【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2016届高三上学期期中考试理数试题(原卷版)

福建省师大附中2016届高三上学期期中考试理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )
A ． 2 B. 3 C ．4 D. 5 2.已知()211i i z -=+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --
3.已知命题:p x R ∀∈,23x x <；命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是：（ ）
A ．p q ∧ B.p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D.p q ⌝∧⌝
4.已知点A
的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π
至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）
A
C ．132
D ．112
5.若1
20()2()f x x f x dx =+⎰，则1
0()f x dx ⎰＝( ) A ． －1 B ． －13 C. 13
D ． 1 6.已知{}
n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）
A ．7 B.5 C ．-5 D. -7 7.若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan 21tan 2
αα+=-( ) A ． 12- B. 12
C ． 2 D. -2 8.
若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝
⎭则cos sin αα+的值为（ ）
Ａ． Ｂ．12- Ｃ．12
9.存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ）
A.(sin 2)sin f x x =
B.2(sin 2)f x x x =+
C.2(1)1f x x +=+
D.2(2)1f x x x +=+
10.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-
+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1,（ ）
A.若θ确定，则 ||a 唯一确定
B.若θ确定，则 ||b 唯一确定
C.若||a 确定，则 θ唯一确定
D.若||b 确定，则 θ唯一确定 12.设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()
f x 0，则a 的取值范围是（ ）
A ．[-32e ，1） B. [-错误！未找到引用源。

，34
错误！未找到引用源。

） C ．[错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

） D. [错误！未找到引用源。

， 1）
第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
13.()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭
． 14.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.
15.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π
个单位后,与函数sin(2)3y x π
=+的图象重合,则
ϕ= 。

16.如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==， 3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .
17.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,则塔高AB 为_______.
18.函数1
1+=x y 的图像与函数2sin (2y x x π=-≤≤)24(≤≤-x 的图像所有交点的横坐标之和等于 .
三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本小题满分11分）已知数列{}n a 的前n 项和232
n n n S n N *-=∈，. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)证明：对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列.
20.（本小题12分）已知向量(2sin ,sin )a x x =，(sin ,)b x x =，函数()f x a b =⋅
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B b C c B =+，若对任意满足条件的A ，不等式()f A m >恒成立，求实数m 的取值范围
21.（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． （Ⅰ） 求sin sin B C
∠∠；
（Ⅱ）若1AD =，DC =BD 和AC 的长． 22.（本小题满分12分）已知函数2
(1)()ln 2
x f x x -=-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-.
23.（本小题满分13分）设函数x a x x f ln )()(+=，x e
x x g 2
)(=.已知曲线错误！未找到引用源。

在点(1,(1))f 处的切线与直线02=-y x 错误！未找到引用源。

平行.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程错误！未找到引用源。

在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数错误！未找到引用源。

（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.
：。