2011年广西北海市中考数学试卷

2011年广西北海市中考数学试卷
A .第一象限 B. 第二象限 C. 第三象
限
D. 第四象
限
（3分）涠洲岛是全国假日旅游热点，上岛休闲度假，体验海岛风情，感受火山文化成为
598000 是( )
、选择题（本大题共 12小题，每题 3分，满分36分；在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一个是正确的，每小题选对得 3分，选错或不选得 0分）
1. （3分）-7的绝对值是（
2. C .
（3分）点P （2,- 3）所在的象限为（ 3. 众多游客的首选，据统计该景区去年实现门票收入约为
598000 元.用科学记数法表示
A . 0.598 X 106
B . 59.8 X 104
C . 5.98 X 104
D . 5.98X 105
A. (- 2x 2) 3=- 6x 6
C . 5
D .无解
4
. （3分）下列四个图形中，是轴对称图形的有（
5.
6.
A .①③ C .①④ D .②④
（3分）右图是由 6个小正方体搭建而成的几何体，它的俯视图是（ ran
（3分）下列运算正确的是（
7. C . 2x+2y = 4xy
(x+y ) (- y+x )
=y 2- x 2
（3分）若三角形的两边分别是 2和6, 则第三边的长可能是（
（3分）分式方程-
的解是（
①
B .
)
D .
9. （ 3分）若一个圆柱的底面半径是 1高是3，则该圆柱的侧面展开图的面积是（ A . 6 B . 3 n C . 6 n D . 12 n
10. （3分）已知O O 1与。

02相切，若O O i 的半径为1,两圆的圆心距为 5,则O 02的半径 为（ ） A . 4
B . 6
C . 3 或 6
D . 4 或 6
11 . （ 3分）如图所示，渔船在 A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行
了 12海里到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔 C 的距离是（ ）
13 . （3分）因式分解：xy - 7y = _______
14 . （3 分）计算： — 一
___________ . 16 . （3分）若一个多边形内角和为 900 °,则这个多边形是 ________ 边形.
17 . （3分）在完全相同的四张卡片上分别写有如下四个命题： ①半圆所对的弦是直径； ② 圆既是轴对称图形，也是中心对称图形；
③弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心；
④
圆内接四边形的对角互补.把这四张卡片放入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内任取 一张卡片，则取出卡片上的命题是真命题的概率是 ___________ .
B . 6 海里
C . 6海里
D . 4 海里 12 . （ 3分）如图，直线
I : y = x+2与y 轴交于点A ，将直线I 绕点A 旋转90°后，所得直线 的解析式为（ ） B . y =- x+2
C . y =- x - 2
D . y =- 2x - 1
、填空题（本大题共 6小题，每题3分，满分18分）
15 . （3分）函数y
--- 的自变量x 的取值范围是
A . y = x -2
18. （3分）如图，△ ABC的面积是63, D是BC上的一点，且BD: CD = 2: 1, DE // AC
交AB于E,延长DE到F，使FE: ED = 2: 1 ,则厶CDF的面积是____________
三、解答题（本大题共8题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过
程）
20. （6分）先化简，再求值：----- ----- ? ，其中x= 3.
21. （8 分）如图，已知CA = CD，/ 1 = 7 2.
（1） ___________________________________________________________ 请你添加一个条件使△ ABC◎△ DEC，你添加的条件是___________________________________
（2）添加条件后请证明△ ABC◎△ DEC .
22. （8分）小华是某校八年（1 ）班的学生，他班上最高的男生大伟的身高是174cm，最矮
的男生小刚的身高是150cm,为了参加学校篮球队的选拔，小华对班上30名男生的身高（单位：cm）进行了统计.
频率分布表
分组频
数频率
150 < x v 15510.0 3
155 < x v 160120.4 0
160 < x v 16580.2 7
19.（6分）计算: 4sin30 (2011 —n)
请你根据上面不完整的频率分布表，解答下列冋题:
(1)___________________________________ 表中a和b所表示的数分别为：；
(2)小明班上男生身高的极差是多少？
(3 )身高的中位数落在哪个分组？
(4)若身高165cm (含165cm)以上的男生可以参加选拔，则符合条件的男生占全班男
生的百分之几？
23. (8分)如图，矩形ABCD中，AB= 1, BC = 2, BC在x轴上，一次函数y= kx-2的图象经过A、
C两点，并与y轴交于点E,反比例函数y —的图象经过点A.
(1)写出点E的坐标；
(2 )求一次函数和反比例函数的解析式；
(3)根据图象写出当x>0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
24. ( 8分)2009年王先生在某住宅小区购买了一套140平方米的住房，当时该住房的价格是每平方米2500元，两年后，该住房价格已变成每平方米3600元.
(1)问该住房价格的年平均增长率是多少？
(2)王先生准备进行室内装修，在购买相同质量的材料时，甲、乙两建材商店有不同的
优惠方案：在甲商店累计购买2万元材料后，再购买的材料按原价的90%收费.在乙商店累计购买1万元材料时后，再购买的材料按原价95%的收费.当王先生计划累计购买
此材料超过2万元时，请你帮他算一算在何种情况下选择哪家建材商店购买材料可获得
更大优惠.
25. (10分)如图，在△ ABC中，AB= AC,以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作
EF丄AC于点E,交AB的延长线于点F .
(1) 求证：EF是O O的切线；
(2) 如果/ A= 60°，贝U DE与DF有何数量关系？请说明理由；
(3) 如果AB = 5, BC= 6,求tan/BAC 的值.
2
26. （12分）如图，抛物线y= ax+bx+4与x轴交于A （- 2, 0 ）、B （4、0）两点，与y轴交于
C点.
（1）求抛物线的解析式；
（2 ）T是抛物线对称轴上的一点，且厶ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，
当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒-个单位长度的速度向点B方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线I丄x轴交AC或BC于点P.求点M的运动时间t 与厶APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值.
2011年广西北海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
12小题，每题3分，满分36分；在每个小题给出的四个选项中,
1. （ 3分）-7的绝对值是（
）
、选择
有且只有一个是正确的，每小题选对得
3分，选错或不选得 0分）
A . 7
B . - 7
C .—
【解答】解：-7|= 7 . 故选：A .
2. （ 3分）点P （2,- 3）所在的象限为（
)
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D •第四象限
•••点P （2, - 3）所在象限为第四象限. 故选：D .
3. （3分）涠洲岛是全国假日旅游热点，上岛休闲度假，体验海岛风情，感受火山文化成为 众多游客的首选，据统计该景区去年实现门票收入约为 598000元.用科学记数法表示
598000 是( ) 6
4
4
A . 0.598X 10
B . 59.8X 10
C . 5.98X 10
5
【解答】 解：598 000= 5.98X 105. 故选：D . D . 5.98X 105
【解答】解：•••点P 的横坐标为正，纵坐标为负,
4. （ 3分）下列四个图形中，是轴对称图形的有（ ）
①② ◎④
A .①③
B .②③C.①④
D.②④
【解答】解：根据轴对称图形的概念. ②，③都是轴对称图形,
①④ 不是轴对称图形，是中心对称图形.
故选：B.
5. （3分）右图是由6个小正方体搭建而成的几何体，它的俯视图是（
C.
【解答】解：从上面看易得第一排1个正方形，第二排有3个正方形，
第3排有1个正
方形.
故选：C.
6. （3分）下列运算正确的是（）
/ 2、3 6 4 2 2
A . （- 2x ） =- 6x B. x 十x = x
2 2
C. 2x+2y= 4xy
D. （x+y）（- y+x）= y - x
【解答】解：A、应为（-2x2）3=- 8x6,故本选项错误；
4 2 4-2 2 〒為
B、x —x = x = x，正确；
C、2x+2y是相加，不是相乘，所以计算错误，故本选项错误；
2 2
D、应为（x+y）（- y+x）= x - y ,故本选项错误.
故选：B.
7. （3分）若三角形的两边分别是2和6,则第三边的长可能是（）
A . 3
B . 4 C. 5 D. 8
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于4,而小于&
故选：C .
& （3分）分式方程-—的解是（）
A . 1
B . - C. - 1 D .无解
【解答】解：方程的两边同乘x （x+4）,得
x+4 = 5x,
解得x= 1.
检验：把x= 1代入x （x+4 ）= 5丰0 .
•••原方程的解为：x= 1 . 故选：A .
9. （ 3分）若一个圆柱的底面半径是 1高是3，则该圆柱的侧面展开图的面积是（
D . 12n
【解答】 解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆 的周长，即2 n,宽为母线长为3, 所以它的面积为：2 nX 3 = 6 n 故选：C .
10. （3分）已知O O i 与。

2相切，若O O i 的半径为1,两圆的圆心距为 5,则O 02的半径 为（ ） A . 4
B . 6
C . 3 或 6
D . 4 或 6
【解答】解：••• O 01与O 02相切，O 01的半径为1,两圆的圆心距为 5, 若O 01与O 02内切，贝U O 02的半径为：5 - 1 = 4, 若O 01与O 02外切，则O 02的半径为：5+1 = 6,
••• O 02的半径为4或6.
故选：D .
11. （3分）如图所示，渔船在 A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行
了 12海里到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔 C 的距离是（ ） ¥ 厂 【解答】 解：由已知得：/ BAC = 90°- 60°= 30°, 在直角三角形ABC 中， BC = AB?ta n30° =12 —
C . 6 n
A . 12 海里
B . 6 海里
C . 6海里
D 4
=4 -（海里）. 故选：D .
I : y = x+2与y 轴交于点A ，将直线I 绕点A 旋转90°后，所得直线
二 A (0, 2).
设旋转后的直线解析式为： y =- x+b , 则：2= 0+b , 解得：b = 2,
故解析式为：y =- x+2. 故选：B .
、填空题（本大题共 6小题，每题3分，满分18分） 13. (3 分)因式分解：xy - 7y = y (x - 7)
【解答】解：•••代数式
xy - 7y 的公因式是y ,
二 xy - 7y = y （x - 7）. 故答案为：y （x - 7）. 14. （ 3分）计算：——
【解答】解：—一 2 故答案为:
15 . （3分）函数y ——的自变量x 的取值范围是 x v 1 .
【解答】解：根据题意得：1-x > 0, 解得：x v 1 . 故答案为：x v 1 .
16 . （3分）若一个多边形内角和为 900 °,则这个多边形是
七 边形.
【解答】解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得， （n - 2）?180 ° = 900 ° , 解得n = 7.
12. （3分）如图，直线 的解析式为（ ）
B . y =- x+2
C . y =- x - 2
D . y =- 2x - 1
【解答】解：•••直线
I : y = x+2与y 轴交于点A ,
故答案为：七.
17. （3分）在完全相同的四张卡片上分别写有如下四个命题：①半圆所对的弦是直径；②
圆既是轴对称图形，也是中心对称图形；③弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心；④圆内接四边形的对角互补.把这四张卡片放入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内任取
一张卡片，则取出卡片上的命题是真命题的概率是-.
【解答】解：下列四个命题：①半圆所对的弦是直径，是真命题；
②圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，是真命题；
③弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心，是中垂线，所以是假命题;
④圆内接四边形的对角互补，是真命题.
共有3个真命题，所以取出卡片上的命题是真命题的概率是
故答案为-.
18. （3分）如图，△ ABC的面积是63, D是BC上的一点，且BD: CD = 2：1, DE // AC 交
AB于E,延长DE到F，使FE: ED = 2：1，则△ CDF的面积是42 .
【解答】方法一：
解：连接CE，因为BD：CD = 2: 1,所以△ BDE和厶CDE的面积之比为2： 1 ,
又因为DE // AC,
…—，
•••S^BDE：S A ABC= 4: 9,
又因为△ ABC的面积是63,
• △ BDE的面积为：28 ,
所以△ CDE的面积为14,
因为FE: ED= 2：1，所以△ FDC和厶CDE的面积之比为3: 1
故答案为：42.
方法二：解：作MW丄BC, AN丄BC,垂足分别为W, N.
•/ BD : CD = 2: 1 , DE // AC,
••• BE: AE = 2: 1,
••• BD : BC= DE : AC= BE: AB= 2: 3,
二S^BDE：S A ABC= 4: 9,
二S^BDE - 63= 28,
•/ FE: ED = 2: 1 = 4: 2,
EF : AC = 4: 3,
,
二S^MEF：S^AMC=16：9
EM : AM = 4: 3,
假设EM = 4x, AM = 3x, BE -AB = 2AE = 2 ( EM+AM)= 14x,•BM : AM = 18x：3x= 18: 3,
•MW: AN= BM : AB = 18: 21 = 6: 7,
•S^BMC : S^ABC -BC?WM : -BC?AN= WM : AN = 6 : 7,
T S^ABC= 63,
•S^BMC= 54,
•S^AMC = 63 - 54 = 9,
T S^MEF : S^AMC= 16 : 9,
•S^MEF=16,
「S^BDE一63= 28,
•S 四边形MEDC = 63 - 9 —28 = 26,
•△ CDF 的面积是：26+16 = 42 .
【解答】（1）解：添加的条件为：CB = CE ;
(2)证明：T/ 1 = 7 2, •••7 1 + 7 ACE = 7 2+7 ACE , •••7 ACB =7 ECD ,
在厶ABC 和厶DEC 中 66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过
19. (6 分) 计算:
4si n30°
(2011 - n )0
【解
解：原式=
=3+2+7 - 1 =11.
20. （6分）先化简，再求值： ----- ----- ? -------- ，其中x = 3.
【解答】解：原式 -------------
当x = 3时，原式 ----- 2.
21. （8 分）如图，已知 CA = CD ，/ 1 = 7 2.
（1） 请你添加一个条件使△ ABC ◎△ DEC ，你添加的条件是 CB = CE
（2） 添加条件后请证明△ ABC ◎△ DEC .
程）
22. (8分)小华是某校八年(1 )班的学生，他班上最高的男生大伟的身高是174cm，最矮
的男生小刚的身高是150cm,为了参加学校篮球队的选拔，小华对班上30名男生的身高(单位：cm)进行了统计.
请你根据上面不完整的频率分布表，解答下列冋题：
(1)表中a和b所表示的数分别为：6, 0.1
(2)小明班上男生身高的极差是多少？
(3 )身高的中位数落在哪个分组？
(4)若身高165cm (含165cm)以上的男生可以参加选拔，则符合条件的男生占全班男
生的百分之几？
【解答】(1 )解：根据所有各组频率之和为1，可得出：b= 1 -( 0.03+0.4+0.27+0.20 ) =0.1,
•••小华对班上30名男生的身高进行统计，
• a = 30-( 1+12+8+3 )= 6;
(2 )根据极差的定义，最大值减去最小值，
•••小明班上男生身高的极差是：174 - 150= 24cm；
(3)T 30个数据的中间是第15, 16两数,
•••中位数是第15, 16两数的平均数，
•••第15, 16两数在160 -- 165范围内，
•身高的中位数落在160-- 165这一组；
(4)•••身高165cm (含165cm)以上的男生有：6+3 = 9人，小华对班上30名男生的身高(单
位：cm)进行了统计
•符合条件的男生与全班男生的：9-30 X 100%= 30%,
•••符合条件的男生占全班男生的百分之三十.
23. (8分)如图，矩形ABCD中，AB= 1, BC = 2, BC在x轴上，一次函数y= kx- 2的图象经过
A、C两点，并与y轴交于点E,反比例函数y —的图象经过点A.
(1)写出点E的坐标；
(2 )求一次函数和反比例函数的解析式；
(3)根据图象写出当x>0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
【解答】解：(1) •一次函数y= kx-2的图象与y轴交于点E,
• x= 0时，y=- 2,
•••点E的坐标为：(0,- 2);
(2)由题意可知AB // OE ,
• △ABC s^ EOC,
• OC ----------- --------- 4,
点C的坐标为：(4, 0),
把点C的坐标（4, 0）代入y= kx- 2得,
4k- 2 = 0,
k—,
•••一次函数的解析式为：y -x-2,
•••AB= 1，代入y -x-2,
--1—x —2,
•• x= 6,
由上知点A的坐标为：（6, 1）,
•1—,
•• m= 6,
•反比例函数的解析式为：y -;
（3 ）当x > 0时，•••点A的坐标为：（6 , 1）,
•由图象可知当x>6时，一次函数的值大于反比例函数的值.
24. （8分）2009年王先生在某住宅小区购买了一套140平方米的住房，当时该住房的价格
是每平方米2500元，两年后，该住房价格已变成每平方米3600元.
（1）问该住房价格的年平均增长率是多少？
（2）王先生准备进行室内装修，在购买相同质量的材料时，甲、乙两建材商店有不同的
优惠方案：在甲商店累计购买2万元材料后，再购买的材料按原价的90%收费.在乙商店累计购买1万元材料时后，再购买的材料按原价95%的收费.当王先生计划累计购买此材料超过2万元时，请你帮他算一算在何种情况下选择哪家建材商店购买材料可获得更大优惠.
【解答】解：（1）设该住房价格的年平均增长率为x,
2
依题意，得2500 （1+x）= 3600,
解得X1 = 0.2 = 20%, X2=- 2.2 （舍去）；
答：设该住房价格的年平均增长率为20% ,
（2）设王先生计划累计购买此材料为y万元，
第15页（共20页）
①当2+90% (y-2)> 1+95% (y- 1)时，解得y v 3,即当王先生计划累计购买此材料
的费用在2〜3万元时，在乙建材商店可获得更大优惠，
②当2+90% (y- 2)= 1+95% (y- 1)时，解得y= 3,即当王先生计划累计购买此材料
为3万元时，在甲、乙两建材商店可获得优惠相同，
③当2+90% (y- 2)v 1+95% (y- 1)时，解得y>3,即当王先生计划累计购买此材料
的费用在3万元以上时，在甲建材商店可获得更大优惠.
25. (10分)如图，在△ ABC中，AB= AC,以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作
EF丄AC于点E,交AB的延长线于点F .
(1)求证：EF是O O的切线；
(2)如果/ A= 60°，贝U DE与DF有何数量关系？请说明理由；
•/ AB= AC ,A Z 2 =Z C,
•/ OD = OB,「./ 2=Z 1,
.•./ 1 = Z C,
••• OD // AC,
•/ EF 丄AC,
•OD 丄EF ,
•/点D在O O上，
•EF是O O的切线；
(2)解：DE与DF的数量关系是DF = 2DE .连接AD,
•/ AB是O O的直径，
• AD丄BC,
•/ AB= AC,：/ 3 =Z 4 -Z BAC - 60°= 30°,
•••/ F = 90°-/ BAC = 90°- 60°= 30°,
•••Z 3=/ F ,••• AD = DF ,
•••/ 4= 30°, EF 丄AC,
•- DE —AD , • DF = 2DE ;
(3)解：设O O与AC的交点为P,连接BP,
T AB为直径，• BP丄AC,由上知BD —BC —6= 3,
•AD 4,
S A ABC -BC?AD -AC?BP,
•••—6X 4 - 5X BP,
•BP 一，
•直角△ ABP 中，AP —-
•tan/ BAC ——一.
2
26. （12分）如图，抛物线y= ax+bx+4与x轴交于A （- 2, 0 ）、B （4、0）两点，与y轴
第仃页（共20页）
交于C点.
(1)求抛物线的解析式；
(2 )T是抛物线对称轴上的一点，且厶ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
(3)M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒-个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线I丄x轴交AC或BC于点P.求
点M的运动时间t与厶APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值.
【解答】解：(1)把 A (- 2, 0), B (4, 0)代入y = ax2+bx+4 得：
解得：a 一，b= 1,
2
•••抛物线的解析式是：y -X2+X+4 ,
答：抛物线的解析式是y -x2+x+4.
(2)由y -X2+X+4- (x- 1) 2-，得抛物线的对称轴为直线x= 1,
直线x= 1交x轴于点D，设直线x= 1上一点T ( 1, h),
连接TC、TA,作CE丄直线x= 1,垂足是E,
由 C (0, 4)得点E (1 , 4),
2 2 2 2 在Rt△ ADT 和Rt△TEC 中，由TA= TC 得
3 +h = 1 + (4- h),
•- h = 1,
• T的坐标是(1, 1),
答：点T的坐标是(1 , 1).
第仃页（共20页）
(3) (I)当0 v t w 2 时，△ AMP s\ AOC ,
•••————,PM = 2t,
AQ = 6 - t,
c 2 2
•- S —PM?AQ — 2t (6 - t)=- t +6t =-( t - 3) +9,
当t = 2时S的最大值为8;
(II)当 2 v t< 3 时，
作PM丄x轴于M，作PF丄y轴于点F ,
则厶COB s^ CFP,
又••• CO = OB,
• - FP = FC = t- 2, PM = 4-( t- 2)= 6 - t, AQ = 4 — (t- 2) —1+1 ,
2 2
•- S -PM ?AQ - (6 - t) (-t + 1) -t +4t+3 - (t -) —,
当t -时，S最大值为一,
综合(I) (II ) S的最大值为一，
2 答：点M的运动时间t与厶APQ面积S的函数关系式是S=-t+6t (0v t w 2) , S 2
-t +4t+3 (2v t w 3), S的最大值是—•。