四年级奥数第五讲_等差数列(二)_教师版
等差数列四年级数学ppt课件教案人教版
等差数列（二）等差数列的前n 项和的公式：2)(1÷+⨯=n n a a n S例1.（1）计算15 +16 +17+ … + 27 + 28（2）计算1 + 5 + 9 + 13 + 17 + … + 1993（3）计算1 + 3 + 5 + 7 + …+ 45 + 47 + 49练习1）计算1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50 2）计算100 + 99 + 98 + 97 + … +503） 计算3 + 7 + 11 + 15 + … + 99 4）计算89 + 88 + 87+ … + 3 + 2 +1例2.求首项是3，末项是179，公差是2的等差数列的和是多少？练习：求首项是5，末项是150，公差是5的等差数列的和是多少？例3.求出下列各数列共有多少项，并求出各数列的和。
(1)1、3、5、7、… 、45、47（2）200、202、…、298、300 （3）102、104、107、…、896、899例4.建筑工地有一批砖，码成如图的形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少快砖？这堆砖共有多少块？练习：1.小明读一本书，第一天读了25页，以后每天比前天多看了3页，看了20天刚好看完，这本书共有多少页？2. 某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？习题1.求出下列各数列共有多少项，并求出各数列的和。
（1）6、11、16、…、501 （2）11、12、13、…、2005、20062.求首项是8，末项是80，公差是4的等差数列的和3.小明从1月1日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写1个大字，问小明这个月共写了多少个大字？。
小学奥数：1-2-1-1 等差数列的认识与公式运用.教师版
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是 3 ， 那么每组有 3 个数，我们数列中的数都在每组的第 1 位，所以 46 应在最后一组第 1 位，4 到 48 有 48 4 1 45 项，每组 3 个数，所以共 45 3 15 组，原数列有 15 组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项 末项) 项数÷2
【例 6】 从 1 开始的奇数：1，3，5，7，……其中第 100 个奇数是_____。
【考点】等差数列的基本认识
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】略
【答案】199
【例 7】 观察右面的五个数：19、37、55、a 、91 排列的规律，推知 a =________ 。
【考点】等差数列的基本认识
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62
【答案】 62
【例 5】 已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多
少？
【考点】等差数列的基本认识
例题精讲
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版
第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。
引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。
首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。
所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？答:（25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。
小学四年级奥数配套课件 等差数列进阶
预备知识
3．计算：1＋10＋19＋…＋217
数例共有（217-1）÷9+1=25（项） 和为（1+217）×25÷2=2725
知识链接
求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2
例题二（★★）
3．计算：1＋2+3…+2013+2014+2013+…+3+2+1
原式=2014×2014=4056196
知识链接
1+2+3+…+（n-1）+n+n（n1）+…+3+2+1=n×n=n2
例题（二）（★ ★ ★ ）
3．计算：1＋3+5+…+2013
项数：（2013-1）÷2+1=1007 和：（1+2013）×1007÷2=1007×1007=10104049
知识链接
1+2+3+…+（n-1） =n×n=n2
知识链接 化未知为已知
例题（四）（★ ★ ★ ）
计算：1+3+3+6+5+9+7+12+…+25
25是数例1,3,5…的第（12-1）÷2+1=13项 数例3,6,9…的第12项是3+（12-1）×3=36 原式=（1+3+5+…+25）+（3+6+…36）
=13×13+（3+36）×12÷2 =169+234 =403
知识链接 双重数例——分开计算
例题（五）（★ ★ ★ ★ ）
四年级奥数-教师版-第五讲倒推法的应用题
/ 8 例6：“六一”儿童节,小明和小培从妈妈那儿分得一些糖，妈妈把糖分成相同的两份给他们，多的一个给自己留下了.小明在路上遇着自己的两个朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的两颗分别送给了两个朋友.过了一会儿,又遇上两个小朋友,他同样分给他们糖,多的两颗分给了他们,后来,他又遇上了两个朋友,分完糖之后,小明发现自己只剩下一颗糖了,请问妈妈原来有多少糖? 解析：最后一次分糖前小明有糖3+2=5颗；倒数第二次分糖前小明有糖5×3+2=17颗；倒数第三次分糖前小明有糖17×3+2=53颗；妈妈原来有糖53×2+1=107颗. 【巩固】A、B、C三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具，而B又将6个玩具给C，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个？ 解析：从三人的玩具数相等入手分析，可得到每人的玩具数为16348（个）。然后再看每人的玩具数是怎样得到的，最后用倒推法就使问题解决了。 解：16348 C：10616（个） B：148616（个） A：24816（个） 例7：甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？ 解析：解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克. 求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克. 解：①甲乙两桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克） ②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克） ③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克） 用倒推法画图如下：
最新四年级奥数----等差数列求和二
第四周巧妙求和专题解析：前面我们学习了等差数列求和，其实生活中某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，要先判断是否是求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，就可以用等差数列公式求和。
某一项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项－首项）÷公差 + 1总和=（首项+末项）×项数÷2例题1：计算1+3+5+7+……+197+199【思路导航】仔细观察发现，这个算式是一个等差数列求和的问题，公差为2，再根据项数=（末项－首项）÷公差 + 1来求得项数是多少，然后根据公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 ，即得到算式总和。
解：公差为2，项数=（199-1)÷2+1=100,总和：（1+199）×100÷2=10000。
练习1：（1）计算：2+6+10+14+……+398+402 （2）计算：5+10+15+20+……+195+200（3）计算：1+11+21+31+……+1991+2001+2011 （4）计算：100+99+98+……+61+60例题2：计算：（2+4+6+……+98+100）-（1+3+5+……+97+99）【思路导航】我们可以发现，被减数和减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
练习2：计算下面各题。
（1）（2+4+6+......+2000）-（1+3+5+ (1999)（2）（2001+1999+1997+1995）-（2000+1998+1996+1994）（3）1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例题3：王俊读一本小说，他第一天读了30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？练习3：（1）（2）刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？（3）（4）一个电影院的第一排有17个座位，以后每排比第一排多2个座位，最后一排有75个座位，这个电影院共有多少个座位？（5）（6）赵玲读一本书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完，这本书有多少页？。
四年级奥数等差数列求和ppt课件
18
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
例 计算 (1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
一、等差数列的基本知识
1
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276 分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
什么是数列？
按一定规律排列的数 是一列数，可以有限，可以无限 1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
2
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
小学奥数-等差数列PPT课件
CHENLI
15
• 有一组数列如下：5、9、13、17、21、 …325、329你能求出这组数列共有多少个 数吗？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82
• 拓展1. 39个连续奇数的和是1989,其中最大 的一个奇数是多少
• 答：因为39个连续奇数之和为1989,所以中间一个数是这39个数的
第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375
…… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=36 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2
=4+3 ×(20-1)=61
（2）298是这个数列中的第几项？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99
CHENLI
8
求 和 ： 和 = （首项+末项）×项数÷2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99 =（1+99）×99÷2 = 9900÷2 = 4950
平均数,1989÷39=51,
• 比51大的另外19个奇数为:53,55,57,…,87,89.或用末项=首项+公差 × （项数-1）
• 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一个奇数为89.
CHENLI
四年级下册数学试题-奥数练习：第五讲 等差数列进阶 全国通用
第五讲等差数列进阶必会点1 应用题式等差数列【例1】某电影院一共有28 排座位,后一排比前一排多一个座位．最后一排有30 个座位．这个电影院一共有多少座位？【练一练】有若干学生围成8 圈（一圈套一圈）,从外圈到内圈,人数依次减少4 人．如果最内圈有20 人,共有多少学生？必会点 2 已知和问题,奇数项问题和偶数项问题【例2】（1）节日期间在一个七层楼房上安装彩灯,共安装彩灯777 盏,已知从第二层开始, 每一层都比下一层少安装 6 盏,那么最上面一层安装多少盏灯？（2）节日期间在一个八层楼房上安装彩灯,共安装彩灯888 盏,已知从第二层开始,每一层都比下一层少安装 6 盏,那么最上面一层安装多少盏灯？【练一练】（1）有若干学生围成7 圈（一圈套一圈）,从外圈到内圈,人数依次减少4 人．如果共有280 名学生,最外圈有多少人？（2）有若干学生围成8 圈（一圈套一圈）,从外圈到内圈,人数依次减少4 人．如果共有304 名学生,最外圈有多少人？必会点 3 经典拆添项计算【例3】计算：1＋2＋4＋5＋7＋8＋……＋37＋38＋40【练一练】计算：1＋2＋5＋6＋9＋10＋……＋37＋38难题拓展部分模块1 等差数列缩项技巧1.一个等差数列,前6 项的和是35,前12 项的和是88,那么,前24 项的和是多少？【练一练】一个等差数列共30 项,已知后5 项比前5 项大40,第16 项至第20 项的和刚好是124,那么,这个等差数列的和是多少？模块 2 等差数列通法2.一个等差数列共6 项,已知前两项的和比第3 项大1,后3 项的和比第2、3 项的和大41, 那么,这个等差数列的和是多少？【练一练】一个等差数列共9 项,已知它的第3 项是24,等差数列的总和是第6 项的8 倍,那么,这个等差数列的最后一项是多少？【综合】一个等差数列共25 项,如果它的前10 项比后5 项的和大2,后10 项比前5 项的和大200,那么,这个等差数列的和是多少？模块 3 等差数列与估算3.四年级一班期末数学考试中,前8 名的成绩恰好构成一个等差数列．已知考试满分100 分,每个同学的得分都是整数,如果这8 名同学的总分是600 分,那么第8 名同学最少得了多少分？【练一练】三年级一班期末数学考试中,前10 名的成绩恰好构成一个等差数列．已知考试满分100 分, 每个同学的得分都是整数,而且第3、4、5、6 名同学一共得了354 分,那么第10 名同学最少得了多少分？。
全国通用四年级上册奥数培训精品课件等差数列求和共35张PPT
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
例2 已知数列2、5、8、11、14、 17，......122,这个数列有多少项。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （122-2）÷3+1=41
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。 （1）它的第21项是多少? （2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例2：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
等差数列二
复习
1、计算
（1）7+10+13+16+...+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
小学奥数讲义-等差数列的认识与公式运用
本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。
要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。
四年级奥数等差数列
四年级奥数等差数列等差数列知识导航1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?思路点拨仔细观察可以发现这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得出答案。
模仿练习（1）有一个数列:2,6,10,14,…,104,这个数列共有多少项?（2）有一个数列:5,8,11,…,98,这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？思路点拨仔细观察可以发现这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答，由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得出答案模仿练习（1）求等差数列2,5,8,11,…的第100项是多少？（2）求1,5,9,13,…的第3O项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+98的和。
思路点拨仔细观察该数列，公差为2，首项是2,末项是100,所以可以用等差数列的求和公式来求。
总和=(首项+末项)×项数÷2模仿练习（1）计算1+2+3+4+…+58+59的和。
（2）5+10+15+20+⋯+190+195的和。
铜牌练习1. 在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?2. 求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
3. 一个等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?银牌练习4. (1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少？金牌练习6. 小强读一本书，第一天读了20页，以后每天都比前一天多读2页，最后一天读了88页正好读完。
四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版
第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。
引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。
首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。
所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？答: （25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷2=52(根)。
四年级秋季上HT【教师版】-第五讲
40在前一讲中，我们主要学习了如何用假设法来解决鸡兔同笼问题，而除了假设法之外，分组法也是解决鸡兔同笼问题的一种重要方法．所谓“分组”，就是把一定个数的鸡和兔子“捆”在一起来考虑．比如把1只鸡和1只兔子“捆”在一起的话，那么这样一“捆”动物就有2个头和6条腿，两“捆”就有4个头和12条腿．在计算时，只要通过头数或腿数就能算出“捆”数，从而求出对应的鸡和兔子的数量．利用分组法可以解“已知头差或头的倍数关系”的鸡兔同笼问题．此法的关键在于根据题目中的倍数关系去进行恰当的分组．1.笼中有鸡和兔，共有脚240只，兔的只数与鸡的只数相同．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】40；40【解析】一鸡一兔为一组，则每组有4＋2＝6（只）脚240÷（4＋2）＝40（组）．注：当头数一样时，脚的数量关系：兔子是鸡的2倍．2.笼中有鸡和兔，共有脚96只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则还有96只脚．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】16；16【解析】鸡兔数量相同，各：96÷（4＋2）＝16（只）．第5讲鸡兔-分组法知识地图知识探究例13.笼中有鸡和兔，共有脚248只，兔的只数比鸡的只数少52只．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】76；24【解析】先转化成兔的只数等于鸡的只数的情况，那么248－52×2＝144（只）脚中兔的只数等于鸡的只数，所以兔：144÷（4＋2）＝24（只）；鸡：24＋52＝76（只）．练一练笼中有鸡和兔，共有脚126只，兔的只数比鸡的只数少12只．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】29；17【解析】先转化成兔的只数等于鸡的只数的情况，那么126－12×2＝102（只）脚中兔的只数等于鸡的只数，所以兔：102÷（4＋2）＝17（只）；鸡：17＋12＝29（只）．4.笼中有鸡和兔，共有头90个，鸡的脚数与兔的脚数相同．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】60；30【解析】2鸡和1兔的脚数相同，为一组，每组3只动物，兔：90÷（1＋2）＝30（只）；鸡：30×2＝60（只）．注：当脚数一样时，头的数量关系：鸡是兔子的2倍．415.笼中有鸡和兔，共有头100个，鸡的脚数比兔的脚数少28只．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】62；38【解析】先转化成鸡的脚数与兔的脚数相同的情况，100－28÷4＝93（个）头中鸡的脚数与兔的脚数相同，93÷（2＋1）＝31（只），所以兔：31＋7＝38（只）；鸡：31×2＝62（只）．426.（1）鸡兔同笼，鸡的数量是兔子的4倍，总共120条腿，那么鸡有________只．（2）鸡兔同笼，兔子比鸡的3倍多4只，总共156条腿，那么鸡有________只．（3）鸡兔同笼，兔子数量是鸡的3倍，且兔子的腿数比鸡腿数多90条，那么鸡有________只．（4）鸡兔同笼，兔子数量是鸡的3倍多2只，且兔子的腿数比鸡腿数多128条，那么鸡有________只．【答案】40；10；9；12【解析】（1）把1只兔子和4只鸡分成一组，有12条腿，则兔子：120÷12＝10（只），鸡：10×4＝40（只）；（2）先减去4只兔子的腿，156－4×4＝140（条），把3只兔子和1只鸡分成一组，有14条腿，则鸡：140÷14＝10（只），兔子：10×3＋4＝34（只）；（3）把3只兔子和1只鸡分成一组，则每一组里兔子的腿数比鸡的腿数多10条，则鸡：90÷10＝9（只）；（4）当兔子数量是鸡的3倍时，兔子的腿数比鸡的腿数多120条，则如上题可得鸡12只．7.笼中有鸡和兔，共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】14；18【解析】第一组共100只脚，第二组共92只脚，两组合在一起，鸡兔数量一样多．可知（100＋92）÷（2＋4）＝32（只）．再用假设法来解题，（32×4－100）÷（4－2）＝14只鸡，32－14＝18只兔．也可也像下面举一反三的那种办法通过研究两种动物之间的数量差来解决问题．笼中有鸡和兔，共有脚120只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚102只．那么，鸡有________只，兔有________只．【答案】14；23【解析】将鸡换成兔，兔换成鸡，少了120－102＝18只脚，每把一只兔换成鸡就少了4－2＝2只脚，所以少的18只脚是18÷（4－2）＝9只兔子的，即兔子多9只．那么，鸡：（120－9×4）÷（2＋4）＝14（只），兔：14＋9＝23（只）．练一练例2438.现在有面值5元和面值20元的人民币共520元，其中20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍．则5元、20元面值的人民币各有________张、________张． 【答案】8；24【解析】方法一：由于20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍，所以每3张20元人民币就有一张5元人民币，把这四张人民币做为一组，面值是20×3＋5＝65（元）．考虑520元里有520÷65＝8（张）65元，就相当于有8张5元面值的人民币，因此20元面值的人民币有8×3＝24（张）．方法二：还可以从倍数关系应用题角度思考．一张20元人民币是一张5元人民币面值的20÷5＝4倍，又20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍，所以20元面值的人民币的总钱数是5元面值人民币的4×3＝12倍．由和倍问题可得5元人民币的总钱数是520÷（1＋12）＝40（元），有40÷5＝8（张）；20元面值的人民币有8×3＝24（张）．9.一个旅社共有大小房间60间，每个小房间可以住3人，比大房间少住3人．现已知大房间一共可以比小房间多住36人．问这家旅社有大房间________间，小房间________间．【答案】24；36【解析】大房间可以住3＋3＝6（人），方法一：假设都是大房间，那么大房间比小房间多住6×60＝360（人），比已知的36人多了360－36＝324（人），如果把一个大房间换成一个小房间，则大房间人数减少6，小房间人数增加3，即人数差减少3＋6＝9（人），则小房间有324÷9＝36（间）；方法二：如果补上小房间少的36人，相当于补上了36÷3＝12（间）小房间，此时，大小房间的人数一样多，由于一间大房间人数是一间小房间人数的6÷3＝2倍，所以小房间数是大房间数的2倍，即大房间有：（60＋12）÷（2＋1）＝24（间）．1.师徒二人合作加工赶制一批零件．师傅每小时加工零件200个，徒弟每小时加工120个，中途师傅由于疲劳休息了3小时．工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了200个零件．师徒二人共加工了________个零件． 【答案】2600拓展提升44【解析】方法一：由于师徒二人的工作时间都不知道，所以不妨假设徒弟工作了8小时，那么师傅做了200×（8－3）＝1000（个）零件，比徒弟多做了1000－120×8＝40（个），这比已知的200个少了200－40＝160（个），而徒弟每小时比师傅少做200－120＝80（个），所以160÷80＝2（时），因此徒弟工作了8＋2=10（时），师徒二人一共做了120×10×2＋200＝2600（个）零件．方法二：如果让师傅再工作3小时，那么师徒二人就工作了同样的时间．师傅就比徒弟多做了200×3＋200＝800（个）零件，所以徒弟工作了800÷（200－120）＝10（时），从而求出共加工了2600个零件．2.在某一场足球比赛中售出300元、500元、600元门票共200张，收入85000元．其中300元门票张数是600元门票张数的2倍，600元的售出张．【答案】50【解析】将300元门票张数和600元门票看成一种（300×2＋600）÷（2＋1）＝400元的门票．假设售出的都是500元的，那么应该收入500×200＝100000（元），但是实际收入85000元，多看了100000－85000＝15000（元），因为每份多看了500－400＝100（元），那么多看了15000÷100＝150张400元的门票，所以150张是300元门票和600元门票一共的张数，又300元门票张数是600元门票张数的2倍，那么600元门票张数为：150÷（2＋1）＝50（张）．3.有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123．那么，黄色卡片有________张．【答案】11【解析】开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡片，那么数字之和为：2×100＝200，比实际的少：234－200＝34．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会增加：3－2＝1．那么，黄色和绿色卡片之和：34÷1＝34（张），红色卡片有：100－34＝66（张）．翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2．红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：123－1×66＝57．如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字之和为：1×34＝34，比实际的少：57－34＝23．每增加一张绿色卡45片，数字之和就会增加：2－1＝1，所以，绿色卡片有：23÷1＝23（张），黄色卡片有：34－23＝11（张）．1.一列数1、3、6、10、15、21……，从第二个数开始，每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和，那么，第2014个数是________． 【答案】2029105【解析】第2014个数就是1到2014的和：（1＋2014）×2014÷2＝2029105．2.把一个☆放在一个“7×7”的方格中，如图，则含有☆的小方格组成的正方形个数随☆的放法而改变．在所有的放法中，含有☆的正方形个数最少有________个，最多有________个．【答案】7；44【解析】放在四个角上最少：7个；放在中间最多：1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1＝44．发散训练谜题大战六宫数独：每行、每列、每个粗线宫格内均含1～6，不能重复．4647猜珍珠阿凡提运用他的聪明才智为人民行侠仗义，无情地嘲弄那些残暴而又愚昧无知的封建统治者，那些老爷们对阿凡提恨之入骨．一天，国王召阿凡提进宫，煞有介事地对阿凡提说：“阿凡提先生，听说你经常在外面讲我的坏话，这样吧，人们都说你很聪明，我这里有一个问题，你如果能解答出来，我就释你无罪，如果答不出来，那就加重处罚．”原来，国王想用这个办法作借口来报复阿凡提．国王让人拿来了三个盒子，对阿凡提说：“这三个盒子中只有一个盒子里放着我的一粒珍珠．每个盒子上各写着一句话，但只有一句真话，其余都是假话．你给我找出珍珠在哪个盒子里．”阿凡提一看，第一个盒子是红色的，上面写着：“珍珠在这里”；第二个盒子是蓝色的，上面写着：“珍珠不在红盒子里”；第三个盒子是黄色的，上面写着：“珍珠不在这里”．阿凡提看完了盒子上的字，略一沉思，马上就指出了珍珠在哪个盒子里．国王和手下大臣一听，一个个都惊讶得半天说不出话来．国王只好把阿凡提放了．聪明的小读者，你能找出珍珠在哪个盒子里吗？在现实生活中，任何事情都遵循一个规律，要么是这，要么是那，不可能两者都是，这一规律叫排中律．如果珍珠在红盒子中，自然珍珠便不在黄盒子中，那么红盒子上的话和黄盒子上的话都是真话，这与“只有一句是真话”相矛盾，所以这是不可能的．如果珍珠在蓝盒子中，自然珍珠就不在红盒子和黄盒子中，那么蓝盒子和黄盒子上的话也都是真话．因此，这也是不可能的．因为珍珠在三个盒子中的一个盒子里，既然不在红盒子和蓝盒子里，那么一定在黄盒子里．数里数外学习心得需要掌握的知识点：需要复习的题目：48。
最新四年级奥数等差数列
等差数列知识导航1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和项数=（末项-首项)÷公差+1末项= 首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数精典例题例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?思路点拨仔细观察可以发现这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得出答案。
模仿练习（1）有一个数列:2,6,10,14,…,104,这个数列共有多少项?（2）有一个数列:5,8,11,…,98,这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？思路点拨仔细观察可以发现这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答，由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得出答案模仿练习（1）求等差数列2,5,8,11,…的第100项是多少？（2）求1,5,9,13,…的第3O项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+98的和。
思路点拨仔细观察该数列，公差为2，首项是2,末项是100,所以可以用等差数列的求和公式来求。
总和=(首项+末项)×项数÷2模仿练习（1）计算1+2+3+4+…+58+59的和。
（2）5+10+15+20+⋯ +190+195的和。
铜牌练习1.在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?2.求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五讲等差数列（二）
解题方法
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？
提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、 (76)
78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）
答：这本书共有1470页。
引申
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。
首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷1+1=19。
所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×19÷2=228(个) 答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？
答:（25+63）×20÷2=880（个）
3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?
答：这个等差数列共有29项。
例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:
3+4+5+…+9+10
=(3+10)×8÷2
=13×8÷ 2
=52(根)。
答：这堆钢管一共有52根。
引申
1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？
答案：2485根。
2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一
个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等
边三角形中一共要放多少根火柴棒?
解:如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。
不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。
求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。
即: 3+6+9+…+30
=(3+30) × 10÷ 2
=33× 5
=165(根)
答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。
3、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?
答案：55个
例题3 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，
即 49+48+47+…+2+1
=(49+1)×49÷ 2
=1225(次)
答：至多要试1225次。
引申
1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
解：59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)
2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
答:一共有8把锁的钥匙搞乱了。
3、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
答：第11站后，车上坐满乘客。
例题4四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
提示：假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。
握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。
解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即 44+43+42+…+3+2+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：同学们共握了990次手。
引申
1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
答案: 15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）
2、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？
解：根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。
所以，一共握手的次数为：
52+51+50+…+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）。