广东省广州市普通高中2018届高三数学12月月考试题01(含解析)
广东广州市普通高中学校2018届高考高三数学12月月考试题+01 Word版 含答案
2018高考高三数学12月月考试题01满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ， 则=B A _____________．3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是__________________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为_____________．7．小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为_____________（结果用分数表示）。
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________．9．动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为_______________．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅，则△ABC 的面积为______________．11．已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___________．12．给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心、||为半径的劣弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为______．（第6题图）13．设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(-+=是奇函数，则ba 的取值范围是________________．14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的…………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．以下说法错误的是……………………………………………………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 17．设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则0)2({>-x f x }等于…（ ） A ．2{-<x x 或}2>x B ．2{-<x x 或}4>x C ．0{<x x 或}6>x D ．0{<x x 或}4>x18．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，c by ax ++=111δ，c by ax ++=222δ．有四个命题：①若021>δδ，则点M 、N 一定在直线l 的同侧；②若021<δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；③若021=+δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；④若2221δδ>，则点M 到直线l 的距离大于点N 到直线l 的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……………………（ ） A ．① ② ③ B ．① ② ④ C ．② ③ ④ D ．① ② ③ ④三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求三棱锥ABC P -的体积V ；（2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知椭圆171622=+y x 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ．设过点),(m t T 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点),(11y x M 、),(22y x N ，其中0>m ，01>y ，02<y ．（1）设动点P 满足3||||22=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）若31=x ，212=x ，求点T 的坐标．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．P A B23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知R ∈a ，函数||)(a x x x f -⋅=．（1）当2=a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）； （2）当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最小值又有最大值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．。
广东省广州市2018届高三12月调研测试数学(理)试题含答案
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018届广州市高三年级调研测试理科数学2017．12 本试卷共5页,23小题, 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->,则AB =A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35CD3．在等差数列{}n a 中,已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ,y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．2126．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数,若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点,平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23 B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10．()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 AB．3C．1 D．212．对于定义域为R 的函数()f x ,若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数"．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1xf x x =--;()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分． 13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ,若ab ,则向量a 的模为________．14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若201822a =,则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =,cos (2)cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小； （2)求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分)如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ,EDPA ,且22PA ED ==．（1)证明：平面PAC ⊥平面PCE ;（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.(本小题满分12分）EDBCAP某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量图．y (百斤)与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线(1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01)．（若75.0||>r ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ,且过点261,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；(2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x轴交于点H ，若110F B F H •=，且MO MA =，求直线l 的方程． 21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时,若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围;（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．x y （百斤）54386542（千克）O（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程;（2)已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1)当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ,且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题 17．（1)解法1:由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分 因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分 所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．………………………………………………………………………5分 因为0A <<π，所以3A π=．…………………………………………………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分 即222b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．………………………………………………………………………… 5分因为0A <<π， 所以3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1:由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分 即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分 解法2:因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =,3A π=，所以b B =，c C =．…………………………………………………………………8分所以)2sin sin a b c B C ++=+22sin sin 3B B ⎡π⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<,所以当3B π=时,a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分18．(1)证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ,F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ,且12DE PA =，所以OFDE ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ,所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2)解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分所以AC AB =,故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ,()10,0，=DE ．…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．…………11分设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角,所以cos cos,4θ⋅=-=-==-⋅n mn mn m．所以二面角DCEP--的余弦值为46-．…………………………………………………………12分解法2:因为直线PC与平面ABCD所成角为45，且⊥PA平面ABCD，所以45PCA∠=，所以2==AC PA．………………………………………………………………7分因为2AB BC==,所以∆ABC为等边三角形．因为⊥PA平面ABCD,由（1）知//PA OF，所以⊥OF平面ABCD．因为⊂OB平面ABCD，⊂OC平面ABCD，所以⊥OF OB且⊥OF OC．在菱形ABCD中,⊥OB OC．以点O为原点，OB，OC，OF分别为x,y，z轴,建立空间直角坐标系-O xyz(如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E，则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD．……………………………………………9分设平面PCE的法向量为111(,,)x y z=n ，则0,0,CPCE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即11111220,0.y zy z-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令11=y，则111,1.yz=⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n．……………10分设平面CDE的法向量为222(,,)x y z=m，则0,0,CECD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm即222220,0.y zy⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令21=x，则220.yz⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m．………………………………………………11分设二面角--P CE D的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos,4θ⋅=-=-==-⋅n mnmn m．所以二面角--P CE D的余弦值为4-．…………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y++++++++====．……………………1分zOyxPACBDE因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >,所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分 ②安装2台光照控制仪的情形:当X >70时，只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y =3000—1000=2000元， 当30<X ≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y =2×3000=6000元， 故Y 的分布列为所以20000.260000.85200EY =⨯+⨯=元． ………………………………………………………9分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时,只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元， 当50≤X ≤70时,有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y =2×3000—1×1000=5000元， 当30<X ≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元， 故Y 的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=元． ………………………………………11分 综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分20．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =．……………………………………1分又222+a b c =，得22=3b c ，即2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=．把点⎛ ⎝⎭代人C 中，解得24a =．………………………………………………………………2分 所以椭圆C 的方程为22143y x +=．……………………………………………………………………3分 （2）解法1：设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为+2y kx =,由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．…………………………………………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+,…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上， 所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-,即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分 设(,0)H H x ,又直线HM 垂直l ,所以1MH k k=-，即111H k x k=---．…………………………8分所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分又()10,1F ,所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 因为110F B F H ⋅=，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分 解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为2y x =+．………………………………………………………………12分解法2：设直线l 的斜率为k ,则直线l 方程+2y kx =,由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分 所以226834B k y k -+=+． 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭,()1,1H F H x =-．…………………………………………………6分因为110F B F H ⋅=，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+,解得29412H k x k -=．………………………7分 因为MO MA =,所以()22222M M M M x y x y +=+-,解得1M y =．………………………………8分所以直线M H 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩ 解得()22920121M k y k +=+．…………………………10分 由()229201121M k y k +==+,解得283k =．……………………………11分 所以直线l的方程为2y x =+．……………………………………12分21．解:（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．…………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，…………………2分取10e ax -=，则211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,……………………………………3分 (或：因为00x <<01ex <时，所以()200001ln ln ln 0e f x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，所以()()010f x f <，此时函数()f x 有一个零点．………………4分②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则02a f a ==即2e a =-．………………………5分 综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．……………………6分 （2)因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．……………………………………………7分 因为0a b +=,则a b =-．所以()ln b f x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在(]1,e 上单调递增,()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦,………………8分 因为1e eb f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+,所以()()max1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭．……………9分 设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >,则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增,故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．……………………………………………10分 所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤,设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=,所以e e 10bb --+≤,即为()()1b ϕϕ≤,解得1b ≤．……………………………11分因为0b >,所以b 的取值范围为(]0,1．…………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）,因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，,则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．………………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．……………………………5分 （2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．……………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ,……………7分因为225>,所以圆2C 与直线l 相离．……………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--,解得1≤-x ．………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．……………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．……………………………5分（2)解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ,所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知,a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。
广东省广州市普通高中18届高三数学12月月考试题061801180221
2018高考高三数学12月月考试题06（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．223lim 2n n n n n→∞+=- ． 2．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B =，则a = ．3．若行列式,021421=-x 则=x ． 4．若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ．5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．6．己知(1,2sin )a θ=，cos 1b θ=-（，），且⊥，则tan θ= ． 7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ． 9．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，则△ABC 的面积等于 ．11．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = ．12．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ．14.某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论：①函数)(x f y =的图像是轴对称图形；②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立；③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k 满足1>k 时，函数()y f x =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y --=16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x =，(cos )b x x =，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+．（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为221x y -=，过点(M 且与C 的伴随曲线相切的直线l 交曲线C 于1N 、2N 两点，求12ON N ∆的面积（O 为坐标原点）（3）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1） 求数列{}n a 的通项公式n a ；（2） 设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．（3）在数列{}n d 中，11d =，且满足11n n n d a d ++=*()n N ∈，求下表中前n 行所有数的和n S . 112d d d 123d d d 213d d d…… 11n n d d d + 211n n d d d -+ ...... 11k n k n d d d -++ (11)n n d d d +参考答案1． 21 2． 4 3．2 4． 1 5． 20 6．21 7． 24yx = 8．29． 2510． 11．21 12．③13．． ①②④15．D 16． C 17．C 18．D19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅= ……………………… 3分cos 21222x x +=⋅+cos221x x =+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分 ∴最小正周期 22T ππ== ………………………… 8分 当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=…………………10分 当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分 20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += ………… 2分 由22252a b ai i ++=+ 得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分（2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分 ∴w 1≥ ……………………………… 14分21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分 故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分（2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ ……8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； ……………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+， ()max (10)12.5f x f ==． ……………………………12分 所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．……………………………14分22．解：（1）∵c =1c =………………………1分 由12c c ==，即22224()a b a b +=-可得 2235b a = ………………………3分 ∴C的渐近线方程为y x = ………………………4分 （2）双曲线C 的伴随曲线的方程为221x y +=，设直线l的方程为(y k x =，由l 与圆1= 即 2231k k =+解得2k =± ……………………………6分当2k =时，设1N 、2N 的坐标分别为111(,)N x y 、222(,)N x y由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得221(12x x -+=，即250x --=，∵24(5)320∆=-⋅-=>，x =∴12x x -=∴1212N N x =-==………………………8分∴1212112ON N S N N ∆=⨯⨯=由对称性知，当2k =时，也有12ON N S ∆=…………………………10分 （3）设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，又(2,0)A -、(2,0)B ，∴直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++…………① 直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--…………② …………………………12分 由①②得0042x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………14分 ∵ 00(,)P x y 在双曲线22142x y -=上 ∴222244142y x x -= ∴22142x y += ……………………………………16分23．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分∴(*)n a n n N =∈……………………………4分 （2）∵11n a n +=+，1221222n n c c c n +++=+ 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+①，及11221222n n c c c n --+++=② ①－②得12n n c =，得2n n c = …………………7分 ∴4(1)2(2)n n n c n =⎧=⎨≥⎩…………………8分 ∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=- ……………10分 (3)∵111n n n d a n d ++==+ ∴3122341234(1)n n d d d d n d d d d +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ 又∵11d = ∴1!n d n = ………………………………13分∵111(1)!(1,2,)!(1)!k k n k n k n d d n C k n d k n k -+-+++===-+ ………………………………14分 ∴第n 行各数之和121121111111122(1,2)n n n n n n n n n n n d d d d d d C C C n d d d +-+++++++++=++⋅+=-=…………16分 ∴表中前n 行所有数的和231231(22)(22)(22)2222n n n S n ++=-+-++-=+++- 222(21)222421n n n n +-=-=--- ……………………………18分。
数学---广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考试题04
广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考数学试题04一．填空题1．已知集合{}{}a x x B x x A ≥=≤=,2，且R ⋃A B=，则实数a 的取值范围是_________．2．函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数=-)(1x f________________．3．抛物线22x y =的焦点坐标是_______________．4．若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______． 5．已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V ． 6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ． 7．在ABC ∆中，2,3==AC AB ，10=BC ，则=⋅AC AB ． 8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．9．如果执行下面的框图，输入4=N ，则输出的数S 等于 ．10．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是 ． 11．已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 ．12．已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x ax x a x f x 满足对任意21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则的取值范围是_______．13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．14．设,R ∈x y ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+++4)1(2013)1(4)4(2013)4(315315y y x x ，则=+y x ． 二．选择题15．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A . x y 2±= B. x y 2±= C . x y 21±= D . x y 22±=16．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是（ ）A .逆命题为“单调函数不是周期函数” B.否命题为“周期函数是单调函数” C .逆否命题为“单调函数是周期函数” D . 以上三者都不对17．已知复数0=1+2i z 在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线z i z l =--22:的对称点的复数表示是（ ）A .-i B.i C .1-i D .1+i18．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值（ ）a )0,0(12222>>=-b a by a x 32A .恒为正数B.恒为负数 C .恒为0D .可正可负三．解答题19．如图已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA 的长为8，且垂直于底面，点N M 、分别是AB DC 、的中点．求：（1）异面直线PM 与CN 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四棱锥ABCD P -的表面积.20．已知数列{}n a 满足+1*1+1=2,=3+3-2()N ∈n n n n a a a n ．（1）设nn n n a b 32-=，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，满足0=⋅． （1）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的最小正周期；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2()(A f x f ≤对所有R ∈x 恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围．22．设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证:2221ab k k -=⋅；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．23．我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数；（2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[),+1,Z ∈∈x n n n 的解析式；（3）对于确定的T x T ≤<>00且时，xx f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．【参考答案】一．填空题1．2≤a ；2．)2(2)(11≥=--x x f x ；3．)81,0(；4．2；5．33；6．2π；7．23；8．21-2或-；9．54；10．332454C 1=C C 40；11．1；12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23；13．4；14．-3．二．选择题 15．D16．D17．B18．A三．解答题19．解：（1）方法一：连结AM ，可证CN ∥AM ， 直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成角．因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM 在Rt ΔPAM 中,8=PA ,53=AM ,1558538tan ==∠PMA ,1558arctan =∠∴PMA ，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1558arctan．方法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得)0,6,3(M ，)8,0,0(P ，)0,0,3(N ，)0,6,6(C ，)8,6,3(-=∴PM ，)0,6,3(--=∴CN ，直线PM 与CN 所成角为θ，向量CN PM 与的夹角为ϕ，10954534510945cos -=⋅-==ϕ ， 又1095453cos cos ==ϕθ，1095453arccos =θ，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1095453arccos． (2) 因为PA 垂直于底面,所以AB PA ⊥，AD PA ⊥，即Rt ΔPAB ≌Rt ΔPDCPB BC BC AB BCPA ⊥⇒⎩⎨⎧⊥⊥，同理PD CD ⊥，Rt Δ∴PBC ≌Rt ΔPAD ， 底面四边形ABCD 是边长为6的正方形，所以36=底S ， 又PAB S S ∆=侧PAD S ∆+PBC S ∆+PCDS ∆+1086048)21(2)21(2=+=⋅⨯+⋅⨯=BC PB AB PA ，14436108=+=表S ，所以四棱锥ABCD P -的表面积是144.20．解：（1）n n n n n n n n a a b b 32321111---=-++++ 132********=----+=+++nnn n n n n n a a ， }{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ，()n n n n a 231+⋅-=∴．（2）设n n n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅= ， 则31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T ．11123)1(31)31(93)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T ．493)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．()()412332222312++-=++++=∴++n n nn n n T S ．21．解：（I ）由0=⋅得0cos sin 32cos 22=-+y x x x ，即x x x y cos sin 32cos 22+=π=cos2++1=2sin(2+)+16x x x ，所以π()=2sin(2+)+16f x x ，其最小正周期为π．（II ）因为)2()(A f x f ≤对所有R ∈x 恒成立，所以3)2(=A f ，且ππ+=2π+,62Z ∈A k k ， 因为A 为三角形内角，所以0<<πA ，所以π=3A ． 由正弦定理得B b sin 334=，C c sin 334=，C B c b sin 334sin 334+=+2π=sin(-)3B B π=4sin(+)6B ，2π(0,)3∈B Q ，π1sin(+)(,1]62∴∈B ，]4,2(∈+c b 所以c b +的取值范围为]4,2(.22．解：（1）解法一：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E ，02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax px k y ， 212221212k a b pa k x x +-=+∴ ，p k a b pa k k y y 22212221121++-⋅=+212222k a b pb +=， 又2121221021022x x y y k y y y x x x ++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21222pa k pb -=，2221a b k k -=⋅∴， 解法二（点差法）：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E ，)1(1221221=+b y a x ，)2(1222222=+by a x ， 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x ， 即0)(2)(222102210=-+-b y y y a x x x ，222020221211k a b y a x b x x y y k ⋅-=⋅⋅-=--=∴，2221ab k k -=⋅∴.（2）逆命题：设直线p x k y L +=11：交椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．若2221ab k k -=⋅，则E 为CD 的中点．证法一：由方程组02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y ， 因为直线p x k y L +=11：交椭圆Γ于D C 、两点，所以>0Δ，即022212>-+p b k a ，设),(11y x C 、),(22y x D 、),(00y x E ，则2122212102k a b pa k x x x +-=+=∴ ，212222102k a b pb y y y +=+=， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=xk y k k p x x k y p x k y 21221，又因为2221a b k k -=⋅ ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+===+-=-=0212222021221212y k a b p b x k y x k a b p k a k k px ，故E 为CD 的中点．证法二：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E ，则)1(1221221=+b y a x ，)2(1222222=+bya x ， 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ，即)()(21221221211y y a x x b x x y y k +⋅+⋅-=--=，又0022221,x y k ab k k =-=⋅ ，002121y x x x y y =++即0212211x p kx x x p x k p x k +=++++，012112x pk x x p k +=++∴，得0212x x x =+0212y y y =+∴，即E 为CD 的中点．（3）设直线0,11≠+=p p x k y L ：交双曲线)0,0(12222>>=-Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．则E 为CD 中点的充要条件是2221ab k k =⋅．23．解：因为R ∈x 关于原点对称，又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，所以)1()1(x f x f +=-① 又1=T ，,)()1(x af x f =+∴用x -代替x 得,)()1(x af x f -=+-③ 由①②③可知,)()(x af x af -=01≠≠a a 且 ，)()(x f x f -=∴．即函数)(x f 是偶函数；（2）当<+1()Z ≤∈n x n n 时，0-<1()Z ≤∈x n n)1)((2)(2)2(2)1(2)(2x n n x n x f x f x f x f n n -+-=-==-=-= ；（3）当<(+1)()N ≤∈nT x n T n 时，0<-()N ≤∈x nT T nnT x n n a nT x f a T x f a T x af x f -=-==-=-=3)()2()()(2 ，显然0<a 时，函数)(x f y =在区间),0(+∞上不是单调函数，又0>a 时，-()=3,(,(+1)],N ∈∈n x nTf x a x nT n T n 是增函数，此时()(,3],(,(+1)],N ∈∈∈nn Tf x a a x nT n T n ，若函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有T n n a a 31≥+，解得Ta 3≥ ．。
数学---广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考试题05
广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考数学试题05一．填空题1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.3．（理）若θ为第四象限角，且π4sin 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. （文）若4cos 5θ=，则=θ2cos ___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如下图所示，则()f x = .6．（理）若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. （文）若(1,2)n = 是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示)7．（理）不等式21200210321x x +-≥的解为 . （文）不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．（理）已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 .（文）数列{}n a 的通项公式*1 , 1()1 , 2(1)N n n a n n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩，前n 项和为n S ，则lim nn S →∞=_____________.11. （理）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++可能的值有____________个.（文）边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则EC EM⋅的取值范围是____________.12．（理）在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB的中点，若2,AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.（文）函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________. 13．（理）函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”__________.（文）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++的最大值为 .14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去， （理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________. （文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)N n n n n n ---≥∈ 的是（ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的（ ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．（理）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （ ） (A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y （不是原点），A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形（ ）(A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆 三．解答题 19．已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆，求a 的取值范围.20．已知函数)(x f =21log 1x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．（理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40cm R =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280cm l = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中ABC α∠=(3ππ4α<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60cm BS =,100cm ST =. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，求证：40cot 602OE α=+(cm)；(2)当α=5π6时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40cm R =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60cm AB BC ==，如果地面上有(cm)h (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).（1）当轮胎与AB 、BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为103d h =+-； (2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值. (精确到1cm).22．（理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点），过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 .(1)求椭圆C 的方程； (2)求PQT ∆面积的最大值；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.（文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.23．（理）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.（文）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .(1) 若135,,a a a 成等比数列,求d 的值；(2) 在11a =, 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由； (3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ，公比为正整数q (1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”. 于是，他在数列{}n c 中任取三项,,()k m n c c c k m n <<，由k n c c +与2m c 的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？【参考答案】一、填空题1. 2-1113-2⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 13x -3. （理）2425- （文）7254. 85. 2sinπ4x 6. （理）arctan12（文） arctan2 7. （理）x ≤0（文）x ≥0 8.3135 9. 1 10. （理）0<q ≤1（文）3211. （理） 3 （文）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. （理）2316（文）0<m13. （理） 1（文） 14. （理） 5（文）5二、选择题15. C 16. B 17.A 18. （理）C （文）A 三、解答题 19. 解：A =(3,4)，a ≥5时，B =(,)(,5)a +∞⋃-∞，满足A ⊆B ；a <5时，B =(5,)(,)a +∞⋃-∞，由A ⊆B ，得a ≥4，故4≤a <5， 综上，得实数a 的取值范围为a ≥4.20. 解：(1)f (x )的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，f (-x )=log 211x x -+--=log 211x x -+=-f (x )， 所以，f (x )为奇函数.(2)由y =21log 1x x +-，得x =2121y y +-,所以f -1(x )= 2121x x +-,x ≠0.因为函数12()()log g x fx k -=-有零点，所以，2log k 应在)(1x f -的值域内.所以，log 2k =2121x x +-=1+221x-(,1)(1,)∈-∞-⋃+∞, 从而，k 1(2,)(0,)2∈+∞⋃.21．（理）解：(1) 由OE //BC ，OH //AB ，得∠EOH =α，过点B 作BM ⊥OE ，BN ⊥OH ，则Rt ∆OMB ≅Rt ∆O N B ，从而∠BOM =2α.在Rt ∆OMB 中，由BM =40得OM =40cot2α，从而，OE =OM +ME =OM +BS =40cot602α+.(2)由(1)结论得OE =04060tan 75+. 设OH =x ，OF =y , 在∆OHG 中，由余弦定理得,2802=x 2+(04060tan 75++100)2-2x (04060tan 75++100)cos1500 , 解得x ≈118.8cm.在∆OEF 中，由余弦定理得,2802=y 2+(04060tan 75+)2-2y (04060tan 75+)cos1500 , 解得y ≈216.5cm. 所以，FH =y -x ≈98cm ，即后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了约98cm.（文）解：(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，设轮胎与AB 边的切点为T ，轮胎中心为O ，则|OT |=40，由∠ABC =1200，知∠OBT =600， 故|OB. 所以，从B+40， 此轮胎露在水面外的高度为d+40-(060cos 60⋅10h +-，得证. (2)只要d ≥4010h +-≥40，解得h ≤16cm.，所以h 的最大值为16cm. 22．（理）解:(1)由222211112a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得a 2=2,b 2=1 所以，椭圆方程为2212x y +=.(2)由 22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+2)y 2+2my -1=0, 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由条件可知，点(2,0)T . PQT S ∆=12|FT ||y 1-y 2|=12令t =212m +，则t 1(0,]2∈，则PQT S ∆2≤，当且仅当t =12，即m =0，(此时PQ 垂直于x 轴)时等号成立，所以PQT S ∆.(3) P Q ' 与QT 共线，P '(x 1,-y 1)，P Q ' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2) ，由(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=-x 1y 2-x 2y 1+2(y 1+y 2)=-(my 1+1)y 2-(my 2+1)y 1+2(y 1+y 2)=-2my 1y 2+(y 1+y 2)=-2m 212m -++222mm -+=0，所以，P Q ' 与QT 共线.（文）解:(1)由222211112a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得a 2=2,b 2=1, 所以，椭圆方程为2212x y +=.(2)设PQ :y =x -1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0,解得：P (41,33),Q (0,-1)，由条件可知点(2,0)T ,PQT S ∆=12|FT ||y 1-y 2|=23. (3) 判断：P Q ' 与QT 共线. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则P '(x 1,-y 1)，P Q ' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ=(x 2-2,y 2), 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=.(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k (x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k +kx 2-k )=3k (x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k =3k 22412k k +-2k 222212k k -+-4k =k (2222124441212k k k k ---++)=0. 所以，P Q ' 与QT 共线.23．（理）解:(1)由已知可得：111,,k m n k m n a aq a aq a aq ---===,则2m k n a a a =⋅,即有()()()2111m k n aq aq aq ---=, 2(1)(1)(1)m k n -=-+-，化简可得. 2m k n =+.(2) 11k n k n a a aq aq --+=+,又122m m a aq -=,故 1111()22(12)k n m k n k m k k n m a a a aq aq aq aq q q ------+-=+-=+-,由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>, 所以，k n a a +>2m a ,从而上述猜想不成立.(3)命题:对于首项为正整数a ，公差为正整数d 的无穷等差数列{}n a ，总可以找到一个无穷子数列{}n b ,使得{}n b 是一个等比数列.此命题是真命题,下面我们给出证明.证法一: 只要证明对任意正整数n ,(1),1n n b a d n =+≥都在数列{a n }中.因为b n =a (1+d )n =a (1+1C n d +2C n d 2+…+C n n d n )=a (Md +1)，这里M =1C n +2C n d +…+C n n dn -1为正整数，所以a (Md +1)=a +aMd 是{a n }中的第aM +1项，证毕.证法二：首项为a ,公差为d ( *,N a d ∈)的等差数列为,,2,a a d a d ++ ,考虑数列{}n a 中的项: 2,(2),(33),a ad a a ad d a a ad d d ++++++依次取数列{}n b 中项1(1)b a ad a d =+=+,22(2)(1)b a a ad d a d =++=+, 233(33)(1)b a a ad d d a d =+++=+,则由2233a a ad a ad d <+<++,可知3212b b b b =,并由数学归纳法可知,数列(1),1n n b a d n =+≥为{}n a 的无穷等比子数列.（文）解:(1)由a 32=a 1a 5，即(a 1+2d )2=a 1(a 1+4d )，得d =0.(2) 解：a n =1+3(n -1)，如b n =4n -1便为符合条件的一个子数列.因为b n =4n -1=(1+3)n -1=1+11C n -3+21C n -32+…+11C n n --3n -1=1+3M ,这里M =11C n -+21C n -3+…+11C n n --3n -2为正整数，所以,b n =1+3M =1+3 [(M +1)-1]是{a n }中的第M +1项，得证.(注：b n 的通项公式不唯一)(3) 该命题为假命题.由已知可得111,,k m n k m n c aq c aq c aq ---===,因此,11k n k n c c aq aq --+=+,又122m m c aq -=,故 1111()22(12)k n m k n km k k n m c c c aq aq aq aq q q ------+-=+-=+-,由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>, 所以，k n c c +>2m c ,从而原命题为假命题.。
数学---广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考试题02
广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考数学试题02一、填空题1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________．2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 3．函数π=sin(2+)3y x 的最小正周期是_________．4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 5．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______．6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 8．已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ．9．若直线l ：y=kx 经过点2π2π(sin ,cos )33P ，则直线l 的倾斜角为α = ．10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人．11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） 13．若函数y=f (x ) (x ∈R )满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0,⎩⎨⎧=+=+2323y x ny mx3)，则线段MN 长度的最小值是 ． 二、选择题 15．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） (A) 22a b < (B) 2ab b < (C)2b a a b +> (D) 1<ab16．如图是某程序的流程图，则其输出结果为( )(A)20112010 (B) 20111 (C) 20122011 (D) 2012117．已知f (x )=x 2–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的（ ） (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件18．给定方程：1()sin 102xx +-=，下列命题中：(1)该方程没有小于0的实数解；(2)该方程有无数个实数解；(3)该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4)若x 0是该方程的实数解，则x 0>–1．则正确命题的个数是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题19．已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |212x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．20．已知函数ππ()sin(2)sin(2)233f x x x x ma =++-+-，x ∈R ，且f (x )的最大值为1．(1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =a b c =+，试判断△ABC 的形状．21．已知函数]2,0(,2)(2∈+-=x xax x x f ，其中常数a > 0． (1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．22．设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t∈，求 △B 2PQ 的面积S 的取值范围．23．已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ= (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N *)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．22QB PB ⊥【参考答案】一、填空题 1．23x + 2．{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 3．π 4．2 5．–2 6．21 7．–1608．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭9．5π6 10．40 11．14422=-y x12．181713．4 14．24- 二、选择题15．D 16．C 17．A 18．C 三、简答题19．解：(1) 由| x –a | < 2，得a –2<x <a +2，所以A ={x | a –2<x <a +2} 由212x x -+<1，得32x x -+<0，即 –2<x <3，所以B ={x |–2<x <3}． (2) 若A ⊆B ，所以2223a a -≥⎧⎨+≤⎩，所以0≤a ≤1．20．解：(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin π2sin(2)3x m =+- 因为max ()2,f x m =-所以1m =， 令–π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π得到：单调增区间为5ππ[k π-,k π+]1212(k ∈Z ).(2) 因为()1f B =，则π2sin(2)113B +-=，所以π6B =b c =+sin sin A B C =+15πsin()26A A =+- 化简得π1sin()62A -=，所以π3A =， 所以π2C =，故△ABC 为直角三角形．21．解：(1) 当4=a 时，24)(-+=xx x f ， 任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=121244x x x x +--212121)4)((x x x x x x --=， 因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；(2)2)(-+=xax x f 22-≥a ， 当且仅当a x =时等号成立，当20≤<a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减， 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为2a ， 综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.42,4022)(mina a a a x f22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b ，在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .因此所求椭圆的标准方程为：221204x y +=. (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=- ，所以 212122)2)(2(y y x x B B +--=⋅2216645m m -=-+，由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅ =0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0. (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ， 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ， 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-= 设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S ，综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S . 23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a ， 由3122a a a ⋅=，计算得67-=λ． (2) 由题意01121=-+⋅⋅⋅++++n n a a a a λ， 可得：)2(01121≥=-+⋅⋅⋅+++-n a a a a n n λ， 所以有0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ， 得到：)2(11≥+=+n a a n n λλ，故数列}{n a 从第二项起是等比数列， 又因为λ712=a ，所以n ≥2时，2)1(71-+=n n a λλλ， 所以数列{a n }的通项⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-=-.2)1(71,1762n n a n n λλλ(3) 因为31=λ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅=-=-.2473,1762n n a n n假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p ， 即：2⨯(37)⨯4k –2 = 37⨯4m –2 + 37⨯4p –2，化简得：2⨯4k - p = 4m –p +1， 即22k –2p +1=22m –2p +1，若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1， 故有：m=p=k ，和题设矛盾，②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时， 不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2⨯(37)⨯4p –2 = –67 + (37)⨯4k –2，所以2⨯4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5 – 1， 因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k =3且p =2时成立， 因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列.。
广东省广州市普通高中2018届高三数学12月月考试题05(含解析)
2018高考高三数学12月月考试题05（时间：120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.3．（理）若θ为第四象限角，且4sin 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. （文）若4cos 5θ=，则=θ2cos ___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．（理）若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. （文）若(1,2)n =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示)7．（理）不等式21200210321x x +-≥的解为 . （文）不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．（理）已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S，则公比q 的取值范围是 .（文）数列{}n a 的通项公式*1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩，前n 项和为n S ，则l i m n n S →∞=_____________.11. （理）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++可能的值有____________个.（文）边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是____________.12．（理）在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB的中点，若2,AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.（文）函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.13．（理）函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.（文）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++ 的最大值为 .14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，（理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.（文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是 （ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．（理）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S (A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y （不是原点），A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形(A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中ABC α∠=(34παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60BS cm =,100ST cm =.(其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，求证：40cot 602OE α=+(cm)；(2)当α=56π时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40R cm =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60AB BC cm ==，如果地面上有()h cm (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计). 31. 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为10d h =-； (2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值.(精确到1cm).22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,-在椭圆C上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点），过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 .(1)求椭圆C 的方程；(2)求PQT ∆面积的最大值；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.（文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F，点(1,-在椭圆C上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（理）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.（文）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .(1) 若135,,a a a 成等比数列,求d 的值；(2) 在11a =, 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ，公比为正整数q (1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”. 于是，他在数列{}n c 中任取三项,,()k m n c c c k m n <<，由k n c c +与2m c 的大小关系去判断该命题是否正确.他将得到什么结论？参考答案12．填空题：（每题4分）1. 2111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3 -2 2. 13x - 3. （理）2425- （文）725 4. 8 5. 2sin4x π6. （理）arctan12 （文） arctan2 7. （理）x ≤0（文）x ≥0 8. 31359. 1 10. （理）0<q ≤1（文）3211. （理） 3 （文）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. （理） 2316（文）（理） 1（文）（理） 5（文）513．选择题：（每题5分）15. C 16. B 17.A 18. （理）C （文）A14．解答题19. 解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分 a ≥5时，B=(,)(,5)a +∞⋃-∞，满足A ⊆B ；…………………………………..6分 a<5时，B=(5,)(,)a +∞⋃-∞，由A ⊆B ，得a ≥4，故4≤a<5，……………..10分 综上，得实数a 的取值范围为a ≥4. ……………………………………………..12分20. 解：(1)f(x)的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞……………………………………………..2分 f(-x)=log 211x x -+--=log 211x x -+=-f(x)， 所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分(2)由y=21log 1x x +-，得x=2121y y +-,所以，f -1(x)= 2121x x +-,x ≠0. ……………………………………..9分因为函数12()()log g x fx k -=-有零点，所以，2log k 应在)(1x f-的值域内.所以，log 2k=2121x x +-=1+221x-(,1)(1,)∈-∞-⋃+∞, ………………….13分从而，k 1(2,)(0,)2∈+∞⋃. ……………………………………………..14分 21．（理）解：(1) 由OE//BC ，OH//AB ，得∠EOH=α，………………………..2分过点B 作BM ⊥OE ，BN ⊥OH ，则Rt ∆OMB ≅Rt ∆ONB ，从而∠BOM=2α. ……………………………..4分 在Rt∆OMB中，由BM=40得OM=40cot2α，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot602α+. ………………………………..6分(2)由(1)结论得OE=4060tan 75+.设OH=x ，OF=y,在∆OHG 中，由余弦定理得, 2802=x 2+(04060tan 75++100)2-2x(04060tan 75++100)cos1500, 解得x ≈118.8cm. ………………………………………………………………..9分在∆OEF 中，由余弦定理得, 2802=y 2+(04060tan 75+)2-2y(04060tan 75+)cos1500 , 解得y ≈216.5cm. …………………………………………………………..12分所以，FH=y-x ≈98cm ，即后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了约98cm. ………………………14分（文）解：(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，设轮胎与AB 边的切点为T ，轮胎中心为O ，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， …………………………………..2分 故|OB|=. .…………………………………………………………………..4分所以，从B+40， …………………………..6分 此轮胎露在水面外的高度为+40-(060cos 60⋅10h +-，得证. …..8分(2)只要d ≥40， …………………………………………………………..12分 10h +-≥40，解得h ≤16cm.，所以h 的最大值为16cm. …..14分22．（理）解:(1)由222211112a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得…………………………………..2分 a 2=2,b 2=1所以，椭圆方程为2212x y +=. ………………………………………..4分 (2)由 22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+2)y 2+2my-1=0, 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，由条件可知，点(2,0)T .PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=12..6分 令t=212m +，则t1(0,]2∈， 则PQT S ∆2，当且仅当t=12，即m=0 (此时PQ 垂直于x 轴)时等号成立，所以PQT S ∆的最大值是2. …………..10分 (3) P Q ' 与QT共线 ………………………………………………………………..11分P '(x 1,-y 1)，P Q ' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ=(x 2-2,y 2) (12)分由(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=-x 1y 2-x 2y 1+2(y 1+y 2)=-(my 1+1)y 2-(my 2+1)y 1+2(y 1+y 2) =-2my 1y 2+(y 1+y 2)=-2m212m -++222m m -+ =0，所以，P Q ' 与QT 共线…………………………………………………..16分（文）解:(1)由222211112a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得 ……………………………………………………………..2分a 2=2,b 2=1,所以，椭圆方程为2212x y +=. …………………………………………………..4分(2)设PQ:y=x-1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0, …………………..6分解得： P(41,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=23. ..... (10)分(3)判断：P Q'与QT共线. ….. …….. …….. ………………………………………11分设1122(,),(,)P x y Q x y则P '(x 1,-y 1)，P Q' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ=(x 2-2,y 2), ……………………………..12分由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. ………………………..13分(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k)=3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k 22412k k+-2k 222212k k -+-4k =k(2222124441212k k k k ---++)=0. …………………………..15分所以，P Q ' 与QT 共线. (16)分23．（理）解:(1)由已知可得：111,,k m n k m n a aqa aq a aq ---===, ………..…..1分则2m k n a a a =⋅,即有()()()2111m k n aq aq aq ---=, ………….…………. …..3分 2(1)(1)(1)m k n -=-+-，化简可得. 2m k n =+. …………………………..4分(2) 11k n k n a a aq aq --+=+,又122m m a aq -=,故 1111()22(12)k n m k n k m k k n m a a a aq aq aq aq q q ------+-=+-=+-,……………..6分 由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>, 所以，k n a a +>2m a ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10分(3)命题:对于首项为正整数a ，公差为正整数d 的无穷等差数列{}n a ，总可以找到一个无穷子数列{}n b ,使得{}n b 是一个等比数列. ……….. …….. …………..13分此命题是真命题,下面我们给出证明.证法一: 只要证明对任意正整数n,(1),1n n b a d n =+≥都在数列{a n }中.因为b n =a(1+d)n =a(1+1n C d+2n C d 2+…+n n C d n )=a(Md+1)，这里M=1n C +2n C d+…+n n C d n-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd 是{a n }中的第aM+1项，证毕. ……………..18分证法二：首项为a ,公差为d ( *,a d N ∈)的等差数列为,,2,a a d a d ++ ,考虑数列{}n a 中的项: 2,(2),(33),a ad a a ad d a a ad d d ++++++依次取数列{}n b 中项1(1)b a ad a d =+=+,22(2)(1)b a a ad d a d =++=+,233(33)(1)b a a ad d d a d =+++=+,则由2233a a ad a ad d <+<++,可知3212b b b b =,并由数学归纳法可知,数列(1),1nn b a d n =+≥为{}n a 的无穷等比子数列. ...18分（文）解:(1)由a 32=a 1a 5， (2)分即(a 1+2d)2=a 1(a 1+4d)，得d=0. (4)分(2) 解：a n =1+3(n-1)，如b n =4n-1便为符合条件的一个子数列. (7)分因为b n =4n-1=(1+3)n-1=1+11n C -3+21n C -32+…+11n n C --3n-1=1+3M, …………………..9分这里M=11n C -+21n C -3+…+11n n C --3n-2为正整数， 所以,b n =1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{a n }中的第M+1项，得证. (11)分(注：b n 的通项公式不唯一)(3) 该命题为假命题. …………………………………………………….12分由已知可得111,,k m n k m n c aq c aq c aq ---===,因此,11k n k n c c aq aq --+=+,又122m m c aq -=,故 1111()22(12)k n m k n k m k k n m c c c aq aq aq aq q q ------+-=+-=+-, …………..15分由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>, 所以，k n c c +>2m c ,从而原命题为假命题. …………………………………………..18分。
2018年12月广东省广州市高三年级调研考试文科数学试题及参考答案评分标准
数学（文科）试题A 第1页共5页秘密★启用前试卷类型：A2019届广州市高三年级调研测试文科数学2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则P Q =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,12．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A ．22B ．32C ．102D ．123．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是A ．2sin x y x=-B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x=-4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．数学（文科）试题A 第2页共5页根据该折线图，下列结论错误．．的是A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A ．6πB ．863πC ．86πD ．24π6．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =，则AD 可表示为A ．1344AD AB AC=+ B ．3144AD AB AC=+C ．4155AD AB AC=+ D ．1455AD AB AC=+ 7．已知双曲线C 的中心为坐标原点，离心率为3，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=8．由12sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为A ．12sin(3)6y x π=-B ．12sin(3)6y x π=+C ．12sin(3)12y x π=-D ．12sin(12)6y x π=-9．3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10.若实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，，则2z x y =-的取值范围是A ．[]5,3-B ．[]5,1-C ．[]1,3D ．[]5,5-数学（文科）试题A 第3页共5页11．已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且222sin sin sin A B C c+-=sin sin cos cos A Ba Bb A +，若4a b +=，则c 的取值范围为A ．()0,4B ．[)2,4C ．[)1,4D ．(]2,412．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点．若3AF FB =，则k =A.1B.2C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知132a =，则()2log 2a =．14．设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ=．15．圆锥底面半径为1，高为，点P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是．16．已知过点(,0)A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222n n a a a -=+-()2n ≥．（1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？数学（文科）试题A 第4页共5页18．（本小题满分12分）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF AB ，2AB =,1BC EF ==,AE =,3DE =,60BAD ∠= ，G 为BC 的中点.（1）求证：FG 平面BED ；（2）求证：BD ⊥平面AED ；（3）求点F 到平面BED 的距离.20.（本小题满分12分）已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切．（1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．数学（文科）试题A 第5页共5页21.（本小题满分12分）已知函数()f x x =e ()ln xa x x ++.（1）若a =-e ，求()f x 的单调区间；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥；（2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎣⎦，求实数a 的取值范围．数学（文科）试题参考答案及评分标准第1页共6页2019届广州市高三年级调研测试文科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案DCBCADBACABD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4314．10-15．16．()(),40,-∞-+∞ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =,……………………………………1分∴121n n a a -=+，……………………………………2分∴11a =，……………………………………3分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥，……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列．…………………………………………6分（2）解：由（1）知，12nn a +=，……………………………………7分∴21nn a =-，……………………………………8分∴()12122212n n n S n n +-=-=---，……………………………………9分数学（文科）试题参考答案及评分标准第2页共6页∴()()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，……………………10分∴2n n n S a +=.……………………11分即n ，n a ，n S 成等差数列．……………………12分18．解：（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯……………………………2分265=.……………………………3分故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.…………………………4分（2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元,………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元,………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩……………………………8分由1750y ≥得，200500x ≤≤,……………………………9分所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯=0.7.……………………………11分故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7.……………………………12分19．解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以OG DC 且112OG DC ==，……………1分因为EF AB ，AB DC ，1EF =，所以EF OG 且EF OG =，……………………2分所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ，………………………3分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以FG 平面BED ．……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD =， (5)分数学（文科）试题参考答案及评分标准第3页共6页因为222314BD AD AB +=+==，所以BD AD ⊥.…………………………6分因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED 平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面AED .……………………………7分（3）解法1：由（1）FG 平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离，……………………8分设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高．……………………9分由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=，所以5sin 3ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=.………………………………10分13,24DBG S DB BG ∆=⋅=13322BDE S BD DE ∆=⋅=.因为G BDE E DBGV V --=，………………………………11分即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得56h =.所以点F 到平面BED 的距离为65．………………………………12分解法2：因为EF AB ，且12EF AB =,所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12，……………8分由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED 平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以5sin 3ADE ∠=，…………………10分数学（文科）试题参考答案及评分标准第4页共6页因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，……………………………………………………11分所以点F 到平面BED 的距离为65．…………………………………………………12分20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线，……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =．……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y1x =+.……………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程．……………………………3分（2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k +=①……4分直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-,………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=．………………………………………6分由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m <．……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==．………………………………………………8分由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=,…………………………………………………9分()()1212012104y y y y x y y +-+=,……………………………………………………………10分120,y y +≠ 012124x y y ∴==,……………………………………………………………11分∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=．……………………………………………………12分数学（文科）试题参考答案及评分标准第5页共6页21．（1）解：当a e =-时，()(ln )xf x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞……1分()()11'()1(1)x xx f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭，…………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >．…………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．…………………………4分（2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()xx f x xe a x+=+，令()xg x xe a =+，则'()(1)0xg x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，………………………5分因为0a <,所以(0)0g a =<，()0ag a aea a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得000()0xg x x e a =+=．…………………………………………6分当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0xx f x xe a x+=+<，()f x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0xx f x xe a x+=+>，()f x 单调递增；故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln xm f x x e a x x ==++,…………………………8分由000x x e a +=得()()0000ln ln xx m x e a x ea a a =+=-+-，………………………………9分令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增，………………………………10分当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，………………………………11分故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤．……………………12分22．解：（1）依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =．……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，…………………………………………………3分所以22((1)4x y -+-=，…………………………………………………………………4分数学（文科）试题参考答案及评分标准第6页共6页所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==，……………………………………6分同理，2OB ρ==……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=，………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOB S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯=，…………………………9分即AOB ∆的面积为……………………………………………………………10分23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥，…………………………1分①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤；……………………………2分②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<；……………………3分③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥．……………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或．………………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤，依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，……………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………………………………………………………10分。
广东广州市普通高中学校2018届高考高三数学12月月考试题 06 Word版含答案
2018高考高三数学12月月考试题06（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．223lim 2n n nn n→∞+=- ．2．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B = ，则a = ．3．若行列式,021421=-x 则=x ． 4．若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ． 5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．6．己知(1,2sin )a θ=，cos 1b θ=- （，），且b a ⊥，则tan θ= ． 7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ． 8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ． 9．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，则△ABC 的面积等于 ．11．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是7，则)(lim 242nn aa a +++∞→ = ．12．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ．14.某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论： ①函数)(x f y =的图像是轴对称图形； ②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立；③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k 满足1>k 时，函数()y f x =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --=16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x = ，(cos )b x x = ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为221x y -=，过点(M 且与C 的伴随曲线相切的直线l 交曲线C 于1N 、2N 两点，求12ON N ∆的面积（O 为坐标原点）（3）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1） 求数列{}n a 的通项公式n a ；（2） 设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++= 成立，求122012c c c +++ 的值．（3）在数列{}n d 中，11d =，且满足11nn n d a d ++=*()n N ∈，求下表中前n 行所有数的和n S . 112d d d 123d d d 213d d d……11n n d d d + 211n n d d d -+...... 11k n k n d d d -++ (11)n n d dd +参考答案1．212． 4 3． 2 4． 1 5． 20 6．217． 24y x = 8．29．25 10． 11．2112．③13．14． ①②④15．D 16． C 17．C 18．D19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅=……………………… 3分cos 21222x x +=⋅+cos221x x =+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分∴最小正周期 22T ππ== ………………………… 8分 当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=…………………10分当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分 20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += ………… 2分由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩ ……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分 （2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分∴w 1≥ ……………………………… 14分 21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分（2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ ……8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； ……………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． ……………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．……………………………14分22．解：（1）∵c =1c =………………………1分由12c c ==，即22224()a b a b +=-可得 2235b a = ………………………3分∴C的渐近线方程为y x = ………………………4分（2）双曲线C 的伴随曲线的方程为221x y +=，设直线l的方程为(y k x =，由l 与圆1= 即 2231k k =+解得2k =± ……………………………6分当2k =时，设1N 、2N 的坐标分别为111(,)N x y 、222(,)N x y由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得221(12x x -+=，即250x --=，∵24(5)320∆=-⋅-=>，2x =∴12x x -=∴1212N N x =-==………………………8分∴1212112ON N S N N ∆=⨯⨯=由对称性知，当2k =-时，也有12ON N S ∆=…………………………10分（3）设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，又(2,0)A -、(2,0)B ，∴直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++…………①直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--…………② …………………………12分由①②得0042x xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………14分∵ 00(,)P x y 在双曲线22142x y -=上 ∴222244142y x x -= ∴22142x y += ……………………………………16分23．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分 ∴(*)n a n n N =∈ ……………………………4分（2）∵11n a n +=+，1221222n n c c c n +++=+ 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+ ①，及11221222n n c c c n --+++= ② ①－②得12n n c=，得2n n c = …………………7分 ∴4(1)2(2)n nn c n =⎧=⎨≥⎩ …………………8分 ∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=- ……………10分(3)∵111n n n d a n d ++==+ ∴3122341234(1)n n dd d d n d d d d +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ 又∵11d = ∴1!n d n = ………………………………13分∵111(1)!(1,2,)!(1)!kk n k n k n d d n C k n d k n k -+-+++===-+ ………………………………14分 ∴第n 行各数之和 121121111111122(1,2)n n n n n n n n n n n d d d d d d C C C n d d d +-+++++++++=++⋅+=-= …………16分 ∴表中前n 行所有数的和231231(22)(22)(22)2222n n n S n ++=-+-++-=+++-222(21)222421n n n n +-=-=--- ……………………………18分。
推荐下载 广东省广州市六校联考2018届高三上学期12月调研数学试卷理科 含解析
2018-2018学年广东省广州市六校联考高三（上）12月调研数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2}D．{x|0≤x＜1或x≥2}2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．83．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x4．在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．15．若a=2x，b=，c=lo，则“a＞b＞c”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．177．双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，则下列结论正确的是（）A．tanB=2tanA B．tanA=2tanB C．tanBtanA=2 D．tanA+tanB=2 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．118 C．114 D．12011．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．B．C．12πD．15π12．已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=518（a+b），则a2+b2的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．12二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．15．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为．16．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5大题，每题12分）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos （A+C），求f（B）的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．19．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为p i（i=1，2，…，5），且p i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X 的分布列和数学期望．20．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA||MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2018-2018学年广东省广州市六校联考高三（上）12月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2}D．{x|0≤x＜1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．8【考点】复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．【解答】解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增【解答】解：A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误C：y=3x不是奇函数，故C错误D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=﹣的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．4．在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1【考点】等差数列的性质．【分析】根据数列{a n}为等差数列可知2a7=a3+a11，代入2a3﹣a72+2a11=0中可求得a7，再根据{b n}是等比数列可知b6b8=b72=a72代入log2（b6b8）即可得到答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a7=a3+a11，∵2a3﹣a72+2a11=0，∴4a7﹣a72=0∵a7≠0∴a7=4∵数列{b n}是等比数列，∴b6b8=b72=a72=16∴log2（b6b8）=log216=4故选：B【点评】本题主要考查了等比中项和等差中项的性质．属基础题．5．若a=2x，b=，c=lo，则“a＞b＞c”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的图象和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：如右图可知，“x＞1”⇒“a＞b＞c”，但“a＞b＞c”⇏“x＞1”，即“a＞b＞c”是“x＞1”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查指对幂三种基本初等函数的图象和充要条件的概念等基础知识，利用数形结合是解决本题的关键．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．7．双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线化成标准形式求出渐近线为y=x，从而y=x与直线x ﹣2y+1=0平行算出t=4．由此得到双曲线的方程，进而算出它的离心率．【解答】解：∵双曲线tx2﹣y2﹣1=0，即tx2﹣y2=1，∴双曲线的渐近线为y=x，∵一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，∴渐近线的斜率为，即=，得t=双曲线的方程为，得a=2，b=1，c==∴此双曲线的离心率为e=故选：B【点评】本题给出含有字母的双曲线，在其渐近线与已知直线平行的情况下求双曲线的离心率．着重考查了直线的位置关系、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．8．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，则下列结论正确的是（）A．tanB=2tanA B．tanA=2tanB C．tanBtanA=2 D．tanA+tanB=2【考点】正弦定理．【分析】由题意和正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC=sin（A+B），由三角函数的和差角公式及弦化切的思想可得．【解答】解：∵△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，∴由正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC，∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sin（A+B），∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinBcosA+sinAcosB，即2sinBcosA=4sinAcosB，两边同除以cosAcosB可得2tanB=4tanA，即tanB=2tanA，故选：A．【点评】本题考查正弦定理，涉及三角函数公式和弦化切的思想，属基础题．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．118 C．114 D．120【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选C．【点评】本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．11．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．B．C．12πD．15π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=2，AC=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆直径2r===，∴r=，∵PA⊥面ABC，PA=2，由于三角形OPA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：A．【点评】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12．已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=518（a+b），则a2+b2的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【考点】对数的运算性质．【分析】利用f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，∴518（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=++…+==2018，∴a+b=4，∴a2+b2≥==8，当且仅当a=b=2时取等号．故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用．【分析】欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=∫18x2dx+∫26（6﹣x）dx==，又Rt△AOB的面积为：所以p==．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【考点】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，。
2018年12月广东省广州市高三年级调研考试理科数学试题及文科数学试题参考答案评分标准汇编
1
所以 a 4 ．
………………………………………………………………9 分
在 MAC 中， AC 4, CM 2, C 2 ， 3
所以 AM 2 AC2 CM 2 2 AC CM cosC 16 4 2 2 4 1 28 ． ………11 分 2
因为 CD 平面 CDEF ,
所以平面 CDEF 平面 ADE .
作 AO DE 于点 O ，则 AO 平面 CDEF .
………………6 分
由 AD 2, DE 3 , 得 DO 1， EO 2 ．
以 O 为原点，平行于 DC 的直线为 x 轴， DE 所在直线为 y 轴， OA 所在直线为 z 轴，
解得 AM 2 7 ．…………………………………………………………………………12 分
18．解：（1）根据图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下
质量指标值 [15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45)
频数
4
16
40
12
18
10
4 17.5 16 22.5 40 27.5 12 32.5 18 37.5 10 42.5
2 3
．
……………………………………………………6 分
(2) 因为 A ，所以 B ．
6
6
……………………………………………………7 分
所以 ABC 为等腰三角形，且顶角 C 2 ． 3
因为 SABC
1 2
ab sin C
3 a2 4 4
3，
………………………………………………8 分
数学---广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考试题01
广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考数学试题01一．填空题1．若i =1+i 1iz （i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则=B A _____________．3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是_________． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为_____________．7．小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为_____________（结果用分数表示）.8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 9．动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为_______________．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅AC AB ，则△ABC 的面积为______________．11．已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___________．12．给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心、||为半径的劣弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为______．13．设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg)(-+=是奇函数，则ba 的取值范围是________________．14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ________． 二．选择题15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16．以下说法错误的是（ ）A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是[0,π)B ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是[0,π)D ．空间两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=xx f ，则0)2({>-x f x }等于（ ）A ．2{-<x x 或}2>xB ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>xD ．0{<x x 或}4>x18．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，c by ax ++=111δ，c by ax ++=222δ．有四个命题：①若021>δδ，则点M 、N 一定在直线l 的同侧；②若021<δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧； ③若021=+δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；④若2221δδ>，则点M 到直线l 的距离大于点N 到直线l 的距离．上述命题中，全部真命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①②③④ 三．解答题19．设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin4(22θθ，其中R ∈a ，(0,π)∈θ，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ．（1）求三棱锥ABC P -的体积V ； （2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小．21．如图，已知椭圆171622=+y x 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ．设过点),(m t T 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点),(11y x M 、),(22y x N ，其中0>m ，01>y ，02<y ．（1）设动点P 满足3||||22=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）若31=x ，212=x ，求点T 的坐标．22．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．23．已知R ∈a ，函数||)(a x x x f -⋅=．（1）当2=a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）；（2）当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最小值又有最大值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．【参考答案】一．填空题1．2-i 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．95 8．2π4R 9．y x 42= 10．2 11．2512．2 13．]2,1( 14．1342二．选择题15．A 16．C 17．D 18．B 三．解答题19．解：方程0222=+-x x 的根为=1i ±x ． 因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以=1+i z ，所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为(0,π)∈θ，所以2π=3θ，所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ． 所以2π=3θ，2±=a ． 20．解：（1）因为⊥PA 底面ABC ，所以三棱锥ABC P -的高PA h =， 所以34213131=⋅⋅⋅⋅==PA BC AC Sh V ． （2）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ， 所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）． 连结AG ，则522=+=CG AC AG ，622=+=AG EA EG ，又22==PC AB ，所以2==FG EF在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ， 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．21．解：（1）由已知，)0,4(B ，)0,3(F ，设),(y x P ， 由3||||22=-PB PF ，得3])4[(])3[(2222=+--+-y x y x ， 化简得，5=x ．所以动点P 的轨迹是直线5=x ．（2）将),3(1y M 和⎪⎭⎫⎝⎛2,21y N 代入171622=+y x 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+17641171692221y y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6444116492221y y ，因为01>y ，02<y ，所以471=y ，8212-=y ． 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛47,3M ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-821,21N ． 又因为)0,4(-A ，)0,4(B ，所以直线MA 的方程为)4(41+=x y ，直线NB 的方程为)4(43-=x y ． 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)4(43)4(41x y x y ，解得⎩⎨⎧==38y x ．所以点T 的坐标为)3,8(．22．解：（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ，解得11=a ，2=d ，所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）． （2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ． 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ，故n n b b 211=+， 所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21．)4(2182191+=+=+m m a m ， 要使91+m a 是}{n b 中的项，只要nm 24=+即可，可取4=m ．（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=nm ，*N ∈n ，3≥n 也给分） （3）由（1）知，tn n c n +--=1212，要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122， 即t k k t t +--++=+12121136，化简得143-+=t k ． 因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为：)7,2(，)5,3(，)4,5(．23．解：（1）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥--=-⋅=2,1)1(2,1)1(|2|)(22x x x x x x x f ， 所以，函数)(x f 的单调递增区间是]1,(-∞和),2[∞+．（2）因为2>a ，]2,1[∈x 时，42)()(222a a x ax x x a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-⋅=．当2321≤<a ，即32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f ． 当232>a ，即3>a 时，1)1()(min -==a f x f ． 所以，⎩⎨⎧>-≤<-=3,132,42)(min a a a a x f ．（3）⎩⎨⎧<-≥-=a x x a x ax a x x x f ,)(,)()(．①当0>a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 解得a x 221+=， 所以20a m <≤，a n a 221+≤<． ②当0<a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 解得a x 221+=，所以，a m a <≤+221，02≤<n a ．。
广东省广州市2018届高三综合测试(一)数学(理)试卷(含答案)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i2．设集合301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ A ．A B IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R R I 痧 3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S = A ．920 B ．49 C ．29 D ．940 5．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．45 B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是 A ．84- B ．14- C ．14 D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．4 8．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为 A ．12 B ．14 C ．12- D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为 A ．()3,3- B ．()11,4- C ．()4,11- D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r ，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12- B ．1- C ．32- D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．D CA B E13．已知向量(),2m=a，()1,1=b，若+=+a b a b，则实数m=．14．已知三棱锥P ABC-的底面ABC是等腰三角形，AB AC⊥，PA⊥底面ABC，1==ABPA，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()2cos2cos0a Bb A cθθ-+++=，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n S，如11S=，22S=，32S=，44S=，……，则126S=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足()121215452nnnaa anb b b⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭L，求数列{}nb的前n项和nT．图②图①18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表： x （岁） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 y ()cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y ()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y i i i ∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ， 2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121n x x y y i i i b n x x i i =--∑=-∑=$D C BS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r ．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于 x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集； （2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1-5：ADBDD6-10：ACDBC11-12：AA13、214、3315、－1216、6417、18、（2）。
数学---广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考试题07
广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考数学试题07一.填空题1.计算：= .2.记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点 3.已知口袋里装有同样大小.同样质量的个小球，其中个白球.个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . （结果精确到） 4.展开式中含项的系数为 .5.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则.6.已知z 为复数，且，则z =7.从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为8.阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为9.已知的面积为，则的周长等于 10.给出下列命题中① 非零向量满足，则的夹角为； 22342lim (21)n n n n →∞+-+()y f x =1().y f x -=()y f x =)2,1(1()1y f x -=+.__________1688844001.08)2(x -4x ()f x R 0x ≥()22xf x x b =++b (1)f -=(2)1i z i +=)}(21{*N n n ∈}{n b 71}{n b ._________ABC∆23AC ABC π=∠=ABC ∆._______ a b 、a b a b ==- 与a a b +030② ＞0，是的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =； ④ 在中，若，则为等腰三角形； 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）11.已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．12.已知向量==,若，则的最小值为 ;13.设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 . 14.已知数列满足，且，且，则数列中项的最大值为 二.选择题15.“φ＝”是“函数y =sin(x ＋φ)为偶函数的”（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16.若，则必定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形17.已知m ，n 是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ） A. B. C.D.18.已知函数 ,若则实数的取值范围是（ ） A. B. C.D.⋅ a b、1-x a x ABC ∆)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ABC ∆112a),2,1(-x b),4(y a⊥byx 39+a 2()1()f x x a x m x R =+-+∈(2,3)a {}n a 11a =111()(233n n n a a n -=+≥)n ∈*N {}n a ._____________2π20AB BC AB ⋅+= ABC ∆βα,βαβα//,,则若⊥⊥m m αα⊥⊥n m n m 则若,,//n m n m //,,//则若=βαα βαβα⊥⊂⊥则若,,m m 224()4x x f x x x⎧+=⎨-⎩00x x ≥<2(2)(),f a f a ->a (,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-(2,1)-(,2)(1,)-∞-⋃+∞三.解答题19.（本题满分12分）已知，满足．（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20.如图，△中，， ，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与.分别相切于点.，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体.（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．21.某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=- 0m n ⋅= y x ()f x ()f x ]3,0[π∈x a x f >)(a ABC 090=∠ACB 030=∠ABC 3=BC O BC AC AB C M BC N ABCBC BC则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元.（1）把每件产品的成本费P （x ）（元）表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q （x ）与产品件数x 有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）22．已知二次函数.（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围.23．设，等差数列中，，记=，令()1700.05Q x x =-()()21f x ax a x a =+-+()f x (),1-∞-a x ()2f x x≥[]1,2x ∈a ()()()211a x g x f x x--=+()2,3a 3x x f =)({}n a 73=a 12321=++a a a n S ()31+n a f，数列的前n 项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【参考答案】一.填空题n n n S a b =}1{nb n T {}n a n S 31<n T n m ,n m <<1n m T T T ,,1n m ,1.2. 3. 4.1 5. 6.7. 8. 9. 10.①③④ 11. 12.13. 14.1二.选择题15.A 16.B 17.C 18.C 三.解答题19.解：（1）由得即所以，其最小正周期为．（2）,因此的最小值为，由恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 20.解（1）连接，则，设，则，又，所以， 所以 （2） 21.解：（1）由基本不等式得43)2,2(381.04-i 3-n n b 81=21+33+π66)25,310(--0m n ⋅=22cos cos 0x x x y +-=22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++()2sin(2)16f x x π=++π65626,30ππππ≤+≤∴≤≤x x )62sin(π+x 21)(x f a <2)]([min =<x f a a )2,(-∞OM AB OM ⊥2,1,30,30==∴=∠=AB AC ABC BC r OM =r OB 2=r OB -=333,32=-=r r r .34r 42ππ==球表S .273534AC 3132πππ=-⨯⨯=-=r BC V V V 球圆锥12500()400.05P x x x =++()4090P x ≥=当且仅当，即时，等号成立 ∴，成本的最小值为元．分（2）设总利润为元，则当时,答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元． 22.解：（1）当时，，不合题意； 当时，在上不可能单调递增； 当时，图像对称轴为， 由条件得，得 （2）设， 当时，， 因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，所以， ，解得. （3）在上是增函数，设，则， 125000.05x x =500x =12500()400.05P x x x =++90y125001301.0)()(2-+-=-=x x x xP x xQ y 29750)650(1.02+--=x 650x =max 29750y =650297500=a x x f -=)(0>a ()f x (),1-∞-0<a aa x 21--=121-≤--aa .1-≤a 1)1()()(-++==a xx a x x f x h ]2,1[∈x ]25,2[1∈+x x ()2f x x≥[]1,2x ∈)(x h ]2,1[∈x ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥-+>21250a 2120a a a a a 或1≥a a xax x g ++=1)(2()2,33221<<<x x )()(21x g x g <，， 因为，所以，而，所以23.解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 ，∴， ∵， ∴S n ==.（2）， ∴， ∴. （3）由(2)知，， ∴，，∵成等比数列. ∴ ， 即， 当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意； 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解； a x ax a x ax ++<++2221211121212121))((x x x x x x x x a -<-+3221<<<x x )(12121x x x x a +>)161,541()(12121∈+x x x x .161≥a {}n a d 7213=+=d a a 12331321=+=++d a a a a 11=a d 23-=n a n 3x x f =)(()31+n a f131+=+n a n )13)(23(+-==n n S a b n n n )131231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n 31)1311(31<+-=n T n 13+=n nn T 13,411+==m m T T m 13+=n n n T n m T T T ,,11341)13(2+=+n n m m n n m m 4312+=+61=m n n 43+=n 2=m 413n n 43+=n 3=m 919n n 43+=n 4=m 1625n n 43+=n 5=m 2531n n 43+=n 6=m 3637nn 43+=n当时， ，则，而， 所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列. 综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列. 另解：（3）由(2)知， ∴， ∵成等比数列. ∴ ，取倒数再化简得， 当时，，=16，符合题意；， 而， 所以，此时不存在正整数m.n , 且1<m<n,使得成等比数列. 综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.7≥m 010)3(1622>--=--m m m 1162<+mm 34343>+=+n n n n m T T T ,,1n m T T T ,,113+=n n n T 13,411+==m m T T m 13+=n nn T n m T T T ,,121()31431m n m n =⋅++n n m m 4312+=+62=m 413n n 43+=n 2221161611193,0,39339m m m m m m m +⎛⎫≥<≤=+=+-≤< ⎪⎝⎭时34343>+=+n n n n m T T T ,,1n m T T T ,,1。
广东省广州市普通高中2018届高三数学12月月考试题03
2018高考高三数学12月月考试题03满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________.2．函数22log (1)y x =-的定义域为.3．已知集合{,,,,},{,,,}A a b c d e B c d e f ==，全集U A B =，则集合()U A B ð中元素的个数为__________________.4．已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是. 5．已知函数()y g x =的图像与函数31xy =+的图像关于直线y x =对称，则(10)g 的值为. 6．（文）若二项式()21nx +展开式的各项系数的和为64，则其展开式的所有二项式系数中最大的是.(用数字作答)7．（文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(3)n S =-是等比数列的充要条件是.8．某算法的程序框图如右图，若输出的S 的值为9．（文）某高校随机抽查720商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是1118，则p =. 10．已知定义在(0 )2π，上的函数2(sin 1)y x =+与83y =的图像的交点为P ，过P 作1PP x ⊥轴于1P ，直线1PP 与tan y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为.11．（文）已知不等式1x a x ->-对任意[0,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是．12．（文）已知函数2cos ,11()21,||1xx f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是____．31225332974251233973311294325272779111313514．（文）如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中* m n N ∈、)：例如27的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m =.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知,,,A B C D 是空间四点，命题甲：,,,A B C D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的 [答]( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16．(文)若向量,m n 满足1m n ==，m 与n 的夹角为060，则m m m n ⋅+⋅=[答]（ ）（A ）12（B ）32（C ）2（D ）117．(文)已知函数()|arctan |f x x =，若存在12,[,]x x a b ∈，且12x x <，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数a 、b 的描述正确的是 [答]（ ）（A ）0a <（B ）0a ≥（C ）0b ≤（D ）0b ≥18．（文）数列{}n a 满足121a a ==，122cos ()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 [答] ( )（A ）2013（B ）671（C ）671-（D ）6712-三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知函数2sin cos )()sin cos cos x x x f x x x x-=+；(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()2y f x π=-，[0 ]2x π∈，的值域. 解：20.（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．已知椭圆E 的方程为22143x y +=，右焦点为F ，直线l 的倾斜角为4π，直线l 与圆223x y +=相切于点Q ，且Q 在y 轴的右侧，设直线l 交椭圆E 于两个不同点,A B . （1）求直线l 的方程；（2）求ABF ∆的面积. 解：21.（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．．科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。
广东省广州市普通高中18届高三数学12月月考试题021801180217
2018高考高三数学12月月考试题02(满分：150分，时间：120分钟)一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f (x )=3x –2的反函数f–1(x )=________．2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 3．函数)32sin(π+=x y 的最小正周期是_________．4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 5．已知),1(x a =，)2,4(=b ，若b a ⊥，则实数=x _______．6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示)8．已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫⎪⎝⎭，计算：AB = ．9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sinππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人．11．双曲线C ：x 2– y 2= a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组⎩⎨⎧=+=+2323y x ny mx 只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） 13．若函数y=f (x ) (x ∈R )满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0,3)，则线段MN 长度的最小值是 ．二、选择题(本大题有4题，满分20分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分． 15．若110a b<<，则下列结论不正确的是 （ ） (A) 22a b < (B) 2ab b < (C)2b a a b +> (D) 1<ab16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )(A) 20112010 (B) 20111(C) 20122011 (D) 2012117．已知f (x )=x 2–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 （ ）(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件18．给定方程：1()sin 102xx +-=，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x 0是该方程的实数解，则x 0>–1．则正确命题的个数是 （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题共有5个小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |212x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x m ππ=++-+-，x ∈R ，且f (x )的最大值为1．(1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =a b c =+，试判断△ABC 的形状．21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数]2,0(,2)(2∈+-=x xax x x f ，其中常数a > 0． (1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 1．23x +(定义域不写不扣分) 2．{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 3．π 4．2 5．–2 6．217．–160 8．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭9．56π 10．40 11．14422=-y x12．181713．4 14．24- 二、选择题15．D 16．C 17．A 18．C 三、简答题19．解：(1) 由| x –a | < 2，得a –2<x <a +2，所以A ={x | a –2<x <a +2}………………………3分 由212x x -+<1，得32x x -+<0，即 –2<x <3，所以B ={x |–2<x <3}．…………………………6分 (2) 若A ⊆B ，所以2223a a -≥⎧⎨+≤⎩，…………………………………………………………10分所以0≤a ≤1．………………………………………………………………………………12分 20．解：(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin 2sin(2)3x m π=+- ……………………3分因为max ()2,f x m =-所以1m =，…………………………………………………………4分 令–2π+2k π≤2x +3π≤2π+2k π得到：单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+(k ∈Z )………6分 ( 无(k ∈Z )扣1分 )(2) 因为()1f B =，则2sin(2)113B π+-=，所以6B π=………………8分b c =+sin sin A B C =+15sin()26A A π=+- 化简得1sin()62A π-=，所以3A π=，…………………………………………………12分所以2C π=，故△ABC 为直角三角形．…………………………………………………14分21．解：(1) 当4=a 时，24)(-+=xx x f ，…………………………………………1分任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=121244x x x x +--212121)4)((x x x x x x --=………………3分 因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)………………………………………5分 所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；………………………………………………………6分 (2)2)(-+=xax x f 22-≥a ，……………………………………………………7分 当且仅当a x =时等号成立，…………………………………………………………8分当20≤<a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，………………………10分当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减，…………………………………11分 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为2a，………………………………………………13分 综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.42,4022)(mina a a a x f ………………………………………14分22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以 212122)2)(2(y y x x B B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分 由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分(3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=设28153u k u =+≥，，所以S =)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分 23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。
广东省广州市2018届高三12月模拟考试数学理试题 含答案
2018届广州市普通高中毕业班模拟考试 理科数学 2018.12本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B（C（D（3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- 错误！未找到引用源。
(D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为 (A)25 (B) 5 (C) 26(D) 6 （5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A ）8π （B ）4π （C ）38π （D ）34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期， C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是yxO（8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（10）已知抛物线:C y交于M ，N (Ａ)221 （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2018高考高三数学12月月考试题01满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i iiz +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ， 则=B A _____________．3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是__________________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为_____________．7．小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为_____________（结果用分数表示）。
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________．9．动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为_______________．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅，则△ABC 的面积为______________．11．已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___________．12．给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心、||为半径的劣弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为（第6题图）______．13．设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(-+=是奇函数，则ba 的取值范围是________________．14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的…………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．以下说法错误的是……………………………………………………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π17．设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则0)2({>-x f x }等于…（ ）A ．2{-<x x 或}2>xB ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>xD ．0{<x x 或}4>x18．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，c by ax ++=111δ，c by ax ++=222δ．有四个命题：①若021>δδ，则点M 、N 一定在直线l 的同侧；②若021<δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；③若021=+δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；④若2221δδ>，则点M 到直线l 的距离大于点N 到直线l 的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……………………（ ） A ．① ② ③ B ．① ② ④ C ．② ③ ④ D ．① ② ③ ④三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求三棱锥ABC P -的体积V ；（2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知椭圆171622=+y x 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ．设过点),(m t T 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点),(11y x M 、),(22y x N ，其中0>m ，01>y ，02<y ．（1）设动点P 满足3||||22=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）若31=x ，212=x ，求点T 的坐标．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．P A BC23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知R ∈a ，函数||)(a x x x f -⋅=．（1）当2=a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）； （2）当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最小值又有最大值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．参考答案一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．95 8．42R π 9．y x 42= 10．2 11．2512．213．]2,1( 14．1342二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．A 16．C 17．D 18．B三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）因为⊥PA 底面ABC ，所以三棱锥ABC P -的高PA h =，…………（3分）所以，34213131=⋅⋅⋅⋅==PA BC AC Sh V ．…………（6分） （2）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）G P ABFE21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）由已知，)0,4(B ，)0,3(F ，…………（1分）设),(y x P ，……（2分） 由3||||22=-PB PF ，得3])4[(])3[(2222=+--+-y x y x ，…（5分） 化简得，5=x ．所以动点P 的轨迹是直线5=x ．……（6分）（2）将),3(1y M 和⎪⎭⎫⎝⎛2,21y N 代入171622=+y x 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+17641171692221y y ，……（1分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6444116492221y y ，……（2分）因为01>y ，02<y ，所以471=y ，8212-=y ．…………（3分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛47,3M ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-821,21N ．…………（4分） 又因为)0,4(-A ，)0,4(B ， 所以直线MA 的方程为)4(41+=x y ，直线NB 的方程为)4(43-=x y ．……（5分） 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)4(43)4(41x y x y ，…………（6分）解得⎩⎨⎧==38y x ．…………（7分） 所以点T 的坐标为)3,8(．……（8分）（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ，……（2分）解得11=a ，2=d ，…………（3分）所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．…………（4分） （2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ．……（1分） 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ， 故n n b b 211=+，……（2分） 所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21．……（3分）)4(2182191+=+=+m m a m ，…………（4分） 要使91+m a 是}{n b 中的项，只要nm 24=+即可，可取4=m ．…………（6分）（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*N ∈n ，3≥n 也给分）（3）由（1）知，tn n c n +--=1212，…………（1分）要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122，即tk k t t +--++=+12121136，…………（2分） 化简得143-+=t k ．…………（3分）因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．…………（4分）当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．…………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为：)7,2(，)5,3(，)4,5(．…………（6分）（1）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥--=-⋅=2,1)1(2,1)1(|2|)(22x x x x x x x f ，…………（2分） 所以，函数)(x f 的单调递增区间是]1,(-∞和),2[∞+．…………（4分） （2）因为2>a ，]2,1[∈x 时，42)()(222a a x ax x x a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-⋅=．…………（1分） 当2321≤<a ，即32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f ．…………（3分） 当232>a ，即3>a 时，1)1()(min -==a f x f ．…………（5分） 所以，⎩⎨⎧>-≤<-=3,132,42)(min a a a a x f ．…………（6分）（3）⎩⎨⎧<-≥-=a x x a x ax a x x x f ,)(,)()(．…………（1分）①当0>a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 解得a x 221+=，……（1分） 所以20a m <≤，a n a 221+≤<．……（4分） ②当0<a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 解得a x 221+=，……（5分） 所以，a m a <≤+221，02≤<n a ．……（8分）。