三角法在代数中的妙用

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、／二，Ｘ／ｎｈ￣－－ｙ（－ｍ，ｎＮ）等，一般都属于此型。前文中例１、
例２，就属于该型，下面再看一例。例３：已知：ａ，ｂ、ｃ，ｄ ∈Ｒ，且ａ％ｂ２－＝Ｉ，ｃ２＋ｄ２＝１
设ｘ＝ｔａｎ或（ｃｏｔｏｔ），此时变量允许值与三角函数的值域亦
三角法在代数中的妙用
重庆市合川职业教育中心李正旺
一
、
三角法的特点：
１２ｓｅｃｃｔ＋
三角法实质上是一种三角代换，就是在解决代数问题中用三角函数把代数式换成三角式，把代数问题转化为三角问题，再利用三角公式进行解答。该方法在解某些难度较大的代数题中，便如求极值、解方程组、解不等式和不等式组、证明一
ｘ－＝
÷ｓｉｎ２ｄ）
・． ‘
｝＝｝
１ ≤ ．ｙ２ ≤ ２，｝ ≤ １一１ｓｉｎ２ ≤ 手
．
经检验，ｘ１＝｝和ｘ４２＝｝都 ’ 是原方程的根。
三、应用三角法的主要环节
・．
争 ≤ ２（１一争ｓｉｎ２） ≤ 手
要应用好三角法，除对三角公式要较熟悉之外，还应掌握
用三角法解代数题的几个主要题型。
（一）ｓｉｎ０ｌ＋Ｃｙ２＜３～
二、应用三角法的条件
只要题中出现了ｘ２＋ｙ２＝ｍ，、／
．
．
ｉＩ＝Ｍｏｔ０【ｌ；又如ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ类似于
・．．
１ａｂｃｄＩ ≤
ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ等，这些式子都具有和三角公式有一定的相似性。例２：解方程：２ｘ＋ — ：：３５
，、／
，ｘ＋ｙ＝ｎ，
在三角代换中，其代换的条件首先是题中变量的取值范围与三角函数的值域相同。例如：当时ｌＩｘＩ ≤１，则可设ｘ＝ｓｉｎ仅（或ｃｏｓ０【）：当ＩｘＩ ≥１时，可设ｓｅｃ０【（或ｃｓｃｏｔ）：当ｘ ∈Ｒ时，可
、／４ｘ乙４
故：一｝ ≤ 『ａｈｃｄｌ＜＿ｌ
（￣）ｔａｎ２０【＋ｌ＝ｓｅｃ。０【型
只要题中含有因式ｌ＋ａ２，、／：，、／
，、／丁，
解：设ｘ＝ｓｅｃＯｒ．，则原方程变形为
・
ｔａｎｏｔ
＝３５，即：ｓｅｃ￣
羔堕
ｔａｎｏｔ
＝
吾１Ｚ
＇Ｉ２＝堕
２４
去分母，整理得：１２ｓｉｎｏＬ－５７６ｓｉｎ２Ｃｔ－５７６＝０
．．
些条件等式或不等式，如运用适当，可起到化难为易、化繁为简的作用。
ｓｉｎ２＝，ｃｏｓ２：
＝
：吾
当ｃ０ｓ２寺时，
ｃ。ｓ
例１：已知：１ ≤ｘ＋），２ ≤２，求：１￣＜ｘ２－ｘｙ＋ｙ ≤３
此题用三角法解，相当简单。证明：设ｘ＝．ｙＣＯＳｄ＇ｙ＝＾ｙｓｉｎ０ｌ，其中１ ≤＾ｙ ≤２
．
．
１ａｂｃｄｌ＿｝ｎ２ｓｉｌ１２ｐＩ
Ｉｓｉｎ２仅ｔ ≤１，Ｉｓｉｎ２Ｂ１ ≤１
Ｉｓｉｎ２０【ｓｉｎ２ＢＩ ≤１
Ｉｓｉｎｎｌ－、何
类似于、／
‘
‘
．
设ｘ：ｓｅｃ或ｃｓｃ，因此、／ｉ可＝、／磊、／：、／
证明：由ａ２＋ｂ￣＝１，可设ａ＝ｓｉｎ仅，ｂ＝ｃｏｓ
又由：ｃ２＋ｄ＝１，可设ｃ＝ｓｉｎ，ｄ＝ｃｏｓＢ
＼何
类似于、／Ｔ二
或、／Ｔ二ｉ代换时，设ｘ＝ｓｉｎ０．／
贝４：ｘ２－ｘｙ — ｙ２＝ＣＯＳ一２Ｃ０ＳＯｒ．ｓｉｎ＋２ｓｉｎ＝（１一
・．．
／ｌ＋ｃｏｓ２～＝４，ｓｅｃ０【＝５
．
当ｃ。ｓ２＝一古时，ｃ。ｓ＝／ｌ＋ｃｏｓ２一＝３＇ｓｅｃ仅＝５
是相同的。其次，在代换时，应是代数长工中和三角公式的外形类似，并且和三角公式有联系的问题，才可能实施。例如：代数式中：ａ２＋ｂ￣１，类似于ｓｉｎ０ｌ＋ＣＯＳ０【＝１，
求证：一｝ ≤ ａｂｃｄ ≤ ｝
则ａｂｃｄ＝ｓｉｎｃｔｃｏｓａｓｉｎｐｃ。ｓｐ＝１ｓｉｎ２ｓｉｎ２１３
或ＣＯＳＯｔ，则：
・
、
：
７．－、／Ｔ
＝ｌｃｏｓ仅Ｉ，或、／／Ｔ＝＝、／／Ｔ二ｉ＝ｒ或、／，代换时，＝Ｉｔａｎ０【ｌ或