高三年级数学学案---函数的单调性与最值

5. 函数的单调性与最值
一、考试要求
1．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.
2．能利用函数的单调性求单调区间、最值和参数的取值范围．
二、基础知识
1
自左向右看图象呈上升趋势
自左向右看图象呈下降趋势
I 内某个区间D 2，12x x ≠，
)[12()()f x f x -]，则()f x 在区间D )[12()()f x f x -]，则()f x 在区间D 2．(f x 增＋增＝增，减＋减＝减3．复合函数[()]y f g x =的单调性：复合函数[()]y f g x =①，设()u g x =②，则()y f u =③，
其中任意两个单调性相同，则第三个增；其中任意两个单调性相异，则第三个减，即“同增异减”. 4．单调区间：一般写成开区间即可.
易错警示1：判断单调性一定要注意，先求函数定义域，如对数函数的真数恒正. 易错警示2：书写多个单调区间，中间只能用“，”及“和”连接，不能用及“或”.
5．设函数()y f x =的定义域为，如果存在实数M 满足
x I ∈，都有(f x I ，使得0()f x =例1 函数单调性的定义
（1）证明：函数1
()f x x x
=+
在(01]，上是减函数. 证明：设1201x x <<≤，则2112121221121212
111
()()()()(1)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+--=-+=--
∵12(01]x x ∈，，，且12x x <，∴210x x ->，1201x x <<，∴1211x x >，即121
10x x ->，
∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，∴函数1
()f x x x
=+
在区间(01]，上是减函数. （2）函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．
解析：由条件得⎩⎪⎨⎪
⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，
解得－1≤a <1.
（3）已知函数(2)2
()1()122
x a x x f x x -⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，≥，，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的
取值范围是
（A ）(2)-∞， （B ）13(]8-∞， （C ）(2]-∞， （D ）13
[2)8
，
解析：B ，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，（a －2）×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，
由此解得a ≤13
8，即实数a 的取值范围是13
(]8
-∞， .
例2求单调区间
求单调区间的常用方法：
①定义法：依据单调性的定义求解．
②图像法：图像上升，为增区间；图像下降，为减区间． ③复合函数法：按“同增异减”的原则，确定单调区间．
④导数法：f ′(x )>0的解集为增区间；f ′(x )<0的解集为减区间．
（1）求下面函数的单调区间：①2y x x =+；②2
y x x
=-.
解析：①增区间()-∞+∞，
；减区间(0)(0，；
②增区间(0)(0)-∞+∞，，，，无减区间. （2）函数f (x )＝|x －2|(x －4)的单调减区间是 （A ）[1，2] （B ）[－1，0] （C ）[0，2] （D ）[2，3]
解析：D ，f (x )＝|x －2|(x －4)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋8，x ≥2，
－x 2＋6x －8，x <2. 结合函数图像知，当x ∈[2，3]时，函数f (x )单调递减.
（3）已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋3在[2，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．
解析：当a ＝0时，f (x )在[2，＋∞)上单调递增．当a >0时，－1
a
≤2恒成立，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递增；
当a <0时，不符合题意．所以a 的取值范围是[0，＋∞). 例3 复合函数的单调性
（1）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________．
解析：f (x )的定义域是(－1，4)，又－x 2＋3x ＋4＝－23()2x -＋254，e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为3
[4)2
，.
（2）函数2
2311()3
x x y -+=的单调递增区间为
（A ）(1，＋∞) （B ）3(]4-∞， （C ）1()2+∞， （D ）3
[)4+∞，
解析：令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝1()3t y =，由复合函数的单调性易知函数在3
(]4
-∞，上单调递增，故选B.
例4 求值域与最值
求函数值域与最值的常用方法：
①单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值．
②图像法：先作出函数在给定区间上的图像，再观察其最高、最低点，求出其最值． ③配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解．
④换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值．
（1）(2010山东文3)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为 （A ）(0，＋∞) （B ）[0，＋∞) （C ）(1，＋∞) （D ）[1，＋∞)
解析：A ，∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，∴log 2(3x
＋1)＞0，∴值域为(0，＋∞)． （2）设02x 剟，则函数1
2
4
325x x y -=-⋅+的最大值为 .
解析：52，可化为12
43254x x y =-⋅+，即21
(2)3252
x x y =⋅-⋅+，令2x t =，
则21352y t t =-+，0214x t ∴，剟剟，对称轴3t =， ∴当1t =即210x x ==，时函数最大值为52
.
（3）函数1
()1(1)f x x x =--的最大值是
（A ）45 （B ）54 （C ）34 （D ）4
3
解析：D ，21()1f x x x =-+，∵2314x x -+≥，∴4
()3
f x ≤
（4）[2016·北京卷] 函数f (x )＝x
x －1(x ≥2)的最大值为________．
解析： 因为函数f (x )＝x x －1＝1＋1
x －1在区间[2，＋∞)上是减函数，当x ＝2时，f (x )有最大值f (2)＝2.
（5）函数y ＝x ＋2x －1 （A ）有最小值12，无最大值 （B ）有最大值1
2，无最小值
（C ）有最小值1
2
，最大值2 （D ）无最大值，也无最小值
解析：A ，增＋增＝增
（6）函数y ＝x －2x －1值域是 .
解析
：0t =，则21(1)2x t =+，∴原函数可转化为211
22
y t t =-+，
∵对称轴为1t =，开口向上，0t ≥时，∴当1t =时，函数有最小值min 0y =.
（7）对a b ∈R ，，记max{}a a b a b b a b ⎧=⎨
<⎩，≥，，，，
函数()max{|1||2|}()f x x x x +-∈R ＝，的最小值是 ． 解析：
3
2
，分别作出()|1|()|2|g x x h x x =+=-，图象，取在相同的x 范围时，图象在上方者即为y ＝f (x )图象，如图，粗线部分即为f (x )图象，观察图象知A 为最低点相应y 值即为最小值．
（8）(2014·高考上海卷)设2
()0()1
0x a x f x x a x x ⎧-⎪
=⎨++>⎪⎩
≤，，，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 （A ）[－1，2] （B ）[－1，0] （C ）[1，2] （D ）[0，2]
解析：D ，∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1
x
＋a ≥2＋a ，
当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2
－a －2≤0， 解得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.
四．巩固练习
（一）选择题 （1）[2016·北京卷] 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是
（A ）y ＝11－x
（B ）y ＝cos x （C ）y ＝ln(x ＋1) （D ）y ＝2－
x
解析：D ，选项A 中函数y ＝11－x ＝－1
x －1
在区间(－1，1)上是增函数；选项B 中函数y ＝cos x 在区间(－1，
0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D
中函数y ＝2－
x ＝12
x 在区间(－1，1)上是减函数．
（2）当x ∈[0，5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为
（A ）[f (0)，f (5)] （B ）[f (0)，f (23)] （C ）[f (2
3
)，f (5)] （D ）[c ，f (5)]
解析：C ，由f (x )的对称轴为x ＝23，则在[0，5]上f (x )min ＝f (2
3
)，f (x )max ＝f (5)．
（3）若二次函数232(1)y x a x b =+-+在区间(1)-∞，上为减函数，那么
（A ）2a =- （B ）2a = （C ）2a -≥ （D ）2a -≤ 解析：D
（4）如果函数()f x 在[]a b ，上是增函数，对于任意的1212[]()x x a b x x ∈≠，，，则下列结论中不正确．．．
的是 （A ）
1212
()()
0f x f x x x ->-
（B ）1212()[()()]0x x f x f x --> （C ）12()()()()f a f x f x f b <<<
（D ）
12
120()()
x x f x f x ->-
解析：C ，f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )
（5）设函数1
()21(0)f x x x x
=+-<,则()f x
（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数 解析：A
（6）已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为
（A ）(－∞，1] （B ）[3，＋∞) （C ）(－∞，－1] （D ）[1，＋∞)
解析：B ，设t (x )＝x 2－2x －3，由t (x )≥0，即x 2
－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 因为函数t (x )＝x 2－2x －3的图像的对称轴为直线x ＝1，所以函数t (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增. 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．
（7）函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋6， x ∈[1，2]
x ＋7， x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值为
（A ）10，6 （B ）10，8 （C ）8，6 （D ）以上都不对 解析：A
（8）已知1()(4)22
x a x f x a
x x ⎧>⎪
=⎨-+⎪⎩，，，≤1，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 （A ）(1，＋∞) （B ）[4，8) （C ）(4，8) （D ）(1，8)
解析：B ，因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，
4－a 2>0，
a ≥4－a 2＋2，
解得4≤a <8.故选B.
（9）函数1
y x x
=-
在区间[21]--，上的最大值为 （A ）0 （B ）3
2
- （C ）2-
（D ）
56
解析：A ，增函数
（10）函数15
2
x y -=的值域为
（A ）(01)(1)+∞，，
（B ）(1)(1)-∞+∞，， （C ）(0)+∞， （D ）(05)(5)+∞，，
解析：A
（11）已知函数f (x )在定义域[0，＋∞)内单调增加，则满足f (2a －1)<f (1
3
)的a 的取值范围是
（A ）(13，23) （B ）[13，23) （C ）(12，23) （D ）[12，2
3
)
解析：D
（12）若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且0a b +>，则下列各式成立的是
（A ）()()()()f a f b f a f b +<-+- （B ）()()()()f a f b f a f b +>-+- （C ）()()()()f a f a f b f b +-<+- （D ）()()()()f a f a f b f b +->+- 解析：B
（13）设2()min{231113}f x x x x =++-，，
，则()f x 的最大值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
解析：C ，画图，易求831()55P ，，889
()525
Q ，，粗线即为()f x 的图象，∴()f x 的M 点取得最大值，可求
(25)M ，，∴()f x 的最大值为(2)5f =.
（14）函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调递减区间是
（A ）1
[0]2，
（B
）1] （C ）(－∞，0)∪1
[)2
+∞，
（D
）
解析：B ，由图像可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为1
[0]2
，.因为0<a <1，所以函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤1
2
，解得a ≤x ≤1，即所求递
减区间为[a ，1]，故选B.
（15）若函数()y f x =在区间()a b ，上是减函数，则下列结论中正确的是
（A ）1
()y f x =在区间()a b ，上是减函数 （B ）()y f x =-在区间()a b ，上是增函数
（C ）2|()|y f x =在区间()a b ，上是增函数 （D ）|()|y f x =在区间()a b ，上是增函数 解析：B
（二）填空题
（16）函数y ＝2
|x |＋1
的值域是________．
解析：(0，2]
（17）设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)
的大小关系是
__________．
解析：由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得f (x )为增函数．又－3>－π，∴f (－3)>f (－π).
（18）（2007福建）已知函数()f x 为R 上的减函数，若1
(||)(1)f f x
<，则实数x 的取值范围
是 ． 解析：(10)(01)-，， （19）已知函数()f x 是定义在[11]-，上的减函数，且2(1)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围 ． 解析：函数的定义域是[11]-，，∴2111111a a ----≤≤≤≤，，∵函数在[11]-，上是减函数，
∴22
11111111
a a a a --⎧⎪
--⎨⎪->-⎩≤≤≤≤，解得01a <<，∴x 的取值范围是(01)，. （20）若函数1
()1
ax f x x -=+在(1)-∞-，上是减函数，求实数a 的取值范围 ．
解析：1a <-，因为22
(1)(1)1
()(1)(1)a x ax a f x x x +--+'==++，由题意可知当(1)x ∈-∞-，时，()0f x '<恒成立，
所以10a +<，即1a <-．
（21）函数y ＝x ＋x －2的最小值为 ，y ＝x ＋2－x 的最大值为 .
解析：2，9
4
，对于y ＝x ＋2－x ，设0t =中，则原函数转化为2222y t t t t =-+=-++，
对称轴为12t =，0t ≥，开口向下，则在12
t =时，函数有最大值max y =9
4.
五．感知高考
（1）[2015·福建卷] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a
x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围
是________．
解析： (1，2]，函数f (x )的大致图像如图所示．
∵当x ≤2时，f (x )∈[4，＋∞)，∴要使f (x )在R 上的值域是[4，＋∞)，
只需当x >2时，f (x )∈[4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧a >1，3＋log a
2≥4，解得1<a ≤2.。