山东省武城县第二中学高二数学上学期第三次月考试题

高二数学上学期（文科）月考试题
2016.1.16
一、选择题
1.在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，则“A B ≤”是sin sin A B ≤的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分不必要条件
2.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A ．若//m α，//n α，则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
3.直线310ax y --=与2
()103
a x y -++=垂直，则a 值是（ ）
A ．－1或
1
3
B ．1或
13 C ．13-或－1 D ．13-或1 4.过点P （－2,4）作圆22
(2)(1)25x y -+-=的切线l ，直线:30m ax y -=与l 平行，则l 与m 的
距离为（ ）
A ．4
B ．2
C ．
85
D ．
125
5.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线230x y +-=，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．5或
54
B ．5或
52 C ．3或32 D ．5或53 6.在平面直角坐标系中，不等式组20,20,2.x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积是（ ）
A ．42
B ．4
C ．22
D ．2
7.下列求导运算正确的是（ ）
A ．211
()12x x x '+=+
B ．21
(log )ln 2
x x '=
C ．3(3)3log x x
e '=
D ．2
(cos )2sin x x x x '⋅=-
8.设抛物线2
12x y =的焦点为F ，经过点(2,1)P 的直线l 与抛物线相交于A B 、两点，又知点P 恰为AB 的中点，则||||AF BF +=（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9.已知3
2
()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小
值是（ ）
A ．－37
B ．－29
C ．－5
D ．以上都不正确
10.已知椭圆22
22:1x y E a b
+=(0)a b >>的右焦点F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交
3
3
2
2
2
椭圆E 于,A B 两点，若||||4AF BF +=，点M 到直线l 距离不小于4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ．3(0,
]2
B ．3(0,]4
C ．3
[
,1)2
D ．3[,1)4
二、填空题
命题
11.命题“若0xy =，则2
2
0x y +=”与它的逆命题、否命题、逆否中，真命题的个数为
.
12.右图是一个几何体的三视图，其表面积是
13.以(1,1)-为中点的抛物线2
8y x =的弦所在直线方程为
.
14.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆2
2
(1)()4x y a -+-=相交于,A B 两
点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = .
15.已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为
.
三、解答题
16.已知两条直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=确定,m n 的值使
（1）12//l l ；
（2）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为－1.
17.设命题:P 实数x 满足22430x ax a -+<其中0a <，命题:q 实数x 满足2
280x x +->且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
18.如图（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图（2）.
（1）求证：//DE 平面1A CB ；
（2）求证：1A F BE ⊥；
19.设3
2
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点（1，－11）， （1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性
20．已知定点(0,1)F 和直线1:1l y =-，过定点F 且与直线1l 相切的动圆的圆心为点C .
（1）求动点C 的轨迹方程； （2）过点F 的直线2l 交轨迹于两点,P Q ，交直线1l 于点R ，求RP RQ ⋅u u u r
最小值，并求此时的
直线2l 的方程.
21.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2
2，1F 、2F 为其左、右焦点，过1F 的直线
l 交椭圆于A 、B 两点，12F AF ∆的周长为2(21).
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）；
（3）直线m也过
1
F且与椭圆交于C、D两点，且l m
⊥，设线段AB、CD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
高二数学上学期（文科）月考试题
2016.1.16 一、选择题
1－5 A B D A B 6－10 B B C A A
二、填空题
11、2个12、12π13、430
x y
+-=
14、415
±15、3
三、解答题
16、解：（1）0
m=时易得
12
l l
⊥，0
m≠时，若
12
//
l l，则
8
21
m n
m
=≠
-
（3分）
4
2
m
n
=
⎧
⇒⎨
≠-
⎩
或
4
2
m
n
=-
⎧
⎨
≠
⎩
…………………………………………………………（6分）
（2）12
280
l l m m
⊥⇒+=
⇒
m=0
……………………………………………………（9分）
此时1
:1
8
8
n
l y
n
=-=-
⇒=
∴0,8
m n
==…………………………………………………………………（12分）
17、解：:(3)()0
p x a x a
--<，即:3(0)
p a x a a
<<<
…………（3分）
:(2)(4)0
q x x
-+>，即:2
q x>或4
x<-………………………………（6分）
∵p
⌝是q
⌝的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件。

…………（9分）
∴4
a≤-………………………………………………………………………（12分）
18、证明：（1）易知DE//C B DE⊄平面A1CB CB⊂平面A1CB
∴DE//平面A1CB…………………………………………………………（5分）
（2）易知
11
,,
DE A D DE DC A D DC D
⊥⊥=
I
∴DE⊥平面A1CD，………………………………………………（8分）
又∵A1F⊆平面A1CD
3a a－4 2
∴DE ⊥A 1F ，又∵A 1F ⊥CD 且CD I DE ＝D
∴A 1F ⊥平面DCBE ，………………………………………………（10分） 又∵BE ⊂平面DCBE
∴A 1F ⊥BE …………………………（12分）
19、解：（1）(1)111
(1)123f a f b =-=⎧⎧⇒⎨
⎨
'=-=-⎩⎩………………………………（6分） （2）322
()39()369f x x x x f x x x '=--⇒=--…………………………（8分） ()01f x x '>⇒<-或3x >，()013f x x '<⇒-<<……………………（10分） ∴()f x 在(,1)-∞-和（3,+∞）上是增函数，()f x 在（－1,3）上是减函数。

（12分） 20、解：（1）易知C 的轨迹为以F 为焦点1l 为准线的抛物线………………（3分） 122242
p
p =⇒=⨯=，∴方程为24x y =…………………………………（6分） （2）设211222
:1,(,),(,)(,1)l y kx p x y Q x y R k
=+--
212122
1
440,4,44y kx x kx x x k x x x y
=+⎧⇒--=+==-⎨=⎩， 22
2
21212121212()1,()2424416x x x x y y y y k x x k =⋅==+=++=+……………（9分）
∴2
11222221(,1)(,1)84()16RP RQ x y x y k k k k ⋅=++⋅++==++≥u u u r u u u r L …（11分）
当2
1k =即1k =±时，RP RQ ⋅u u u r u u u r 取最小值，此时2:1l y x =±+…………（13分）
21、解：（1）2
221222(21)c a a c a c ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪
⎩⎪+=⎩，∴22222,1a b a c ==-=， ∴方程为2
212
x y +=……………………………………………………………（4分） （2）可设:1l x ky =-，22
22
1(2)21012
x ky k y ky x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩
221222
288288
2(1)2(1)
k k k k y y k k +++⇒==++…………………………………（6分） ∴S △AOB ＝11
221122211881
||||22
AOF BOF k k S S OF y y k ∆∆+++=⋅-==+ 2222222222
111
222(2)[(1)1](1)2(1)1
k k k k k k k +++==+++++++22
1
12
2
2
1
222
(1)21
k k =+++
++
（当且仅当2
2
1
11
k k +=
+，即0k =时等号成立），所以△AOB 面积的最大值为2
2
……………………………………………………………………（10分） （3）过定点2
(,0)3
-可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上。

在0,1k k ≠≠±的情况下，
设直线l 的方程为：1x ky =-，直线m 的方程为：1
1x y k
=--。

由（Ⅱ）得，122
22
M y y k
y k +==+， 故2221,22M k x k k k -=-=++即222(,)22k
M k k -++，
则22
22(,)2121
k k
N k k --++…………………………………………………………（12分） 可得直线MN 的方程：222222222221(),222121
221
k k
k k k k y x k k k k k --+++=+--++-
++ 即222232()212(1)21k k k y x k k k +=++-+，则222232()2(1)2121k k k
y x k k k =+--++
22222322(k 1)[x ]2(k 1)21213k k k y k k k -=+-⋅-++，即2
32(x )2(k 1)3
k y =+-， 故直线MN 过定点2(,0)3-（或令0y =，即得2
3
x =-）
易验证当0,1k k ==±时，结论仍成立。

综上，直线MN 过定点2
(,0)3
-…………………………………………（14分）。