河南省信阳市2008-2009学年高三第二次调研考试数学文科2009.1.16

河南省信阳市2008—2009学年度高三第二次调研考试
数学（文科）2009.1.16
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

2.考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.0<x<6是不等式|x－2|<6成立的 .
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数
||
()(01)
x
x
f x a a
x
=<<的图像大致是
3.已知集合
22
|1
94
x y
M x
⎧⎫
=+=
⎨⎬
⎩⎭
，
32
|1
N y
x y
⎧⎫
=+=
⎨⎬
⎩⎭
，则M N等于
A. ∅
B. {}(3,0),(2,0)
C. []3,0)(0,3-
D. {}3,2
4.
把函数cos 22y x x =的图像按向量平移后得到的图象关于y 轴对称，则||m 的最小值为
A.
12π B. 6π C. 3
π
D. 512π 5.已知函数3
()42f x x x =-且''()()f x f a >成立，则实数a 的取值范围是
A. (,1)-∞
B. (1,)+∞
C. (,1)(1,)U -∞-∞
D. (1,1)- 6.已知向量(1,2)a =，(1,)b x x =+-，且a b ⊥，则x = A.2 B.
2
3
C.1
D.0 7.设函数
,2
2,2
3
2(){x
x x
x x f x <≥+=若()1f a >，则a 的取值范围是
A. (0,2)(3,)U +∞
B. (3,)+∞
C. (0,1)(2,)U +∞
D. (0,2)
8.等差数列中有两项1m a k =
，1
k a m
=则该数列前mK 项之和为 A. 12mk + B. 2mk k + C. 2mk m + D. 2
k m +
9.设椭圆
221x y m n +=的一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆方程为 A.
2211612x y += B. 2216448x y += C. 2214864x y += D. 2211216
x y += 10.已知,x y 满足10
32602x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
，则22
x y +的最小值是
A.1
B.
13 C. 36
13
D. 134 11.某人射击8次，有3次命中目标，其中恰有2次连续命中目标的情形有
A.15种
B.30种
C.48种
D.60种 12.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数
()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点个数为
A.3
B.4
C.6
D.8
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案直接填在题中横线上。

13.设n 是正偶数，则17n n C ++ (1)
72n n C -+⋅+被4除所得余数为 .
14.某校对全校男女生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校男生人数应是 . 15. 在正项等比数列n a 中，281
,25
a a =
19a a +的最小值是 . 16.从坐标原点O 引圆222
()(2)1x m y m -+-=+的切线y kx =，当m 变化时，则切点P 的轨迹方
程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分） 设ABC 的内角A B C 、、所对边长分别为a b c 、、，且cos cos 2.a B b A c -= （1）求证：tan 3tan A B =- （2）求C 的最大值.
18.（本小题满分12分） 已知函数()2f x x x =- （1）解不等式()3f x <；
（2）若02a <<，求()f x 在[]0,a 上的最大值.
19.（本小题满分12分）
国家质检总局对5家奶制品企业的所有奶制品进行三聚氰胺含量检测，检测出三聚氰胺，则奶制品质量不合格，若第一次检测质量是不合格的，必须将不合格批次的奶制品招回，第二次检测质量仍不合格的，责令该企业停产，设每家企业的奶制品质量是否合格是相互独立的，且每家企业第一次检测质量合格的概率是0.5，第二次检测质量合格的概率是0.8，计算： （Ⅰ）恰好有两家企业第一次检测质量不合格的概率； （Ⅱ）某企业不被停产的概率；
（Ⅲ）至少有一家企业被停产的概率。

20.（本小题满分12分） 已
知2())(0)f x x =≥，又数列{}n a 中0n a >，12a =，前n 项和n S 满足
1
()(1)n n S f S n -=>.若22112n n
n n n
a a
b a a +++=记{}n b 的前项和为n T .
（1）求n a ； （2）求n T .
21. （本小题满分12分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(2,0)F -，一条渐近线的方程是y x =. （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的中点的横坐标为1，求k 的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数32
()1f x x ax =++的图象上的一点(1,)B b 的切线斜率为3-.
（Ⅰ）求a b 、的值；
（Ⅱ）求m 的取值范围，使不等式()2009f x m ≤-对任意[]1,4x ∈-都成立.
参考答案
一.选择题
1―5 ADCBD 6―10 CAADC 11―12 BC 二.填空题
13.1 14.840 15.-1 16. 223x y +=
三.解答题
17.（1）在ABC 中由正弦定理得
sin cos sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+……………………………………2分
展开得 sin cos 3cos sin A B A B =-
tan 3tan A B ∴=-………………………………………………………………..…….4分 （2）由tan 3tan A B =-得A B 、中有一个钝角 若2
B π
>
，则cos cos 0a B b A -<，矛盾 ∴B 为锐角，A 为钝角……….6分
tan tan 2tan tan()tan tan 1cot 3tan A B C A B A B B B +∴=-+=
=≤-+……………..8分
6
C π
∴≤
当6
C π
=
时3tan cot B B =
得tan B =
∴C 的最大值为
6
π
………………………………………………….10分 18
（1）22222(1)1,2
2(1)1,2
()2{
x x x x x x x x f x x x -=--≥+=--+<-=-=……………………………………………..2分
2
2230()3{x x x f x ≥--<∴<⇔或2
2
230
{x x x <-+> 23x ∴≤<或2x <
即3x <…………………………………………………………………6分
（2）①当01a <<时，()f x 在[]0,a 为增函数，最大值为()(2)f a a a =-……9分 ②当12a ≤<时，()f x 在[]0,1为增函数，在[]1,a 上为减函数，此时()f x 的最大值为
(1)1f =……………………………………………………………………………………12分
19.（Ⅰ）每家企业第一次检测质量不合格的概率是1—0.5，且每家企业的奶制品质量是否合格是相互独立的，所以恰好有两家企业第一次检测质量不合格的概率是
53
125
0.50.3116
P C =⨯=
≈…………………………………………………………..4分 （Ⅱ）某企业停产，即该企业第一次检测质量不合格，第二次检测，质量仍不合格，所以该企业被停产的概率是2(10.5)(10.8)0.1P =--=，
从而企业不被停产的概率是0.9…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知企业不被停产的概率是0.9，
∴至少有一家企业被停产的概率是5310.90.41P =-≈………………………………….12分
20.（1
）21()n n S f S -==
=
分
∴
为公差的等差数列………………………………………..3分
(n =-=
22n = (4)
分
2n ∴≥时，142n n n a S S n -=-=- 1n =时2n a =满足上式
42n a n ∴=-………………………………………………………………………………6分
（2）由22212214121111241412121
n n
n n n a a n b a a n n n n ++++∴===+=+-
---+………….……….9分 1
121
n T n n ∴=+-
+………………………………………………………………………12分 21.（Ⅰ）设双曲线C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由题设得224
{3
a b b a +==……………………………………………………………………….…3分
解得223
{1
a b ==
所以双曲线C 的方程为2
213
x y -=…………….…………………………………….…4分 （Ⅱ）设l 直线的方程为(0)y kx m k =+≠，点1122(,),(,)M x y N x y ，
其坐标满足方程组2
2{1
3
y kx m
x y =+-=……………………………………………………………5分
消去y 整理得222
(13)6330k x kmx m ----=，
此方程有两个不等实根，于是2130k -≠，且0∆>.
得22
310().m k -+>*………………………………………………………………….……7分设线段
MN 的中点坐标为00(,)x y ，
则1202
31213x x km
x k
+===-，得2133k m k -=.…………………………………………..9分
代入()*整理得22
(13)(16)0,k k -+>得k <
，……………………………………11分 因为0k ≠
所以k 的取值范围是3
(,0)(0,).33
-
……………………………………………….12分 22.（1）'2()32f x x ax =+ 由题意得'
(1)3233f a a =+=-∴=-…………….3分
∴32()31,f x x x =-+把(1,)B b 代入得13,1b a b =-∴=-=-…………………..….6分
（2）令'
()0f x =得0x =或2x =………………………………………………………8分
(0)1,(2)3,(1)3,(4)17f f f f ==--=-=………………………………………….10分 ∴当[]1,4x ∈-时，3()17f x -≤≤
要使()2009,f x m ≤=只须172009m ≤-
2026m ∴≥………………………………………………………………………………….12分。