高中数学选修一课时跟踪检测(二十四) 抛物线的简单几何性质

课时跟踪检测（二十四） 抛物线的简单几何性质
[A 级 基础巩固]
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y
C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y
D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y
解析：选D 若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y 2＝－x .若焦点在y 轴上，设方程为x 2＝by ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .
2．在同一平面直角坐标系中，方程9x 2＋4y 2＝1与3x ＋2y 2＝0的曲线大致为( )
解析：选D 将方程9x 2＋4y 2＝1与3x ＋2y 2＝0转化为x219＋y214＝1与y 2＝－3
2x ，所以椭圆的焦
点在y 轴上，抛物线的焦点在x 轴上，且开口向左．故选D.
3．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点
解析：选C ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过定点(1,0)．∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA
―→
·
AF
―→＝－4，则点A 的坐标为( )
A ．(2，±2 2)
B ．(1，±2)
C ．(1,2)
D ．(2,22)
解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① 又OA ―→＝(x ，y )，AF ―→
＝(1－x ，－y )， 所以OA ―→·AF ―→
＝x －x 2－y 2＝－4.②
由①②可解得x ＝1，y ＝±2，故A 点坐标为(1，±2)．
5．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217
D ．219
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋2.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y2＝8x ，y ＝－2x ＋2得x 2－4x ＋1＝0，
∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝错误!
＝错误!＝错误!＝2错误!.
6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x1＋x2
2
＝3， ∴y1＋y22＝x1＋x2－22＝6－22＝2.
∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)
7．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________．
解析：设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以|AB |＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.所以当x ＝错误!时，|AB |取得最小值，且|AB |min ＝
72
. 答案：
7
2
8．已知AB 是抛物线2x 2＝y 的焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标为________． 解析：设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′.由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA′|＋|BB′|2＝2.又|PQ |＝y 0＋18，所以y 0＋
1
8
＝2，解得y 0＝15
8
.
答案：158
9．设抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线W 相交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．
(1)求m 的取值范围；
(2)求证：点Q 的纵坐标为定值．
解：(1)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线W 联立得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0， ∴Δ＝(2m －4)2－4m 2＞0，解得m ＜1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2m ，x 1x 2＝m 2，则点Q 的纵坐标为y1＋y22
＝
x1＋m ＋x2＋m
2
＝2.
∴点Q 的纵坐标为定值2.
10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．
解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，
则直线方程为y ＝－x ＋1
2p .
设直线交抛物线于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，
过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，则由抛物线定义，得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2，
即x 1＋x 2＋p ＝8.①
又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线和抛物线的交点， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－x ＋12p ，
y2＝2px ，
消去y ，得x 2－3px ＋p2
4
＝0. 所以x 1＋x 2＝3p ，②
将②代入①，得p ＝2.
所以抛物线的标准方程为y 2＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时， 同理可求得抛物线标准方程为y 2＝－4x . 故抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .
[B 级 综合运用]
11．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
12．(
多
选)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )
A ．△ABF 是等边三角形
B ．|BF |＝3
C ．点F 到准线的距离为3
D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x
解析：选ACD ∵以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为3
4
|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .
13．已知抛物线y 2＝2x ，直线l 的方程为x －y ＋3＝0，点P 是抛物线上的一动点，则点P 到直线l 的最短距离为________，此时点P 的坐标为________．
解析：设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任意一点，则点P 到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝|x0－y0＋3|
2
＝
|y20－2y0＋6|
22
＝错误!，当y 0＝1时，d min ＝错误!＝错误!，此时x 0＝错误!，所以
点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. 答案：524 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 14．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．
解：(1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝1
2
，∴
x2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y . (2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋1，
x2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋
x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.
∵|AB |＝1＋k2·错误! ＝1＋k2·4k2＋8 ＝26，
∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.
[C 级 拓展探究]
15．过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．
解：(1)C ：x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p
2＝2，∴p
＝2，抛物线C 的方程为x 2＝4y .
(2)∵M (－2，y 0)在C 上，∴y 0＝错误!＝1，又F (0,1)，设l 的方程为y ＝kx ＋1，由错误!得x 2
－4kx －4＝0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA ―→＝(x 1＋2，y 1－1)，MB ―→
＝(x 2＋2，y 2－1)，∵MA ⊥MB ，∴MA ―→·MB ―→
＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，∴k ＝2或0，当k ＝0时，l 过M 点(舍)，当k ＝2时，l 不过M 点，∴k ＝2，∴l 的方程为y ＝2x ＋1.。