云南高三高中数学月考试卷带答案解析

云南高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知复数：，则（）
A．2B．C．D．1
2.已知集合，则等于（）
A．B．C．D．
3.已知满足约束条件则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
4.已知是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5.设是公差不为0的等差数列的前项和，若，则（）
A．B．C．D．
6.已知斜率为2的直线双曲线交两点，若点是的中点，则的离心率
等于（）
A．B．C．2D．
7.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系
中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标可能为（）
A．（1，1，1）
B．
C．
D．
8.设，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
9.已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（）
A．B．
C．D．
10.执行右面的程序框图，如果输入的．那么输出的=（）
A．
B．
C．
D．
11.己知为函数的导函数，则下列结论中正确的是（）
A．且，
B．且，
C．
D．
12.过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于四点，则四边形面积的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________.
2.在中，．点M满足，则______.
3.若等比数列满足，则的前n项和________.
4.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.
三、解答题
1.已知中，内角所对边长分别为，.
(I)求；
(II)若，求的面积.
2.在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如下茎叶图所示：
(Ⅰ)从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(II)从乙的6次培训成绩中随机选择2个，试求选到123分的概率．
3.如图，在直三棱柱中，分别为、的中点，为上的点，且
(I)证明：∥平面；
(Ⅱ)若，，求三棱锥的体积.
4.设抛物线的焦点为，准线为，，以为圆心的圆与相切于点，的纵坐标为，是圆与轴除外的另一个交点.
(I)求抛物线与圆的方程；
(II)过且斜率为的直线与交于两点，求的面积．
5.己知函数 .
(I)求的极大值和极小值；
(II)当时，恒成立，求的取值范围.
6.如图所示，己知为的边上一点，经过点，交于另一点，经过点，，交
于另一点，与的另一交点为.
(I)求证：四点共圆；
（II)若切于，求证：.
7.在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.
(I)写出直线的参数方程；并将曲线的方程化为直角坐标方程；
(II)若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围．
8.己知函数.
(I)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；
(II)若关于的一元二次方程有实根，求实数的取值范围.
云南高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知复数：，则（）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】化简，则，故选C.
【考点】1.复数的化简；2.复数的模长.
2.已知集合，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解，，则，故选B.
【考点】1.解不等式；2.集合的并集求解.
3.已知满足约束条件则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】题中所给约束条件的可行域如下图：
由图可知，经过点时取最小，且，故选B.
【考点】1.线性规划求最值.
4.已知是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】由A可知，不能得到，与可以相交，可以平行，故A不正确；由B可知，不能得到，可以与平行，垂直，还可以在面内，故B不正确；由C可知得到与可以平行，可以在面内，故C不正确；D正确.
【考点】1.线线、线面平行的判定；2.线线、线面垂直的判定.
5.设是公差不为0的等差数列的前项和，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，所以，而
，故选A.
【考点】1.等差数列基本量的求解；2.等差数列前n项和.
6.已知斜率为2的直线双曲线交两点，若点是的中点，则的离心率
等于（）
A．B．C．2D．
【解析】设，带入双曲线得，相减得，即
，化简得，即，所以，则离心率
，故选A.
【考点】1.双曲线离心率的求解；2.设而不求思想的应用.
7.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系
中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标可能为（）
A．（1，1，1）
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】题中所给的四个点都是在底面上，那么第五个点则是顶点，根据三视图可知，其，，则，故选C.
【考点】1.空间直角坐标系的考查；2.对三视图的识别.
8.设，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由分数指数幂与根式的关系知：，从而易知，故选A.【考点】1.分数指数幂与根式的互换；2.比较大小.
9.已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（）
A．B．
C．D．
【解析】由的最小正周期为2知，解得，即，又，解得，所以，向左平移个单位得，
故选A.
【考点】1.求解三角函数的解析式；2.三角函数的平移变换.
10.执行右面的程序框图，如果输入的．那么输出的=（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当，则；当，
则；当，
则；……；当，
则，故选C.
【考点】1.对框图的理解与认识；2.数列的求和.
11.己知为函数的导函数，则下列结论中正确的是（）
A．且，
B．且，
C．
D．
【答案】D
【解析】通过求导，易知在上单增，上单减，上单减，上单增.图像如下，从而能
够判断出A，B不正确；可见D是正确的，故选D.
【考点】1.函数单调性的求解；2.函数的极值判断.
12.过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于四点，则四边形面积的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当两条直线斜率都存在时，设直线的方程为，与椭圆联立后得：
，设，则
，，
同理，所以，
因为，所以，故选D
【考点】1.椭圆中关于方程组的联立；2.弦长公式以及四边形面积的求法.
二、填空题
1.投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________.
【答案】
【解析】向上抛掷两颗筛子的基本事件总数为，两颗筛子向上点数之积为12的基本事件有
，共为4，则其概率为.
【考点】1.古典概型的计算.
2.在中，．点M满足，则______.
【答案】
【解析】由题意，三角形的形状如下图，且
.
【考点】1.平面向量的数量积运算.
3.若等比数列满足，则的前n项和________.
【答案】
【解析】，所以，而，所以，则
.
【考点】1.等比数列的基本量的求解；2.等比数列的前项和的求解.
4.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.
【答案】
【解析】圆锥与球的截面如下图，设球的半径为，则圆锥底面圆的直径为，圆锥底面面积为
，圆锥的侧面面积为，所以圆锥的表面积为，球的表面积为，所以其面积比为.
【考点】1.圆锥与球的表面积；2.球与其内接几何体的关系.
三、解答题
1.已知中，内角所对边长分别为，.
(I)求；
(II)若，求的面积.
【答案】(I)；(II).
【解析】(I)直接利用正弦定理，带入值计算出；(II)首先用到三角形内角和定理以及诱导公式求出，然后再利用正弦定理求出，最后常用的三角形面积公式，代入已知量求出面积的值.
试题解析：(I)由正弦定理，得, ∵，∴，∴，则，∴.
(II)由(I)知，在中，,
∵，∴,
∴的面积.
【考点】1.正弦定理；2.三角形面积公式.
2.在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如下茎叶图所示：
(Ⅰ)从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(II)从乙的6次培训成绩中随机选择2个，试求选到123分的概率．
【答案】（I）选择乙；（II）.
【解析】（I）根据茎叶图，写出两个同学的成绩，对于这两个同学的成绩求出平均数，结果两人的平均数相等，再比较两个人的方差，得到乙的方差较小，这样可以派乙去，因为乙的成绩比较稳定．（II）从乙的6次培训成绩中随机选择2个，试求选到123分的概率，首先要计算“从乙的6次培训成绩中随机选择2个”的事件个数，再计算“选到123分”的事件个数，代入古典概型公式即可求解.
试题解析：（I）；.
；.
所以，甲乙两方的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥的更稳定，则选择乙.
（II）从乙的6次培训成绩中随机选择2个，共有15个基本事件，分别是：
{102,105}，{102,112}，{102,113}，{102,117}，{102,123}，
{105,102}，{105,113}，{105,117}，{105,123}，{112,123}，
{112,117}，{112,123}，{113,117}，{113,123}，{117,123}，
其中满足条件的基本事件有5个，故所求的概率.
【考点】1.茎叶图；2.平均数与方差；3.列举法.
3.如图，在直三棱柱中，分别为、的中点，为上的点，且
(I)证明：∥平面；
(Ⅱ)若，，求三棱锥的体积.
【答案】(I)平面；（II）.
【解析】(I)取线段的中点，证明平面∥平面，就可以证明平面；
（II）根据以及余弦定理求出，而，所以，平面，那么就可以根据等体积公式得到.
试题解析：（I）取线段的中点，并连接、,则,，
,,平面平面
平面,平面.
（II）已知，由余弦定理知，解得,而，所以,，平面.
.
【考点】1.线面平行的证明；2.三棱锥体积的计算.
4.设抛物线的焦点为，准线为，，以为圆心的圆与相切于点，的纵坐标为，是圆与轴除外的另一个交点.
(I)求抛物线与圆的方程；
(II)过且斜率为的直线与交于两点，求的面积．
【答案】(I)抛物线为：，圆的方程为：；( II).
【解析】(I)根据抛物线的方程与准线，可得，由的纵坐标为，的纵坐标为，即
，则，由题意可知：，则在等腰三角形中有
或，由于不重合，则.则抛物线与圆的方程就得
出.
(II)对于圆锥曲线中求面积题目，第一求出弦长，第二求出点到直线距离即可，根据题意可写出直线方程，联立得或，则，由点到直线距离得即
.
试题解析：(I)根据抛物线的定义：有由的纵坐标为，的纵坐标为
，，则，又由得，
则抛物线为：，圆的方程为：
(II) 根据题意可写出直线方程，联立得或，则，
由点到直线距离得即.
【考点】1.抛物线定义以及抛物线与直线间的关系，2.求面积问题.
5.己知函数 .
(I)求的极大值和极小值；
(II)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（I)的极大值为和；的极小值为
.(II)的取值范围是.
【解析】（I) 易知函数定义域为，在上讨论的极值先求导，列
出的正负表，再根据函数的单调性和极值与倒数的关系即可求出极值.
（II) 本题是不等式恒成立求参数范围问题，一般思路是化简-分类讨论，但本题中化简后为
，如果用即换元后为讨论起来更简单.分别讨论 时，化简为； 时，恒成立；‚时化简为三种情况，运用均值不等式求出范围即可.
试题解析：（I) 函数，知定义域为,.
所以的变化情况如下：
所以的极大值为和；的极小值为. （II) 当时，恒成立，化简为，令
则，代入化简为.•当时，即，等价于
由，当且仅当时，即等号成立.所以的取子范围是； 当时，即，不等式恒成立；ƒ当时，即，
等价于由，当且仅当时，即
等号成立.所以的取子范围是；综上的取值范围是.【考点】1.极值的求法；2.含参不等式恒成立问题.
6.如图所示，己知为的边上一点，经过点，交于另一点，经过点，，交
于另一点，与的另一交点为.
(I)求证：四点共圆；
（II)若切于，求证：.
【答案】(I)四点共圆；（II).
【解析】(I)要证四点共圆，只需找出四边形中一组对角之和为，连接，则四边形分别内接于，则，而，故，从而四点共圆；（II)要证明，需要根据题中给定的角度相关关
系解决，由（1）知四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，则,而切于，则
弧所对的角与弦切角相等，故，得证.
试题解析：证明：(I)如图，连接，四边形分别内接于，
，又，，所以
四点共圆；
（II)四点共圆，，因为切于，，所以，得证.
【考点】1.四点共圆的证明；2.圆的平面几何性质应用.
7.在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负
半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.
(I)写出直线的参数方程；并将曲线的方程化为直角坐标方程；
(II)若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围．
【答案】(I)（为参数）；.(II).
【解析】(I)根据直线的参数方程公式已知，直线的参数方程为（为参数）；要转化曲线的极坐
标方程，只需在等式两边同乘，得，故；( II)具体做法可以将直线转化成直角坐标方
程形式或者直接带入，也可以直接将直接带入，而且都和参数有关，所以可以可以直接将带入，根据
判别式，韦达定理找出的取值范围；接着用含的形式表示出，
根据三角函数知识求出范围.
试题解析：(I)直线的参数方程为（为参数）.,，所以
.
(II)直线的参数方程为（为参数），带入，得，则有
，，又，所以，.而
.,,
所以的取值范围为.
【考点】1.参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化；2.三角函数的最值求解.
8.己知函数.
(I)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；
(II)若关于的一元二次方程有实根，求实数的取值范围.
【答案】(I)；(II)
【解析】(I)由题意知，只需，解出即可，根据绝对值不等式的性质知
，故，解得或；(II)由题意方程有实根，则，即，化简得，提出得，，根
据绝对值的几何意义知，此式表示的是到的距离与到的距离之和小于，从数轴上易知.
试题解析：(I)由题意，，，解得或，所以的取值范围为.
(II)由题意，，化简得，即，
所以，故的取值范围为.
【考点】1.绝对值不等式的解法；2.一元二次方程根的判断.。