【浙教版】高中数学必修五期末试题含答案

一、选择题
1．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14
a b
+的最小值为（ ） A ．9
B ．9-
C ．
92
D ．92
-
2．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611
a b +--的最小值为（ ） A ．16
B ．25
C ．36
D ．49
3．已知变量,x y 满足约束条件50
21010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
，则目标函数=21z x y =+-的最大值为
（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x
=+
B ．()4
sin 0πsin y x x x
=+
<< C ．e 4e
x
x
y -=+
D
．y =
5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ．2,4,120a b A ===︒
B ．3,2,45a b A ===︒ C
． 6,60b c C ===︒ D ．4,3,30b c C ===︒
6．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与
BD 所成角的余弦值为（ ）
A
B ．16
C ．13 D
7．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2cos 0b a C -=，
()sin 3sin A A C =+，则
2bc
a
=（ ） A
B
C ．
23
D
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知3a =
，b ∈，且
223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）
A ．[
1
2，34
] B ．(
1
2，34
) C ．[
1324，3
4
] D ．(
1324，34
) 9．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列
C ．可能为等差数列，但不会为等比数列
D ．可能为等比数列，但不会为等差数列
10．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
11．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2
B ．3
C ．
269
D ．
259
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则6
6
S a =（ ） A ．
6332
B ．
3116
C ．
123
64
D ．
127
128
二、填空题
13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________.
14．已知x ，y 满足条件10
30,1
x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________.
15．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数z x y =-的最大值为_____.
16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，
15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .
17．在ABC 中，已知25
,cos 4
A B π
==
，若25BC =，D 为AB 的中点，则CD 的长为________．
18．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________
19．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，37S =，数列(){}
2log 1+n S 的前
n 项和为n T ，则
12
2020
111T T T +++
=________.
20．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n
n n b a -=+，且
1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____． 三、解答题
21．（1）若0x >，0y >，1x y +=，求证：
11
4x y
+≥. （2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式
()a b
x y m x
y
+⋅+>（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围． 22．已知0a >，0b >且3a b +=．
（Ⅰ）求3
11
()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求22
31
a b a b ++
+的最小值及此时a ，b 的值．
23．在ABC 中，已知边长是5,7,8BC AC AB ===. （1）求角B ；
（2）求ABC 的面积； （3）求ABC 外接圆面积.
24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
()sin sin sin sin a A B b B c C -+=.
（1）求角C ；
（2）若3c =，6a b +=，求ABC 的面积.
25．已知等差数列{}n a 满足()()()()
*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
26．从①()*123(1)
2
n n n b b b b n +++++=
∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.
问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n b
n a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；
（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T .
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式
()1
2
a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14
a b
+的最小值. 【详解】 由于代数式
14
a b
+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根，
由韦达定理可得2
2
a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数， 所以，
(
)141141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝. 当且仅当24
2,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92
. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．A
解析：A 【分析】 由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入416
11a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】 由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：
416416416(1)16
1111
11
a a a
b a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1
a a --即3
2a =时取等号.
故选：A 【点睛】
本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
由约束条件
50
210
10
x y
x y
x
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪-≥
⎩
作出可行域如图，
联立
1
50
x
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得A（1，4），
化目标函数z＝x+2y﹣1为y
1 222
x z
=-++，
由图可知，当直线y
1
222
x z
=-++过A时，z有最大值为8．
故选C．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
4．C
解析：C
【分析】
逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断.
【详解】
A项，
4
y x
x
=+没有最值，故A项错误；
B项，令sin
t x
=，则01
t<≤，
4
y t
t
=+，由于函数在(]
0,1上是减函数，
所以min
()(1)5
f x f
==，故B项错误；
C项，
44
e4e e2e4
e e
x x x x
x x
y-
=+=+≥⋅=，当且仅当
4
e
e
x
x
=，
即e2
x=时，等号成立，所以函数e4e
x x
y-
=+的最小值为4，故C项正确；
D项，2
2
122
1
y x
x
=+≥
+
2
2
1
1
x
x
+=
+
即212x +=时，等号成立，所以函数22
11
y x x =++
+的最小值为22，故D
项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
5．D
解析：D 【分析】
运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】
A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.
B. 3,2,45a b A ===︒,由
2sin sin sin 3
a b B A B =⇒=
且,
a b >所以只有一个角B C. 6,43,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形. D. 4,3,30b c C ===︒中2
sin sin sin 3
c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】
在直接用正弦定理求另外一角中，求出
sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角. 6．A
解析：A 【分析】
取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，于是得到异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠，然后计算出CEF ∆的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ∠，即可得出答案． 【详解】
如下图所示，取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，
由于E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则//EF BD ，且1
12
EF BD =
=，
所以，异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠或其补角，
三棱锥A BCD -是边长为2的正四面体，则ABC ∆、ACD ∆均是边长为2的等边三角形，
E 为AB 的中点，则CE AB ⊥
，且CE =
CF =
在CEF ∆
中，由余弦定理得222cos 26
CE EF CF CEF CE EF +-∠===
⋅， 因此，异面直线CE 与BD
所成角的余弦值为6
，故选A ． 【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下： （1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角； （2）二证：对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．
7．D
解析：D 【分析】
根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2
cos 3
C =
，然后根据余弦定理，可得c =，最后可得结果.
【详解】 在ABC ∆中，
sin sin a b A B
=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，
由①②可知：2cos 3C =，又2222
cos 23
a b c C ab +-==③，
把①代入③
化简可得：c ，则
23bc a b ==， 故选：D. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】
本题先求9c b
=，再化简2
2222819cos 218
b b
c a b A bc +-+-==，接着求出
22817545
()42
b b +
∈，，最后求出cos A 的取值范围即可. 【详解】
解：由题意有3a =，223cos cos a b B b A =+，
由余弦定理得：222222
2
233232a c b b c a b b c bc
+-+-=⋅+⋅⨯⨯，整理得：9bc = ， 所以9
c b
=
， 则
2222
2
819cos 218
b b
c a
b A bc
+
-+-=
=
.
因为b ∈，所以2(1218)b ∈，，所以2
2817545
()42
b b +∈，， 则133
cos (,)244
A ∈. 故选：D. 【点睛】
本题考查余弦定理，利用函数k
y x x
=+
，（0k >）的单调性求范围，是中档题. 9．C
解析：C 【分析】
根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】
解：13n n a S +=，
13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，
若10S =，则数列{}n a 为等差数列；
若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，1
14n n S S -∴=⋅，
此时2
1134
n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.
综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.
10．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 11．C
解析：C 【分析】
由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】
因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，
当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，
111a S ==适合上式，故43n a n =-，
因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269
k = 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.
12．A
解析：A 【解析】
由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21n
n S =- ，即
6663
32
S a = ，故选A. 二、填空题
13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项
解析：【分析】
先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，再利用基本不等式求解即可. 【详解】
由()()144x y --=，
得40xy x y --=， 又0x >，0y >， 得
41
1y x
+=， 则(
)44552941x y x y x y x y y x x y x y +⎛⎫+=+=++≥+⨯=
⎪⎝⎭
， 当且仅当
4x y
y x
=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在 解析：2-
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =-+，根据直线3
2
z x y =-+在y 轴上的截距最小，找到使得目标函数3
2
z x y =-+取得最小值时的最优解，代入计算即可. 【详解】
作出不等式组10301x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
平移直线32z x y =-
+，当直线3
2
z x y =-+经过可行域的顶点()2,1A 时，直线32z x y =-
+在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，即min 3
212
2z =-⨯+=-. 故答案为：2-. 【点睛】 思路点睛：
求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.
15．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，
根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2. 故答案为：2.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
16．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边 解析：455
【分析】
在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然
后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】
在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，
15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，
()45AD CD m ∴==，
在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，
由正弦定理可得
sin sin CD BD
CBD BCD
=∠∠
，)45212
BD m ∴=
=，
在ABD △中，()45AD m =
，)BD m =，135ADB ∠=， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯
，因此，
)AB m =.
故答案为： 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
17．【分析】由条件求得利用正弦定理求得在中利用余弦定理即可求得【详解】故由正弦定理知即解得在中所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出利用余弦定理求解考查了运算能力属于中档题
【分析】
由条件求得sin B ,sin C ,利用正弦定理sin sin BC AB
A C
=求得AB , 在BCD △中，利用余弦定理即可求得CD . 【详解】
cos (0,),B B π=
∈
sin 5
B ∴==
故
333
cos cos()cos cos sin sin
444
C B B B
πππ=-=+
22
⎛
=-⨯+=
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
n
si C===
∴，
由正弦定理知
sin sin
BC AB
A C
=
310，
解得6
AB=,
在BCD
△
中，
22222
2cos3235
CD BC AD BC AD B
=+-⋅=+-⨯⨯=
所以CD=
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出cos B,利用余弦定理求解CD,
考查了运算能力，属于中档题.
18．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角
【分析】
不妨令Aα
∠=，易知ACD BCDα
∠==，3
Bπα
∠=-，然后在ABC中，利用正弦定理，求出sin α，cosα的值，最后在ABC中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】
解：在ABC中，角C的平分线交AB于D，且CD AD
=．
设Aα
∠=，则ACD BCDα
∠==，3
Bπα
∠=-，
∴
sin sin
AC BC
B A
=
∠∠
，即
32
sin(3)sin
παα
=
-
，
整理得2sin33sin
αα
=，所以：2(sin cos2cos sin2)3sin
ααααα
+=，
结合sin0
α≠得22
2(2cos12cos)3
αα
-+=，
即2
5
8
cosα=，显然α
是锐角，所以cosαα=，
∴sin22sin cos
ααα
==．
再由ABC 得：2sin sin 2AB
αα
=，
=
， 解得10AB ．
【点睛】
本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．
19．【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为：【点睛】本题主要考查等差等比数列的求 解析：
4040
2021
【分析】
首先根据等比数列的性质得到21n
n S =-，从而得到()2log 1+=n S n ，利用等差数列的
求和公式得到()
12
n n n T +=，再利用裂项法求122020
111++
+
T T T 的值即可.
【详解】
因为22a =，37S =， 所以31232
227S a a a q q
=++=++=，即22520q q -+=， 解得12
q =-
或2q .
又因为数列{}n a 为递增数列，所以2q
.
所以11a =，122112
n
n n S -==--.
因为()22log 1log 2+==n
n S n ，()1122
…+=+++=
n n n T n ，
所以
()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
n T n n n n . 故12
20201111111
12122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
T T T 140402*********⎛
⎫=-=
⎪⎝⎭
故答案为：4040
2021
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.
20．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-
【解析】
1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-+
+-=+-
所以2
22
(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-
三、解答题
21．（1）见解析；（2）(,4)-∞. 【详解】
试题分析：（1）第（1）问，利用常量代换和基本不等式证明. （2）第（2）问，利用基本不等式求解. 试题
（1）证明：∵1,0,0x y x y +=>> ∴
0,0y x x y >>
∴11224x y x y y x x y x y x y
+++=+=++≥+= 当且仅当1
2
x y ==
时，等号成立. （2）因为,,,a b x y 为正实数，
所以(
)a b ay bx x y a b a b x y x y ⎛⎫+⋅+=+++≥++= ⎪⎝⎭
4=，
当且仅当a b =，
ay bx
x y
=，即a b =，x y =时等号成立，故只要4m <即可，所以实数m 的取值范围是(),4-∞
22．（Ⅰ）3
2a b ==
时，11a b ⎫+⎪⎭取得最大值为2-；（Ⅱ
）6a =-
3b =-+
32
+
； 【分析】
（Ⅰ）利用“乘1法”与基本不等式的性质，对数函数的单调性即可得出； （Ⅱ）先对已知式子进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】 解：（Ⅰ）1133224
233333333333
a b a b b a b a a b a b a b a b
a b +++=+=+=+++=， 当且仅当
33b a
a b =且3a b +=，即32
a b ==时取等号，
32
1123log a b ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭即最大值为2-， （Ⅱ）3a b +=，
∴223313131
(1)121111
a b a b a b a b a b a b a b ++=++-+=+-++=+++
+++
3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b a b a b a
b b ++=+++=+
++=++++
当且仅当3(1)44(1)
b a
a b +=+
且3a b +=，即6a =-3b =-+时取等号， 【点睛】
本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（1）3
π
；（2）3）
49
3
π. 【分析】
（1）由余弦定理，求得1
cos 2
B =
，即可求得角B 的大小； （2）由三角形的面积公式，即可求得ABC
S 的面积；
（3）由正弦定理，求得2sin AC R B ==，进而取得外接圆面积. 【详解】
（1）由题意，在ABC 中，5BC =，7AC =，8AB =，
由余弦定理有222222587
1
cos 2258
2
BC AB AC B BC AB +-+-===⋅⨯⨯，
因为(0,)B π∈，所以3
B π
=
.
（2
）由三角形的面积公式，可得ABC
S
=
11
sin 85222
AB BC B ⋅=⨯⨯⨯= （3
）由正弦定理，可得
72sin sin 3
AC R B π=
==
，所以外接圆面积为2493ππ⨯=. 24．（1）3
π
；（2 【分析】
（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得C 角；
（2）利用余弦定理和已知6a b +=可求得,a b ，从而得三角形面积． 【详解】
（1）由正弦定理，得sin 2a A R =
，sin 2b B R =，sin 2c C R
=，
又()sin sin sin sin a A B b B c C -+=，所以222a b c ab +-=.
由余弦定理，得222cos 22a b c ab
C ab ab
+-==
， 故1
cos 2
C =
. 又()0,C π∈，所以3
C π
=
.
（2）由余弦定理，得229a b ab +-=.
联立方程组，得2296a b ab
a b ⎧=+-⎨+=⎩，
化简，得9
6ab a b =⎧⎨+=⎩
，
解得33a b =⎧⎨
=⎩
， 所以ABC
的面积1sin 2S ab C =
=
. 25．（1）21n a n =-；（2）23
32n n
n S +=-. 【分析】
（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n
a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由已知得()()1212234
12a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，
即1223
4
8a a a a +=⎧⎨+=⎩，
所以()()()111
1428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，
解得112a d =⎧⎨=⎩
，
所以21n a n =-． （2）由（1）得
n n n a 2n 1
22
-=，
所以12123212232
12n n n n n S ---=
++⋯++，① 23112321
22222
13n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：
211111
12132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭， 所以23
32
n n
n S +=-． 【点睛】
易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 26．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）1
22m m T m +=--.
【分析】
（1）选择①，可得(1)(1)
,22
n n n n n b n +-=
-=从而可得2,n
n a =进而利用等比数列的
定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2n
n a =，进而利
用等比数列的定义可得结论；
（2）若选择①，则2n
n a =，可得21m
m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2n
n a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】
（1）选择①，因为()*123(1)
2
n n n b b b b n N +++++=
∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1)
,122
n n n n n b n n +-=
-==时也成立，故n b n =. 所以1
122,22
n n
n n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ，
由题意111
2247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，
，得n b n =，
即2log n a n =，得2n
n a =，所以1
1222
n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）若选择条件①，则2n
n a =，
所以1c 对应的区间为(0,2)，则121
c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =； 3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；
所以()1212122121212212
m m m m
T m m +-=-+-+-=
-=---.
若选择条件②，则2n
n a =，
所以1c 对应的区间为(0,2)，则121
c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =； 3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；
所以()1212122121212212
m m m m T m m +-=-+-+-=
-=---.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法.。