天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析

天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二上学期期中数学试
卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1.命题“,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ） A.2,220x x x ∀∈++>R B.2,220x R x x ∀∈++≤ C.2,220x x x ∃∈++>R
D.2,220x x x ∃∈++≥R
2.已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，342a a =，则公差d =（ ） A.0 B.2
C.1-
D.2-
3.若b
≠0，则“a,b,c 成等比数列”是“b =√ac ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()
*
n S n N ∈，且满足
315S S =，则n S 的最大项为（ ）
A.7S
B.8S
C.9S
D.10S
5.数列{}n a 满足12a =，111n
n n
a a a ++=-，则2019a =（ ） A.3-
B.
13
C.12
-
D.2
6.若不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-，则不等式20bx ax c ++<的解集是（ ） A.()3,2-
B.()2,3-
C.()(),23,-∞-⋃+∞
D.()
(),32,-∞-+∞
7.不等式 ()()2
22240a x a x -+--<，对一切 x ∈R 恒成立，则 a 的取值范围是
()
A. (],2-∞
B. (]2,2-
C. ()2,2-
D. (),2-∞-
8.设常数a ＞0，若2
91a x a x
+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为（ ）
A.1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B.1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C.1,5
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D.1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
9.数列{}n a 满足n a =
123...n
n ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为（ ）
A.
2
n
n + B.
22
n
n + C.
1
n n + D.
21
n
n + 10.已知0a >，0b >，且满足1a b +=，则14
a b
+的最小值为（ ） A.7
B.9
C.4
D.4+11.已知数列{}n a 满足712,8
3,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫
-+>⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪≤⎩
，若对于任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 1[,1)2
D. 11,
32⎛⎫
⎪⎝⎭
12.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xy
z
取得最大值时，412x y z +-的最
大值为（ ） A.0
B.1
C.
9
4
D.3
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13.等比数列n a 中，n S 为其前n 项和，若32n
n S a =⋅+，则a =______．
14.已知p ：|x
−a|<4，q ：−x 2+5x −6>0，且q 是p 的充分而不必要条件，则
a 的取值范围为______ ．
15. 设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．
16.等比数列{}n a 中，如果346781a a a a =，则19a a 的值为______． 17.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n
a n
的最小值为__________.
18.下列命题中：
①若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；
②当a ＞0，b ＞0时，
11
4a b
++≥； ③函数2
y =
的最小值为2；
④当且仅当a ，b 均为正数时，
2a b
b a
+≥恒成立． 其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）
三、解答题（题型注释）
19.已知n a 为各项均为正数的等比数列， 11a =，5256a =；n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，12b =，5852S S =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1122n n n T a b a b a b =++
+，求n T ．
20.已知函数()()2
,f x x ax b a b R =+-∈．
（1）当2231b a a =-+时，解关于x 的不等式()0f x ≤； （2）若正数a ，b 满足4
3a b
+≤，且对于任意的[)1,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求实数a ，b 的值．
参考答案
1.A
【解析】1.
根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.
特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A. 2.D
【解析】2.
由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d 的值．
解：∵数列{}n a 是等差数列设公差为d ，若12a =，342a a = ()23222d d ∴+=+，解得2d =- 故选：D ． 3.B
【解析】3.分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论． 详解：由题意得，例如a =1,b =−1,c =1，此时a,b,c 构成等比数列，而b =√ac
不成立， 反之当b ≠0时，若b =√ac ，则b 2
=ac ⇒b a =c
b ，所以a,b,
c 构成等比数列，
所以当b
≠0时，a,b,c 构成等比数列是b =√ac 构成的等比数列的必要不充分条件，
故选B ． 4.C
【解析】4.
由已知结合等差数列的求和公式可得，45150a a a ++
+=，由等差数列的性质可知，
9100a a +=，结合已知可得90a >，100a <，即可判断．
解：等差数列{}n a 中，且满足315S S =， ∴45150a a a ++
+=，
由等差数列的性质可知，9100a a +=， ∵首项10a >，公差0d ≠， ∴0d <，
∴90a >，10
0a <，
则n S 的最大项为9S ． 故选：C ． 5.C
【解析】5.
根据已知分析数列的周期性，可得答案． 解：∵数列{}n a 满足12a =，111n
n n
a a a ++=-， ∴23a =-，312
a =-
， 41
3a =， 52a =，
故数列{}n a 以4为周期呈现周期性变化， 由201945043÷=，
故201931
2
a a ==-， 故选：C ． 6.D
【解析】6.
根据不等式20ax bx c -+>的解集求出a 、b 和c 的关系， 代入不等式20bx ax c ++<中化简，即可求出该不等式的解集． 解：不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-， 所以方程20ax bx c -+=的解是-2和3，且0a <；
即2323b a c a ⎧
-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=
⎪⎩
，
解得b a =，6c a =-；
所以不等式20bx ax c ++<化为260ax ax a +-<， 即260x x +->， 解得3x <-或2x >，
所以所求不等式的解集是()(),32,-∞-+∞．
故选：D ．
7.B
【解析】7.①当a=2时，不等式恒成立。

故a=2成立 ②当a≠2时，要求()()2
20
{
421620
a a a -<-+-<
解得：a ∈(−2,2)
综合①②可知：a ∈(−2,2] 本题选择B 选项. 8.A
【解析】8.
先利用基本不等式求出的范围，再解关于a 的不等式即可． 解：因为：0x >，0a >，
所以：29a x x +≥
a ．
∴原不等式2
91a x a x
+≥+恒成立，即可转换为61a a ≥+，解得15a ≥．
所以a 的取值范围为：1
,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选：A ． 9.B
【解析】9.
利用等差数列的前n 项和公式，化简数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列
11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. (1)123...12,2
n n n n n n n a ++++++===114(1)(2)n n a a n n +=++，所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111
1
4(
)233445
(1)(2)
S n n =+++⨯⨯⨯++,
111111
111124()4()233445
12222
n S n n n n ⇒=-+-+-++
+
-=-=++++，故本题选B. 10.B
【解析】10.
()1445b a a b a b a b ⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件． 解：因为0a >，0b >，且满足1a b +=， 所以()1445b a a b a b a b ⎛⎫
++=++
⎪⎝⎭
≥9， 当且仅当1
2
33
a b ==，时，等号成立． 故选：B ． 11.C
【解析】11.
由题意，得到数列{}n a 为单调递减数列，可知1013a a <<≠
且，分1
13
a <<和1
03
a <<
两种情况讨论，即可求解． 由题意，对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，所以数列{}n a 为单调递减数列， 由8n ≤时，()7
n f n a -=，根据指数函数的性质，可知1013
a a <<≠
且， ①当
113a <<时，8n >时，1
()23n a a n =-+单调递减，而8n ≤时，7n n a a -=单调递减， 所以87
1()923
a a --⨯+≤，解得12
a ≥
，所以1
12a ≤<；
②当103a <<
时，8n >时，1
()23
n a a n =-+单调递增，不符合题意（舍去）． 综上可知，实数a 的取值范围是1
12
a ≤<，故选C ． 12.C
【解析】12. 先求出
xy
z
取得最大值为1，得到x ，y ，z 的关系，代入所求式子，得到关于y 的函数求解即可．
解：正实数,,x y z 满足2
2
340x xy y z -+-=， 即2
2
34z x xy y =-+，
所以
4311z x y xy y x =+-≥=，当且仅当2x y =时，取等号 所以
xy z
的最大值为1，且2x y =，此时2
2z xy y ==， 412x y z +-=2221131y y y y y
+-=-， 令t =1y ，则2
24123993244
t t t x y z ⎛⎫+-=-=--+≤ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 13.-3
【解析】13.
先分别求出a 1，a 2，a 3，再由a 1，a 2，a 3是等比数列，能求出a 的值．
解：∵等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，32n
n S a =⋅+，
∴116a S a ==+，
2216a S S =-=， 3
3212a S S ，
∵123,,a a a 是等比数列，
∴2
213a a a =，∴()2
6612a =+⨯，
解得3a =-． 故答案为：3-． 14.[−1,6]
【解析】14.
分别解出p ，q 的x 的范围，利用q 是p 的充分而不必要条件，即可得出答案
p ：|x −a|<4，解得a −4<x <a +4 q ：−x 2+5x −6>0，解得2<x <3 ∵q 是p 的充分而不必要条件， ∴{
a −4≤23≤a +4
，解得−1≤a ≤6，等号不同时成立
∴a 的取值范围为[−1，6]，
故答案为：[−1，6]
15.1 121
【解析】15.
试题1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，
再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又
213a a =，
所以5
15133(1),121.13
n n a a n S +-=≥==-
16.9
【解析】16.
利用等比数列的通项公式的性质求解． 解：∵等比数列{}n a 中，346781a a a a =， ∴()2
34671981a a a a a a ==，
∵2
195a a a =，
∴199a a =． 故答案为：9． 17.212
【解析】17.
先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以
331n a n n n =+-，设f （n ）33
1n n
=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到
n
a n
的最小值． 解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而
33
1n a n n n
=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）233
10n
-=+＞，
则f （n ）在
)
+∞上是单调递增，在(0上是递减的，
因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为
55355a =，66321662
a ==， 所以
n a n 的最小值为62162
a = 故答案为： 21
2
18.①②
【解析】18.
①222a b +=，设a α=，b α=，进而利用三角函数求解；
②③④均可利用基本不等式求解；
解：①222a b +=，设a α=
，b α=，则
)
sin 2sin 2cos 4a b πααα++⎛
⎫+==≤ ⎪⎝
⎭，所以①正确；
②当a ＞0，b ＞0时，
11
a b
+，当且仅当a =b =1时等号成立，所以②正确；
③函数2
y =
2=2，当且仅当
241x +=，即230x =-<时等号成立，故③不正确；
④当且仅当,a b 同号时，0a b >，0b a
＞， 2a b b a +≥恒成立，所以,a b 可以同时
为负，故④不正确； 故答案为：①②
19.(1) a n =4n -1．b n = 3n -1．(2) T n =（n -23）4n +23
【解析】19.
（1）直接利用a 1=1，a 5=256求出公比即可求出{a n }的通项公式；把5S 5=2S 8转化为用首项和公差来写求出公差即可求{b n }的通项公式；
（2）直接利用（1）的结论对数列{a n •b n }用错位相减法求和即可求T n ．
解：（1）设{}n a 的公比为q ，由4
51256a a q ==得4q =±，因为各项均为正数，所以
4q =，所以14n n a -=．
设{}n b 的公差为d ，由5852S S =得()()1155102828b d b d +=+，1332322d b ==⨯=， 所以()1131n b b n d n =+-=-．
（2）1122n n n T a b a b a b =+++
()012
1245484314n n T n -=⨯+⨯+⨯+-⨯① ()1234245484314n n T n =⨯+⨯+⨯+-⨯②
②-①得：()()12313234444314n n n T n -=--++++-⨯
()()132414314n n n T n -=-+-+-⨯
()32324n n T n =+-⨯
22433n n T n ⎛⎫∴=+-⨯ ⎪⎝⎭
20.(1)答案不唯一见解析；(2) a ，b 的值分别为1，2．
【解析】20.
（1）由条件可得()()1210x a x a ----≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，然后分23<a ， 23a =和23a >三种情况解出不等式即可；
（2）根据条件利用基本不等式可得43a b +
≥，又43a b +≤，从而得到4a b +=3且a =1，进一步求出b 的值．
解：（1）当2231b a a =-+时，不等式()0f x ≤， 即()()1210x a x a ----≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． ∴①当23
<a 时，不等式的解集为[]1,12a a --； ②当23a =时，不等式的解集为13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭； ③当23
a >时，不等式的解集为[]12,1a a --． （2）由()0f x ≥对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，可得1
b a ≤+．
∴4a b +≥41a a ++=4111a a ++-+≥13=， 当且仅当411a a +=+，即a =1时取等号， 又∵43a b +≤，∴4a b
+=3且a =1，∴b =2． ∴a ，b 的值分别为1，2．。