝AD＝1．
∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，
∴P A＝．。