《机械工程测试技术》第二章测试装置的定义和基本特性

《机械工程测试技术》 第二章测试装置的定义
和基本特性
本课程从线性系统的角度研究测量系统 最基本的动态特性。
2－1 线性系统及其主要特性
一、线性系统定义
线性时不变系统的输入输出关系可用线 性微分方程表示：
an
d
n y(t) dt n

an1
d n1 y(t ) dt n1

a0y(t)
x(t)
X(s)
Lx(t) X (s)
➢拉氏变换的操作： 引入微分算子s
L
d dt


s
L

dn dt n


sn
➢拉氏变换：
L{dy(t)} sY (s) dt
L{d
n y(t dt n
)}

s
nY
(s)
L{dx(t)} sX (s) dt
L{d n x(t)} sn X (s) dt n
线性时不变系统的输入输出关系可用线性 微分方程表示：
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a dy(t) 1 dt

a 0 y(t )
d m x(t)
d m1x(t) dx(t)
bm
dt m
bm1
dt m1
b 1 dt
b0x(t)

Y (s) F(s)

Ms 2
1 Cs

K
3、系统的响应（输出）
➢ 系统输出的拉氏变换可以表示为：Y(s)=X(s)H(s) ➢ 则系统的时间响应： y(t)=L-1{Y(s)} 例：质量－弹簧－阻尼系统，若输入为作用一单位脉冲
f (t) t
F (s) L{ t } 1
Y (s)

H (s)F (s)

Ms2
1 Cs

K

1 K
[s2
n2 2ns
n2 ]
y(t) L1 Y (s)

1 K
L1

s
2

n2 2 ns


2 n

1 K
n 1 2
e nt
sin(n
1 2t)
4、 传递函数描述的特点 ❖ 传递函数H(s) 反映系统特性，与输入x(t)无关
输出 y(t)
x(t) X sin t
y(t) Y sin(t )
•由线性系统频率保持特性知：
幅值比： Y A ~ A 相位差： ~ X
A －幅频特性
系统的频率 传输特性
H A()e j
－相频特性
频率传输特性的物理概念 设系统结构框图如下：
系统
X 0sin t
y (t)
Y 0sin(t )
➢输出y(t)相对于输入x(t)改变的仅是幅值Y0和相位
特性1）~3）连用可解决复杂周期信号、准周 期信号的输入-响应问题
例：已知输入x(t)求输出y(t)
x(t) 0.5cos10t 0.2 cos(100 t 45) 解：设输入x( t )=x1( t )＋x2( t )
yi(t)
xi (t ) X isin i t
yi (t ) Y isin(i t i )
计算对应的幅值比Ai和相位差i
Ai

Yi Xi
~
A i
i ~ i
依次改变频率
则得到幅值随频率变化的规律：幅频谱；
相位随频率变化的规律：相频谱。
2）由传递函数获得
H (s)
X1 0.5
X 2 0.2
1 10
2 100
01 0
02 45
则输出为： y(t) y1(t) y2 (t)
Y1 cos(1t 01 1) Y2 cos(2t 02 2 )
Y1 cos(10t 1) Y2 cos(100 t 45 2 )
系统
y2(t)
x1(t)+ x2(t)
系统
y1(t)+ y2(t)
❖ 意义：
✓ 一个输入的存在，绝对不影响另一个输入所引起的 输出。
✓ 应用：可分别分析单个输入Xi(t)引起的输出yi(t)， 然后将这些输出叠加起来，以得到总输出.
2) 比例特性
ax(t)
系统
ay (t)
3) 频率保持特性
x(t)
令s=j
频率响应函数H() 实验
实际物理系统
脉冲响应 函数h(t)
脉冲激 励下的 响应
五、环节的串联和并联
用传递特性的数学描述可以方便地处理环节的传并联 ➢ 1、n个串联环节：
X(s) H1(s)
……
Hn(s) Y(s)
X(s) H(s)
Y(s)
n
H (s) H1(s)H2 (s) H n(s) Hi (s) i 1
a0
Ks

b0 a0
✓标准式：

dy(t) dt

y(t)

Ks x(t)
2、系统参数：
——时间常数（秒）；动态指标
Ks——系统的静态灵敏度；静态指标
3. 一阶系统传递函数

dy(t) dt

y(t)

Ks
x(t)
➢ 作拉氏变换： (s 1)Y (s) K s X (s)
整理得：
H (s) Y (s) Ks
X (s) s 1
Ks
s 1
Ks
1
s 1
令Ks＝1，得归一化传递函数
H (s) Y (s) 1
X (s) s 1
4. 频率响应函数
H ()
1
s 1
s j
1
1 j

1
1 j
j 1
j


1
1
j
j 2
P() jQ()

Y (s) X (s)

bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
令：s＝j，代入H (s) ，则得到系统的频率响 应特性
H
( )

bm j m an j n

bm1 j m1 an1 j n1
Y(s)
✓n个环节并联
n
H (s) H1(s) H 2 (s) H n(s) H i (s) i 1
六、几种典型环节的系统特性
(一）比例环节－零阶系统
1、系统微分方程
x(t)
Ks
y(t)
一般式：a0y = b0x
标准式：y =(b0/a0) x = Ksx
2、系统参数：Ks——系统的静态灵敏度
2
X () 1


x(t
)e

jt
dt
2
则系统的频率响应特性为：
H



Y X
3、 频率响应函数H（j）的表示
1）幅频、相频特性 A（）—— 幅频特性；H（j）的模， （）—— 相频特性；H（j）的幅角， 2）实频、虚频特性 U（）—— 实频特性；H（j）的实部。 V（）—— 虚频特性； H（j）的虚部。
❖ H(s)反映系统的传输特性，不拘泥于物理系统， 可利用数学工具求解实际问题
实际问题
微分方程 系统特性
数学模型
▪不足之处： ✓需要微分方程已知 ✓概念不明确
三、频率响应函数（传递特性的频域描述）
1、频响函数具有明确的物理概念 ——系统的频率传输特性（幅频特性、相频特性）
输入 x(t)
系统 传输特性
➢2、环节的并联
X(s)
✓ 两个环节的并联
Y (s) =Y1(s)＋ Y2 (s) =X (s) H1 (s)＋ X (s) H2 (s) =X (s) [ H1(s)＋H2(s) ]
H(s)=Y(s) / X(s)= H1(s)＋H2(s)
Y1(s) H1(s)
Y( H2(s)
Y2(s)
X(s) H(s)
jV
G( j )
V ( )
A ( )
()
0
U ( ) U
四、动态特性的数学描述小结
输入
系统 传输特性
✓ 系统微分方程（时域描述）
✓ 传递函数H(s)（复数域描述）
✓ 频率响应函数H()（频域描述） ✓ 脉冲响应函数h(t)（时域描述）
输出
系统微 分方程
物理概念
拉氏变换 整理
传递函数 拉氏逆变换 H(s)

1 j
1 2
➢ 其中P()、 Q()分别频率响应函数的实部和虚部
➢ 频率响应函数的模，即幅频特性为：
A
P2 () Q2 ()

1 2 1 2 2
1
1 2
相频特性为：
arctg Q()
➢ 原线性系统微分方程经拉氏变换后，变为：
ansnY (s) an1sn1Y (s) a1sY (s) a0Y (s)
bmsm X (s) bm1sm1X (s) b1sX (s) b0 X (s)
➢ 整理得到复数域的代数方程：
[ansn an1sn1 a1s a0 ]Y (s)
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，曲线如下:
结论：
ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
2、频率响应函数的求取方便
1）实验法测试获得
对一个系统给定输入信号xi，记录相应的输出yi
xi(t)
A系传统输 频特H率性
[bmsm bm1sm1 b1s b0 ]X (s)
2、系统传递函数
➢ 传递函数：系统输出的拉氏变换Y(s)比输入的拉氏变换 X(s s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
❖ 求解出：Y1，Y2， 1， 2
§2－2 测试装置动态特性的数学描述
输入
系统 传输特性
输出
❖ 系统动态特性的数学描述： ✓ 系统微分方程（时域描述）表现传
输特性，不够直观 ✓ 传递函数H(s)（复数域描述） ✓ 频率响应函数H()（频域描述） ✓ 脉冲响应函数h(t)（时域描述）
一、 系统微分方程
X(s)
H(s)
Y(s)
例：质量－弹簧－阻尼系统
系统微分方程
M
d 2 (t) dt 2
C
d (t) Ky(t) dt
f (t)
作拉氏变换： Ms2Y (s) CsY (s) KY (s) F (s)
整理：
[Ms2 Cs K ]Y (s) F (s)
系统传递函数
H (s)
b1 j b0 a1 j a0
有时也记作H(j )
例：质量－弹簧－阻尼系统
H ( j)
1 Ms2 Cs K
s j

M

j
2
1
C
j


K

K
1
M 2

jC
3）由傅立埃变换得到
对输入、输出信号分别作傅立埃变换
Y ( ) 1 y(t)e jt dt
特点：可通过系统的物理特性建立
例：建立质量－弹簧－阻尼系统的运动微分方程
❖ 系统分析
✓
作用在质量块上的外力 f (t) 为系统的输 入
K
C
✓ 质量块质心的位移 y (t) 为系统的输出。
M
f(t)
系统
y(t)
▪为建立描述系统的微分方程，取质量 块，进行受力分析
其中：
Fk Ky(t)
Fc

C
二、传递函数（传递特性的复数域描述）
它明确表示系统输入对输出的 传递关系。
一般获得途径：
拉普拉斯变换
系统微分方程
系统传递函数
1、拉普拉斯变换
➢ 拉氏变换的作用： 将时域的微分方程，变换为复数域的代数方程 将信号从时域变换到复数域
拉氏变换
y(t)
Y(s)
记作：
Ly(t) Y (s)
拉氏变换
bm
d
m x(t) dt m

bm 1
d
m1 x(t ) dt m1


b0 x(t )
❖ 其中系数ai，bi为常数
2、线性系统的主要特性
线性系统具有以下主要性质： 1）符合叠加原理、 2）比例特性、 3）频率保持特性
1）符合叠加原理：
x1(t)
系统
y1(t)
x2(t)
dy(t) dt
d 2 y(t)
dy(t)
M
dt 2
f (t) C dt
Ky(t)
y(t) f(t)
Fk Fc
M
y(t) f(t)
整理得到描述系统运动的微分方程
dy2 (t) dy(t) M dt2 C dt Ky(t) f (t)
❖系统微分方程的特点：
✓ 可从系统的物理特性直接获得的； ✓ 不能直观地反映系统的传输特性； ✓ 不易求解系统在特定输入x(t)下的响应y(t)
3、系统特性 不失真、不延迟地按比例传递信息
❖串联系统的静态灵敏度：
n
K s K si i 1
习题：2-1，2-9
（二） 一阶系统
1、系统微分方程
✓
一般式：
a1
dy(t ) dt

a0
y(t )

b0
x(t )
整理：
a1 dy(t ) y(t ) b0 x(t )
a0 dt
a0
令： a1