北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义和练习(含答案)

1.1菱形的性质和判定
【菱形的性质】
1．菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
温馨提示：
①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；
②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；
③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。

2.菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质.
（2）菱形的四条边都相等.
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.
菱形中相等的线段：AB=CD=AD=BC．OA=OC，OB=OD．
菱形中相等的角：∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB
∠1=∠2 =∠3=∠4，∠5 =∠6=∠7 =∠8．
菱形中的全等三角形：
全等的等腰三角形有：，
全等的直角三角形有：
点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).
温馨提示：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质
可用来证明角相等；
③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。

1、下列四边形中不一定为菱形的是（）
A. 对角线相等的平行四边形
B.对角线平分一组对角的平行四边形
C. 对角线互相垂直的平行四边形
D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD 的周长是。

2.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）
A.28、48
B.20、24
C.28、24
D.20、48
4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC 等于（）
A.5
B.10
C.15
D.20
5.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为
小值为()
A.2
B.2
，E为AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最
C.4
D.4
第2 题第3 题第4题第5 题
6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△≌ADE△．CDF
7.如图，已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且
BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，
F．（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．
【菱形的判定】
1. 菱形的判定定理
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）四边相等的四边形是菱形.
①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
2.下列命题中正确的是（）
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ A.
）
平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
4.如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形是一个特殊的四边
形．（1）这个特殊的四边形应该叫做________；
（2）请证明你的结论．
5.如图△ABC≌△ABD,点E 在边AB上,并且CE∥BD,连接DE.求证:四边形BCED是菱形.
6. 如图，将平行四边形ABCD 沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB 边上的点F处，折痕交CD 边于点E.
求证：四边形ADEF是菱形.
7. 如图，在ABCD 中，O 为AC的中点，过点O 作EF⊥AC 与边AD、BC分别相交于点E、F，求证：四边形AECF是菱形．
【菱形的有关计算】
1、菱形的周长=4×边长
2、菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
温馨提示
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
1.如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．
2.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC的平分线BF交AD 于点F，FE∥AB．若AB=5，
AD=7，BF=6，则四边形ABEF 的面积为（）
A.48
B.35
C.30
D.24
3.若菱形的周长是16，∠A=60°，则对角线的长度为（）
A.2
B.
C.4
D.
4.下列说法中，错误的是()
A.平行四边形的对角线互相平分
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.如
图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，
AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF等于()
A. 6
B. 3
C. 1.5
D. 0.75
6.如图，在 △R t △ ABC 中，∠ B=90°，AC=120cm ，∠ A=60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点 A 匀
速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点
也随之停止运动．设点 D 、E 运动的时间是 t 秒．过点 D 作 DF ⊥BC 于点 F ，连接 DE ，EF ．当四边形 AEFD 是菱形 时，求 t 的值
7.如图，在四边形 （1）证明：四边形
中，
，点 E 是 为菱形； 边的中点．点 F 恰是点 E 关于
所在直线的对称点．
（2）连接
交 于点 O ．若
，求线段
的长．
8.如图， △R t △ ABC 中，∠ ABC=90°，点 D ，F 分别是 AC ，AB 的中点，CE ∥ DB ，BE ∥ DC ． （1）求证：四边形 DBEC 是菱形； （2）若 AD=3，DF=1，求四边形 DBEC 面积．
9.如图， △在△ ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点 D ，BC=10cm ，AD=8cm ，E 点 F 点分别为 AB ，AC 的中点． （1）求证：四边形 AEDF 是菱形； （2）求菱形 AEDF 的面积；
（3）若 H 从 F 点出发，在线段 FE 上以每秒 2cm 的速度向 E 点运动，点 P 从 B 点出发，在线段 B C 上以每秒 3cm 的 速度向 C 点运动，问当 t 为何值时，四边形 BPHE 是平行四边形？当 t 取何值时，四边形 PCFH 是平行四边形？
【课后练习】
1.如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ BAD=60°，AB=6，对角线 AC 与 BD 相较于点 O ，点 E 在 AC 上，若 OE=2 CE 的长为________
，则
第 1 题 第 2 题 第 3 题
第 4 题
2.如图，点 E 、F 分别是菱形 ABCD 的边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ D=60°，∠ FAD=45°，则∠ CFE=________度．
3.如图，在菱形 ABCD 中，AC=8，BD=6， △则△ ABC 的周长是________．
4.如图，菱形 ABC 的对角线相交于点 O ，过点 D 作 DE ∥ AC ，且 DE= AC ，连接 CE 、 OE 、AE ，AE 交 OD 于点 F ，若 AB=2，∠ ABC=60°，则 AE 的长________．
5. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边
形 ， ，则 的长为________．
中，
6.如图： △在△ ABC 中，∠ BAC =
四边形 AEFG 是菱形.
，AD ⊥BC 于 D ，CE 平分∠ ACB ，交 AD 于 G ，交 AB 于 E ，EF ⊥BC 于 F ，求证：
7.如图，在平行四边形 中，∠ BAD 的平分线交 于 E ，点 F 在 上，且 ，连接
．
（1）判断四边形 的形状并证明； （2）若 、 相交于点 O ，且四边形 的周长为 ， ，求
的长度及四边形
的
面积.
8.如图，在 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AB =5，AC =6，
BD=8． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H ，求 AH 的长．
9.如图：菱形的边长为，，对角线、相交于，求菱形的面积．
10.已知菱形的周长为，两个相邻对角之比为，求它的对角线长和面积．
11.如图，在中，，平分，于点，与交于点，．
求证：与互相垂直平分．
12.如图，在中，是的角平分线，，，交于点，请问是的角平分线吗？请说明理由．
答案
【菱形的性质】
1.A
2.413
3.B
4.A
5.B
6.∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
7.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，，
且，，，四边形AECF是平行四边形．
，
（2）如图，∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠BAC=90°，
1
∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1，∴∠3=∠4∴AE=BE,∴BE=AE=CE=2BC=5
8.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
在△OAE 和△OCF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF；
解：∵E是AB中点，∴BE=AE=CF．∵BE∥CF，∴四边形BEFC是平行四边形，∵AB=2，
∴EF=BC=AB=2．【菱形的判定】
1.×√××
2.D
3.C
4.（1）菱形；（2）∵四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴，
∴四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点分别作，边上的高为，．则（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形中，，即，∴．∴平行
，四边形为菱形
5.证明：∵≌，∴，在和中,
∴≌，∴，又∵，∴，∴，
∴，∴，∴四边形BCED是菱形.
6.由折叠可知,DE=EF,AD=AF,∠DEA=∠FEA∵四边形ABCD 是平行四边形∴DE∥AF∴∠DEA=∠EAF
∴∠EAF=∠FEA∴AF=EF∴AF=AD=DE=EF∴四边形ADEF是菱形.
7. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC∥AD，∴AE∥CF，∴∠OAE=∠OCF，∵点O 是AC 的中点，∴OA=OC，
在△AOE △和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，∵EF与AC 垂直，∴四边形AECF 是菱形
【菱形的有关计算】
11
1.(1)∵四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，AO＝AC，OB＝BD．又∵AC＝8，BD＝10．
22
∴AO＝11
×8＝4，OB＝×10＝5．在△R t ABO中，AB
22
2OA2OB2∴AB2425241，∴AB 41．
(2)由菱形的性质可知：S
菱形
ABCD 11
AC g B D 81040 22
2.D
3.C
4.B
5.B
由题意CD=4t，AE=2t，∵DF⊥BC于F，∴∠DFC=90°在△R t DFC中，∵∠C=30°， 6.
1
∴DF=2CD=2t，∴DF=AE，∵∠CFD=∠B=90°，∴DF∥CE，∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF=AD时，四边形DFEA是菱形．∴120﹣4t=2t，∴t=20s，∴t=20s时，四边形DFEA是菱形．
7.（1）证明：
，点 E 是 AB 变的中点
点 F 恰是点 E 关于 AC 所在直线的对称点
（2）解：∵ 四边形 是菱形，∴
，∴
四边形
，∴ 为菱形
8.（1）∵ CE ∥ DB ，BE ∥ DC ，∴ 四边形 DBEC 为平行四边形．又∵ △R t △ ABC 中，∠ ABC=90°，点 D 是 AC 的中点，
1
∴ CD=BD= 2
AC ，∴ 平行四边形 DBEC 是菱形
． （2）解：∵ 点 D ，F 分别是 AC ，AB 的中点，AD=3，DF=1，∴ DF
△是△ ABC 的中位线，AC=2AD=6， = ∴
BC=2DF=2．又∵ ∠ ABC=90°，∴ AB= = =4
1 1
1
2
△S △
ABC
∵ 平行四边形 DBEC 是菱形，∴ S
四边形
=2S
DBEC
△ BCD △=S
ABC
= 2 AB •BC= ×4 ×2=4
9.（1）∵ AB=AC ，AD ⊥BC ，∴ D 为 BC 的中点．∵ E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，∴ DE 和 DF △是△ ABC 的中位线， ∴
DE ∥ AC ，DF ∥ AB ，∴ 四边形 AEDF 是平行四边形．∵ E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，AB=AC ， ∴ AE=AF ，∴ 四边形 AEDF 是菱形
1 1
1
（2）解：∵ EF 为△ ABC 的中位线，∴ EF=
BC=5．∵ AD=8，AD ⊥EF ，∴ S
= AD •EF=
×8×5=20
菱形
（3）解：∵ EF ∥ BC ，∴ EH ∥ BP ．若四边形 BPHE 为平行四边形，则须 EH=BP ，∴ 5﹣2t=3t ，解得：t=1， ∴ 当 t=1 秒时，四边形 BPHE 为平行四边形．∵ EF ∥ BC ，∴ FH ∥ PC ．
若四边形 PCFH 为平行四边形，则须 FH=PC ，∴ 2t=10﹣3t ，解得：t=2，∴ 当 t=2 秒时，四边形 PCFH 为平行四边形 【课后练习】
1. 5
或
2.45
3.18
4.
5.
6.∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ ADB=90°，∵ ∠ BAC=90°，∴ ∠ B+∠ BAD=90°，∠ BAD+∠ CAD=90°，∴ ∠ B=∠ CAD ， ∵ CE 平分∠ ACB ，EF ⊥BC ，∠ BAC=90°（EA ⊥CA ），∴ AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ CE=CE ，∴ 由勾股定理得：AC=CF ，∵ △ ACG △和△ FCG 中
∴ △ ACG ≌ △ FCG ，∴ ∠ CAD=∠ CFG ，
∵ ∠ B=∠ CAD ∴ ∠ B=∠ CFG ，∴ GF ∥ AB ，∵ AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴ AD ∥ EF ，即 AG ∥ EF ，AE ∥ GF ， ∴ 四边形 AEFG 是平行四边形，∵ AE=EF ，∴ 平行四边形 AEFG 是菱形．
7.（1）解：∵ AE 是∠ BAF 的角平分线，∴ ∠ BAE=∠ FAE ，∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ，∴ ∠ FAE=∠ AEB ， ∴ ∠ BAE=∠ AEB ，∴ AB=BE ．∵ AB=AF ，∴ BE=FA ，∴ 四边形 ABEF 为平行四边形，∵ AB=AF ，∴ 四边形 ABEF 为菱形 1 （2）解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，且周长为 20，∴ AB=5，AE ⊥BF ，BO=
FB=3，AE=2AO ，
1 1 在 △R t △ AOB 中，AO=
=4，∴ AE=2AO=8，菱形 ABEF 面积=
AE×BF=
×8×6=24
8.（1）证明：∵在 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= AC=3，BO= BD=4，∵AB=5，且 32+42=52
，∴AO 2+BO 2=AB 2
，
∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB=90°， ∴AC ⊥BD ，∴四边形 ABCD 是菱形；
△S △
BCD
2 2
2
2
AEDF 2
2
2
10/11
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义和练习（含答案）
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，∴×6×4=×5×AH，解得：AH=．
9.：在菱形中，又在中，，∴，
，∴为等边三角形∴．
在菱形∴
中，
，∴
，∴
，∴
为直角三角形，∴，
．
10.解：∵菱形的周长为，∴菱形的边长，∵两个相邻对角之比为，
∴，∴是等边三角形，∴，∵菱形对角线，∴，∴，∴菱形的面积．
11.：延长交于点．∵，，∴，即．
又∵，平分，∴．在与中，，
∴，
∴．在与中，，∴，
∴，
∴垂直平分（三合一）．∴，在与中，，∴
∴，又∵．∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为菱形，∴与互相垂直平分．
12.解：是的角平分线，理由是：∵，，∴四边形是平行四边形，
∵∴，∴
，∴
，
，∵是的角平分线，∴
，∴四边形是菱形，∴平分，即是的角平分线．
11/11。