广东仲元2019届高三级2月月考试题(文科数学)

广东仲元2019届高三级2月月考试题
文科数学
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，那么集合等于
A.
B.
C.
D.
2．已知5.12.02
.02.0,5.1log ,5
.1===c b a ，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 设有下面四个命题：
：若复数z 满足
，则
； ：若复数z 满足
，则
；
：若复数 ， 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 ．
其中的真命题为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ， 4. 已知函数
，若
是周期为的偶函数，则θ的一个可能值是（ ）
A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，且，则( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20 6. 已知平面向量,满足与,2||,3||==的夹角为120°,
若a b m a ⊥+)(,则实数m 的值为( ) A.3 B.2 C.错误！未找到引用源。

D.1
7. 关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m 估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为( ) A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

8.已知正三棱锥内接于球，三棱锥
的体积为
4
3
9，且，则球的体积为
A.
B. C. D.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，且，则函数
图象的一个对称中心的坐标是（ ） A.
B.
C.
D.
10. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
附表：
经计算的观测值，则下列选项正确的是（ ） A. 有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响 B. 有99.5％的把握认为使用智能手机对学习无影响 C. 有99.9％的把握认为使用智能手机对学习有影响 D. 有99.9％的把握认为使用智能手机对学习无影响
11. 设函数
的定义域为，
且，当时，，则函数
在区间
上的所有零点的和为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
12．已知函数()2
f x x ax =+的图象在点()()
0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，若数列
()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．325462 B ．1920 C ．119256 D ．20102011
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13. 已知等差数列的前项和为，三点共线，且，则
__________． 14.已知变量，满足
，则
的最大值为__________．
15. 已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是___.
16. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则线段
的长为_____________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且c
C
b B a A cos sin sin =+. （1）求tan C 的值；
（2）若2228a b c +-=，求ABC △的面积.
18.（本题满分12分）如图,在三棱柱ABC - A1B1C1中,A1A=AB,∠ABC=90°,侧面A1ABB1⊥底面ABC.
(1) 求证:AB1⊥平面A1BC;
(2) 若AC=5,BC=3,∠A1AB=60°,求棱锥A1-BB1C1C的体积.
19.（本题满分12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年
的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号
（1
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：
①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰
好有一辆为事故车的概率；
②若该销售商一次性购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).
20.（本题满分12分）已知椭圆：过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ），是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.
21. （本题满分12分）已知函数，
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）对任意的，，恒有，求正数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），直线：，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）点在直线上，射线交曲线于点，点在射线上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的定义域为；
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，
求的最小值．
广东仲元2019届高三级2月月考试题(文科数学)参考答案
1.【答案】C
【解析】,所以,故选.
2.【答案】D
3.【答案】B
【解析】
令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
4.【答案】B
【解析】
试题分析：，，由得，由为偶函数得，，时，，故选B．
5.【答案】B
【解析】由题，等差数列中，
则
故选B.
6.A解析∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,
∴a·b=|a||b|cos 120°=3×2×-=-3.
∵(a+m b)⊥a, ∴(a+m b)·a=a2+m a·b=32-3m=0,解得m=3.故选A.
7.B解析正实数对(x,y),且所在区域面积为1,能够成钝角三角形的条件为x2+y2<1且x+y>1,其区域面积为,根据概率公式得p=得π=,故选B.
8.【答案】C
【解析】
如图，是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∴∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OC=R，
∴,∴，解得，
∵三棱锥P-ABC的体积为，
∴，解得R=2
∴球的体积为V=
故选：C 9.【答案】B
【解析】分析：利用函数=A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论． 将函数的图象向左平移个单位得到
又 解得，
即
又
∴
是图象的一个对称中心，故选B
10.【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合的观测值由独立性检验的数学思想给出正确的结论即可.
【详解】由于的观测值 ,其对应的值，
据此结合独立性检验的思想可知：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响. 本题选择A 选项. 11.【答案】B
【解析】函数f （x ）的定义域为R ，f （-x ）=f （x ），可知函数是偶函数，f （x ）=f （2-x ），
可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f （x ）=x 3
，函数g （x ）=|cos （）|-f （x ）可知函数是偶函数，g （x ）=|cos （）|-f （x ）=0，可得|cos （）|=f （x ），在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos （）|，y=f （x ）的图象如图：
函数在区间 上的零点的和为：0．函数在时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，
零点的和为：3． 故选：B ． 12.【答案】A
【解析】因为()2
f x x ax =+，所以()2f x x a '=+，又函数()2
f x x ax =+的图象在点()()
0,0A f 处
的切线l 与直线220x y -+=
平行，所以()02f a '==，所以()2
2f x x x =
+，所以
()211
111222f n n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，
1
20⎛++- ⎝11113251222122462⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭
，选择A 13.【答案】1009 【解析】因为三点共线，且，所以
，即
所以
故答案为1009. 14.【答案】12 【解析】
画出表示的可行域，如图，由，可得平移直线，由图知，当直
线经过点
，直线在以轴上截距最小，此时最小值为
，故答案为.
15.【答案】；
【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又
可以表示为
,化简得
,故
.
16.【答案】4 【解析】 可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
17.【答案】（1） （2） 1
【解析】：（1）∵sin sin cos A B C a b c +=，由正弦定理得sin sin cos sin sin sin A B C
A B C
+=， ∴1
tan 2
C =
. （2）由2
2
2
8a b c +-=，得2228
cos 22a b c C ab ab
+-==
，∴4cos ab C =， 1tan 2sin cos 4
21sin 21==⨯⨯==∴∆C C C
C ab S ABC
18.【答案】（1）见解析（2）38
【解析】 【分析】
(1)先证明A ⊥
B, CB⊥A 再证明AB 1⊥平面A 1BC.(2)利用割补法求棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积.
【详解】（1）证明：在侧面AB 中,因为A=AB,
所以四边形AB 为菱形， 所以对角线A ⊥B,
因为侧面AB ⊥底面ABC,∠ABC=90， 所以CB⊥侧面AB ，
因为AB1⊂平面AB 内,所以CB⊥A 又因为B∩BC=B， 所以A ⊥平面BC. （2）1111113
2
C B A ABC C C BB A V V =-=
由勾股定理得AB=4，
由菱形A 1ABB 1中∠A 1AB=60°，得△A 1AB 为正三角形， 易得出A 1B=4，AB 1=,
菱形A 1ABB 1的面积为0.5 |A 1B|| AB 1|=, 由（1）可知CB⊥侧面A 1ABB 1 所以棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为
383
2
111111===-C B A ABC C C BB A V V
19.试题分析：（1）利用等可能事件概率计算公式，能求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为，四辆非事故车设为，利用列举法求出从六辆车中随机挑选两辆车的基本事件总和其中两辆车恰好有一辆事故车包含的基本事件个数，由此能求出该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率，②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，由此能求出一辆车盈利的平均值.
试题解析：(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为
3
1
6515=+ (2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为b 1，b 2,4
辆非事故车，设为a 1，a 2，a 3，a 4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，共8种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.
②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为5000120
5000
401000080=⨯-⨯ (元)．
20.【答案】(1) 椭圆方程为;(2)
面积取得最大值时直线的方程应该是
.
【解析】
试题分析：(1)由条件布列关于
的方程组，得到椭圆的方程；（2）设：
，分类
，
联立方程，利用根与系数关系表示面积，，然后利用均值不等式求最值.
试题解析：
（1）由题意得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题知直线的斜率存在，不妨设为，则：. 若时，直线的方程为，的方程为，易求得
，
，此时
.
若时，则直线：.
圆心
到直线的距离为
.
直线被圆
截得的弦长为
.
由 ，
得
，2
82
+-
=k k
x D
故|0|1
1||2-+=D x k
DP .
所以
.
当时上式等号成立.(注:可用换元法:221k t +=)
因为，
所以
面积取得最大值时直线的方程应该是
.
21.解：（1），所以
，
所以切线方程为 ....................4分 （2），
当时，
，所以
在
上为减函数， 不妨设
则，
等价于
所以，在，
上恒成立。

令
，则
在
上为增函数，所以
在
上恒成
立。

........................ 8分
而化简得，j
所以，其中
因为，所以
所以只需， 所以令
， )21(06143)(2'≤≤<+-=x x x x h ,h(x)是减函数
，
所以。

................................12分。

22.【答案】(1)
，
(2)
【解析】分析：（1）利用极坐标与直角坐标之间的关系进行转化；（2）设出Q 点极坐标，利用找出轨迹方程，
详解：（1）曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为.
（2）设点的极坐标为，
易知，，
故代入
，得
，即
，
所以点的轨迹的直角坐标方程为. 23.【答案】（1）由题意可知恒成立，令
，
去绝对值可得：
，
画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； （2）由（1）可知，所以
，
，
当且仅当，即
等号成立，
所以
的最小值为.。