第二讲 时域数学模型及拉氏变换

解.
δ (t ) = 1′(t )
L[δ(t )] = L[1′(t )]
1 = s ⋅ − δ 0− = 1 − 0 = 1 s
( )
例3 求 解.
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = ⋅ s ⋅ 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
式中： 是被控量， 是输入量 是输入量。 式中：c(t)是被控量，r(t)是输入量。 是被控量
按输入量的变化规律分 输入量的变化规律分 1、恒值控制系统 、 此类系统的输入量是一个常值，要求被控量也等 此类系统的输入量是一个常值， 于一个常值。 于一个常值。 系统的基本任务是当出现扰动时， 系统的基本任务是当出现扰动时，使系统的输出 量保持为恒定的希望值，因此系统分析、 量保持为恒定的希望值，因此系统分析、设计的重点 是研究各种扰动对被控对象的影响以及抗扰动的措施。 是研究各种扰动对被控对象的影响以及抗扰动的措施。
[ ]
∞
（2）指数函数
∞
f ( t ) = e at
L[ f ( t )] = ∫ e at ⋅ e − st dt = ∫ e − ( s − a )t dt
− 1 − (s − a)t e = s−a
0
[
]
0
∞ 0
1 −1 (0−1) = = s−a s−a
t<0 0 f(t) = sin ωt t ≥ 0
2、快速性(快) 、快速性 快 过渡过程性能包括平稳性和快速性。 过渡过程性能包括平稳性和快速性。 对控制系统过渡过程的时间（即快速性） 对控制系统过渡过程的时间（即快速性）和最大 振荡幅度（即超调量）一般都有具体要求。 振荡幅度（即超调量）一般都有具体要求。 3、准确性(准) 、准确性 准 稳态误差是在系统过渡过程结束后， 稳态误差是在系统过渡过程结束后，期望的稳态 输出量与实际的稳态输出量之差。 输出量与实际的稳态输出量之差。 稳态误差是衡量控制系统控制精度的重要标志。 稳态误差是衡量控制系统控制精度的重要标志。
其它分类方法 按时间概念分：定常系统、时变系统 时间概念分：定常系统、 概念分 输入输出信号的数量分 单输入单输出系统、 按输入输出信号的数量分：单输入单输出系统、多 输入多输出系统 控制方式分 开环控制系统、闭环控制系统、 按控制方式分：开环控制系统、闭环控制系统、复 合控制系统 系统功用分类 温度控制系统、 分类： 按系统功用分类：温度控制系统、位置控制系 统…… 元件类型分类 机电系统、气动系统、液压系统、 分类： 按元件类型分类：机电系统、气动系统、液压系统、 生物系统…… 生物系统
ω
[sin′ ω t ]
（3）积分定理
1 1 L ∫ f (t )dt = ⋅ F (s ) + f ( -1 ) (0 ) s s
[
]
零初始条件下有： 零初始条件下有：
1 L ∫ f (t )dt = ⋅ F (s ) s
[
]
例4 求 L[t]=? =?
t = ∫ 1(t )dt 1 1 1 1 解. L [t ] = L ∫ 1 (t )dt = ⋅ + t t = 0 = 2 s s s s t2 t2 = ∫ t dt 例5 求 L = ? 2 2 1 1 1 t2 1 = 3 解. L t 2 2 = L t dt = ⋅ 2 + ⋅ ∫ s s s 2 t=0 s
∫
∞
) s− A= s 令
∞ ) − s ⋅t 0
0
e f (t ) ⋅ e
At
−t⋅s
− ( s − A )⋅ t dt dt = ∫0 f ( t ) ⋅ e
= ∫ f (t ) ⋅ e
例7 例8 例9
) = F (s ) = F ( s − A) = 右 dt
1 1 =) = Le = L 1(t ) ⋅ e ) s s → s−a s − a ) s+3 s - 3t = L e ⋅ cos 5t = ) 2 2 (s + 3)2 + 52 ) s + 5 s →s+3
解.
1 1 − e − as − as 1 L [ f ( t ) ] = L [1( t ) − 1( t − a ) ] = − e ⋅ = s s s
f ( t ) = 1( t ) − 1( t − a )
（5）复位移定理
L e A⋅t f ( t ) = F ( s − A)
∞
[
]
证明： 证明：左 =
（3）正弦函数
L[ f(t)] = ∫ sin ω t ⋅ e − st dt = ∫
0 ∞ 0
∞
∞
1 jω t e − e − jωt ⋅ e − st dt 2j
[
]
1 -(s-jω)t e =∫ − e − (s + jω)t dt 2j 0 1 − 1 − (s − jω)t = s − jω e 2j
典型外作用： 典型外作用： 可选为典型外作用的函数应具备以下条件： 可选为典型外作用的函数应具备以下条件： ⑴这种函数在现场或实验室中容易得到； 这种函数在现场或实验室中容易得到； ⑵控制系统在这种函数作用下的性能代表在 工作条件下的性能； 工作条件下的性能； 实际
这种函数的数学表达式简单、便于理论计算。 ⑶这种函数的数学表达式简单、便于理论计算。
2、随动系统 、 系统输入量随时间变化。 系统输入量随时间变化。 系统的基本任务是使系统的输出量以要求的精度 跟随输入量变化，因此系统分析、 跟随输入量变化，因此系统分析、设计的重点是研究 被控量跟随的快速性和准确性。 被控量跟随的快速性和准确性。 3、程序控制系统 、 系统的输入量按预定规律随时间变化， 系统的输入量按预定规律随时间变化，要求被控 量迅速、准确地加以复现。 量迅速、准确地加以复现。
∞ 0
[
]
− 1 − (s + jω)t ∞ e − 0 s + jω
1 1 1 1 2 jω ω = s − jω − s + jω = 2 j ⋅ s 2 + ω 2 = s 2 + ω 2 2j
拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
∞
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
L[ f ′(t )] = s ⋅ F (s ) − f (0 )
∞
-st − st − st − st 左 证明： 证明： = ∫ f ′(t ) ⋅ e dt = ∫ e df (t ) = e f (t ) 0 − ∫ f (t ) de ∞
[
]
∞
0
0
0ห้องสมุดไป่ตู้
= [0 -f (0 )] + s ∫ f (t ) e − st dt = sF (s ) − f (0 ) = 右
证明： 证明：左 =
∫
∞
0
∞
f ( t − τ 0 ) ⋅ e − t ⋅ s dt
t −τ 0 = τ
令
=∫
例6
−τ 0
f (τ ) ⋅ e
− s (τ +τ 0 )
dτ = e
−τ 0 s
∫τ
−
∞
f (τ ) ⋅ e −τ s dτ = 右
0
0 t < 0 f (t ) = 1 0 < t < a , 求F(s) 0 t > a
1、阶跃函数 、 数学表达式：
或
0 t < 0 f (t ) = R t ≥ 0
f ( t ) = R ⋅ 1( t )
幅值R=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。 的阶跃函数称为单位阶跃函数。 幅值 的阶跃函数称为单位阶跃函数 在控制系统的分析设计工作中， 在控制系统的分析设计工作中，一般将阶跃函数 作用下系统的响应特性作为评价系统动态性能指标 的依据。 的依据。
at at
[ ]
[
]
f ( t ) = Aδ ( t )
4、正弦函数 、 数学表达式： 数学表达式：
f (t ) = A sin(ωt − ϕ )
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉普拉斯 拉普拉斯(Laplace)变换的定义 变换的定义
函数f(t),若满足： 若满足： 函数 若满足 1.t<0时， f(t)=0， t>0时， f(t)在各个有限区间上 时 ， 时 在各个有限区间上 是分段连续的； 是分段连续的； ∞ 2. ∫0 f (t )e −σt dt < ∞ 其中σ为正实数 其中σ 的拉普拉斯变换F(S)为 则f(t)的拉普拉斯变换 的拉普拉斯变换 为 ∞ F(S)= L[ f (t )] = ∫0 f (t )e − st dt 式中:s为复变数 为复变数,且 式中 为复变数 且Re[s]> σ. f(t)—原函数 称为拉普拉斯算子. 原函数,F(s)—象函数 称为拉普拉斯算子 象函数,s称为拉普拉斯算子
控制工程基础
主 讲 陈 青 林
本次课的主要内容
1.自动控制系统的分类 自动控制系统的分类 △对自动控制系统的基本要求 2. 微分方程和传递函数的建立 3. 传递函数的定义及求法 4. 传递函数的性质 5. Laplace变换 变换
1-3 自动控制系统的分类
按数学模型分 数学模型分 线性系统与非线性系统 线性系统由线性微分方程或线性差分方程描述 满足叠加原理）； （满足叠加原理）； 系统中只要有一个元部件的输入系统中只要有一个元部件的输入-输出特性是非 线性的，就为非线性系统。 线性的，就为非线性系统。
1-4 对自动控制系统的基本要求
基本要求：稳定性、快速性、 基本要求：稳定性、快速性、准确性 1、稳定性(稳) 、稳定性 稳 稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。 稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。 稳定的控制系统， 稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏 差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。 差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。 线性自动控制系统的稳定性是由系统结构所决定 与外界因素无关。 的，与外界因素无关。
按信号的性质分 信号的性质分 连续系统与离散系统 若输入量和输出量都是时间连续函数的系统， 若输入量和输出量都是时间连续函数的系统，称 为连续系统； 为连续系统； 若系统中信号有一处或一处以上为离散时间函数， 若系统中信号有一处或一处以上为离散时间函数， 称为离散系统。 称为离散系统。 连续信号经过采样开关的采样就可转换为离散信 号。
2、斜坡函数（速度信号） 、斜坡函数（速度信号） 数学表达式： 数学表达式：
3、脉冲函数 、 定义： 定义： 或
0 t<0 f (t ) = Rt t ≥ 0
A f (t) = lim [1(t) −1(t −t0)] t0 →0 t 0
A=1为单位脉冲函数，δ函数。 为单位脉冲函数， 函数。 为单位脉冲函数
线性连续控制系统
dn d n −1 d a0 n c(t ) + a1 n −1 c(t ) + ... + an −1 c(t ) + an c(t ) dt dt dt dm d m −1 d = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ... + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
∞
[ f ( ) (t )] = s F (s ) − s
n n
0
n- 1
f (0 ) − s n- 2 f ′(0 ) − L − sf (n- 2 ) (0 ) − f (n −1) (0 )
n (n ) 0初条件下有： L f (t ) = s F (s ) 初条件下有：
[
( )
]
例2 求
L[δ (t )] = ?
进一步有： 进一步有： 1 1 1 1 L ∫∫ L∫ f (t )dt n = n F (s ) + n f (−1 ) (0 ) + n−1 f (− 2 ) (0 ) + L + f (− n ) (0) s { s s s n个
[
]
[
]
[
]
（4）实位移定理
L[ f ( t − τ 0 )] = e − τ 0 ⋅ s ⋅ F ( s )
L[ f ( t )] = F ( s ) = ∫ f ( t ) ⋅ e dt
− ts 0
∞
F ( s) 像 f ( t ) 原像
常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 （1）阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 (0 − 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = e 0 = s s s 0