随机信号分析CH6习题及答案

6.1 复随机过程0()
()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ
是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*
+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号
的功率谱。

解：(1) 0()
()j t Z t e ω+Φ=
[][]0000()2200()cos sin 11cos sin 220
j t j t j j t
j t E Z t E e E e e E j e d d e ωωωππ
ωππ+ΦΦ
⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦
=Φ+Φ⎡⎤=Φ⋅Φ+Φ⋅Φ⎢⎥⎣⎦
=⎰⎰
()0000[()][][()()]j t j t j j Z E Z t Z t E e e E e e R ωτωωτωτττ++Φ-+Φ*
⎡⎤+=⎣⎦
⎡⎤===⎣⎦
[][][]
[][]000000[()][]
(2)2(2)2(2)2(2)
[()()]cos 2sin 21cos 2sin 220
j t j t j t j t j j t j t E Z t Z t E e e E e e E e e E j e j d ωτωωτωτωτπ
ωττπ++Φ+Φ++Φ+Φ
++⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=Φ+Φ⎣⎦
=Φ+ΦΦ=⎰ (2) 00()[()][]2()j Z Z
S F R F e ωτωτπδωω===-
6.2 6.3
6.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω
>∆时，()0A ω=，且满足0
ωω∆ ，试比较：
（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。

（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。

（3）
0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。

解：由傅立叶变换的定义可以得到： （1）
000001
()cos [()()]
2
11()()22
FT
j t FT a t t A A a t e A ωωωωωωωω←−→-++←−→- (
)000()()cos ()sin j t a t e a t t ja t t
ωωω=+
0()j t
a t e
ω是0()cos a t t ω的解析信号
01
()2
j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换
的正频率部分。

（2）
0000
0()s i n [()()]
2
()()22
FT
j t FT
j
a t t A A j j a t e A ωωωωωωωω-←−→--+
--←−→-
(
)000()()sin ()cos j t ja t e a t t ja t t
ωωω-=-
0()j t ja t e ω-是0()sin a t t ω的解析信号
0()2
j t j
a t e ω-的傅立叶变换是0(
)s i n a t t ω的傅立叶变
换的正频率部分。

（3）0
()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换
0000001
()cos [()()]
2()sin [()()]2
FT
FT
a t t A A j a t t A A ωωωωωωωωωω←−→-++-←−→--+
0()sin a t t ω是0()cos a t t ω的希尔伯特变换。

[][]()00()sin ()cos sgn F a t t F a t t j ωωω=⋅-⎡⎤⎣⎦
6.5 6.6
6.7 若零均值平稳窄高斯随机信号()X t 的功率谱密度如题图6.7
(1) 试写出此随机信号的一维概率密度函数； (2)写出()X t 的两个正交分量的联合概率密度函数。

题图6.7
解：（1）零均值平稳窄带高斯信号()X t 的正交表达式为
00()()cos ()sin X t i t t q t t ωω=- 基于功率谱计算功率得
2
1(0)()22X X X AW
P R S d σωωπ
π+∞
-∞
===
=⎰ 所以2
()(0,)X X t N σ ，所以一维概率密度
2
211
(;)exp exp 22x x f x t AW AW ππ⎛
⎫
⎪⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⋅ ⎪⎝⎭
（2）作为零均值窄高斯信号，
()()()0E X t E i t E q t ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
, 2
22
2X i q
AW
σσσπ
===
21
(;)exp i i f i t AW π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
，21
(;)exp q q f q t AW π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
又因为()X t 的功率谱关于中心频率0ω偶对称，
()0qi S ω= 即 12()[()()]0qi R E i t q t τ==
所以(),()i t q t 处处正交、互不相关，也彼此独立。

故
22
12121()(,;,)(,)(,)exp iq i q i q f i q t t f i t f q t AW AW π⎛⎫
+==- ⎪⎝
⎭
评讲6.8题
6.8 对于窄带平稳随机过程00()()cos ()sin x t i t t q t t ωω=-，若其均值为零，功率谱密度为
0000cos[()/],/2()cos[()/],
/2
0x P S P πωωωωωωωπωωωωωω⎧-∆-≤∆⎪
=+∆+≤∆⎨⎪⎩，
其它
式中0,P ωωω∆>>∆及都是正实常数。

试求 (1) x (t )的平均功率； (2) i (t )的功率谱密度；
(3) 互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq
S ω； (4) i (t )与q (t )是否正交或不相关？ 解：
0000cos[()/],/2()cos[()/],
/2
0x P S P πωωωωωωωπωωωωωω⎧-∆-≤∆⎪
=+∆+≤∆⎨⎪⎩，
其它
()0()cos[/],
/2
cos[2]cos[2]
x S P P P ωωπωωωωπωπ
πωωωω
++=∆≤∆=+=+∆∆∆
（1）()x t 的平均功率：
()[]
22
2
2
2
2
1()212cos /22sin X X P S d P d P P ω
ωωωωωππωωωπω
ω
πωωπ
π+∞
-∞
∆∆-+∆-∆==⋅∆∆⋅∆=∆=
⎰⎰
（2）()x t 是零均值平稳窄带随机信号，所以有：
()()()()000
,0,2cos ,20,X X i q S S S S other
P other ωωωω
ωω
ωωπωωωω++-≤⎧==⎨
⎩∆⎧⎛⎫
≤⎪ ⎪=∆⎝⎭
⎨⎪⎩
（4） 互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω
000
[()()]()()0x x qi iq j S S S S ωωωωωωωω--+⎧<=-=⎨⎩
其它 因为()X S ω是关于0ω偶对称，故互谱密度()iq S ω为
0，互相关函数()iq R τ也为0
（4）由()0iq R τ=，所以()i t 与()q t 任意时刻正交。

因为()i t 与()q t 是零均值的，所以()i t 与()
q t 也是不相关的。

6.9 自己做
6.10 考题选讲七题、十九题、一题）
6.11 已知零均值窄带平稳噪声
()()cos ()sin X t A t t B t t ωω=-的功率谱密度如题图6.11所示。

画出下列情况下随机过程 ()A t ，()B t 各自的功率谱密度：
（1） 01ωω= （2）02ωω=
（3） 012()/
2ωωω=+ 判断上述各种情况下，过程()A t ，()B t 是否互不相关。

题图6.11
解：因为()X t 是零均值平稳窄带随机信号,所以
有：
000
()()
()()0x x A B S S S S ωωωωωωωω++-⎧<==⎨
⎩
其它
000
[()()]
()()0x x BA AB j S S S S ωωωωωωωω--+⎧<=-=⎨
⎩
其它
功率谱图形如下：
（1） 01ωω=
（2）02ωω=
（3）012()/2ωωω=+
由于()X t 的功率谱不以中心频率0ω偶对称，所以互功率谱密度()BA
S ω在三种情况下都不为0,即()0BA
R τ≠， 所以 A (t ),B (t )非正交；又()()0BA BA C R ττ=≠，所以 A (t ),B (t )相关。

但作为带通信号，其(0)0BA R =，所以 A (t ),B (t )在同一时刻正交，互不相关。

6.12
6.14 同步检波器如下题图6.14所示，输入()X t 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为
20()cos X X R e βτ
τσωτ-=，0βω 。

若另一输入0()sin()Y t A t ωθ=+，其中A 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()X t 独立。

求检波器输出()Z t 的平均功率。

题图6.14
理想 LPF ：
解：因为()X t 为窄带平稳噪声,且 20()cos X X
R e
βττσωτ-=
[][]0()sin()0E Y t E A t ωθ=+=
()[][]2
1212010222
001020,()()sin()sin()cos cos()cos 22
Y R t t E Y t Y t E A t t A A E t t ωθωθωτωωθωτ⎡⎤==++⎣⎦
=-++=
所以Y (t )也广义平稳,又 ()()()M t X t Y t =
[][]()()()0E M t E X t Y t ==
()[][]()()
12121122,()()()()()()M X Y R t t E M t M t E X t Y t X t Y t R R ττ===⋅所以，
()[]2
2002
20cos cos 2
1cos 24
M X X
A R e
A e βτ
βττσωτωτ
σωτ--=⋅=+
()()()()()()()2200222222222222
001222242212244222X M X X A S A A σβ
ωπδωπδωωδωωπωβσσβββωβωωβωωβ⎡⎤=⋅⋅*+++-⎣⎦+⎡⎤=⋅+⋅⋅+⎢⎥+++-+⎢⎥⎣⎦
低通后（单位增益的理想低通滤波器）：
()()()
222
2
2
24X Z M LPF A S S H σβωωωωβ=⋅=⋅+ ()()22
2204
4
X X
Z Z A A R e
R βτ
σστ-=⋅→
=
另解：令00()()cos ()sin X t i t t q t t
ωω=-，又
0()sin()Y t A t ωθ=+
[][]000000()()cos sin()()sin sin()11
()sin(2)sin ()cos cos(2)22
M t Ai t t t Aq t t t Ai t t Aq t t ωωθωωθωθθθωθ=⋅+-⋅+=++--+ LPF 后，
11
()()sin ()cos 22
Z t Ai t Aq t θθ
=-
2
222222
2111()()sin ()cos ()()sin 2444Z t A i t A q t A i t q t θθθ=+-
注意，()()i t q t θ，与独立，且222()()()E i t E q t E X t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[][]()2
22222222222
22222
()111()sin ()cos ()()sin 24441()sin cos 4
11()0444
X X E Z t A E i t E A E q t E A E i t q t E A E i t E A A E X t A R θθθθθσ⎡⎤⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⎡⎤===⎣⎦
6.15 如题图6.15所示，系统1为窄带LTI 系统，其中心频率为0ω，功率谱传输函数关于0ω偶对称；系统2的传输函数为()sgn j ω-；系统3为理想微分系统。

假定输入()N t 是功率谱为0/2N 的白噪声，()A t 的自相关函数的包络为2
e τ-。

试求稳
态状态下：
（1）()A t 和()Z t 各自的自相关函数； （2）()B t 的自相关函数、均值、方差； （3）()B t 的一维分布近似于什么分布？为什么？
题图6.15
解：（1）由题意，()A t 是窄带随机信号（功率谱关于0ω偶对称），系统2是希尔伯特变换器。

令 ()()()00cos sin A t X t t Y t t ωω=- ，由题意，()A t 的功率谱密度是关于0ω偶对称的，所以()X t 与()Y t 是正交的，即()0YX R τ=
()()()()2
0000cos sin cos cos A X YX X R R R R e τ
ττωττωτ
τωτωτ
-=-== 因为希尔伯特变换前后信号的相关函数相同，所以：
()()2
0cos Z A R R e
τττωτ
-==
（()()()
()()()2
sgn Z A A Z A S S j S R R ωωωωττ=⋅-=∴= ）
（2）()()'
B t Z t =，因而
()()()()B Z R R h h ττττ=**-
2
()()()()()()()()()B Z Z Z S S H j H j S j j S j ωωωωωωωωω=-=-=-
()B t 的相关函数为
()2
2
2
20
000()()42cos 2sin B Z
R R e e
τττττωωτωτωτ--⎡⎤''=-=---+⎣
⎦
()B t 的均值、方差为：
()()2()00B E B t R E B t =∞=→
=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
22
0(0)2B B R σω==+
（3）系统总功率谱的传输函数为：
()()()()()
2
2
2
2
2
2
1231H H H H H ωωωωωω=⋅⋅=⋅
可见，级联系统是一个窄带系统，当输入信号的带宽大于系统带宽约7～10倍时，工程实践中发现，系统输出信号可近似认为总是高斯分布的，因此，白噪声通过窄带系统后可近似认为输出信号是高斯分布的。