2020年湖南省张家界市慈利县城西中学高三数学文期末试卷含解析

2020年湖南省张家界市慈利县城西中学高三数学文期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）
（A）（B）(C) (D)
参考答案：
C
略
2. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在函数的图象上，其中，则的最小值为
A．1 B．4 C．
D．2
参考答案：
B
略
3. （5分）（2015?陕西一模）若过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2=4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）
A． [0，4] B． [0，3] C． [0，2] D． [0，1]
参考答案：
【考点】：直线与圆的位置关系．
【专题】：直线与圆．
【分析】：求出圆的圆心与半径，结合已知条件推出d的范围即可．
解：圆x2+（y﹣3）2=4的圆心（0，3），半径为2，过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2=4的圆心的距离记为d，
最小值就是直线经过圆的圆心，最大值就是点与圆心的连线垂直时的距离．
d的最小值为0，最大值为：=4．
d∈[0，4]．
故选：A．
【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．
4. 设集合，，则＝
A．B．C．D．
参考答案：
A
5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为
A. B.
C. D.
参考答案：
C
6. 设若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为
（A）－4 （B）－2 （C）－1 （D）0
参考答案：
C
7. 设是等差数列的前项和，已知，，则
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8. 函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表
示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
9. 函数的图像大致是（）
A B
C D
参考答案：
A
10. 执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（）
A．2 B． C． D．
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在处取极值，则a＝________.
参考答案：
3
12. 函数，则______．
参考答案：
1
【分析】
根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.
【详解】根据题意，，则；
故答案为：1．
【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.
13. 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得
=，则的取值范围是．
参考答案：
14. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围为．
15. 已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P 与M的距离小于1的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化法；概率与统计．
【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．
【解答】解：根据几何概型得：
取到的点到M的距离小1的概率：
p==
==．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
16. 已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为．
参考答案：
[0，3]
【考点】二次函数的性质．
【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．
【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，
只要，或，
其对应的平面区域如下图所示：
则当a=1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值3，
当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，
所以a﹣2b的取值范围为[0，3]；
故答案为：[0，3]．
17. 将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥
的外接球的表面积为 _________;
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）在四棱锥中,侧面底面,,底面是直角梯形,,,,.
（1）求证:平面;
（2）设为侧棱上一点,,试确定的值,使得二面角为.
参考答案：
(Ⅰ)平面底面,,所以平面,
所以,
如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则
,, 所以,,
又由平面,可得,所以平面 (4)
分
(Ⅱ)平面的法向量为,
,,所以,
设平面的法向量为,,,
由,,得所以,,
所以
, ………………………………
…… 8分
所以,
注意到,得
……………………………… 12分
19. 已知，，函数，的最大值为4.
(1)求的值；
(2)求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）函数，所以，
因为，
所以．
（Ⅱ），
当且仅当，即时，取得最小值．
20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线的参
数方程为(为参数)．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与，各有一个交点．当时，这两个交点间的距离为，当时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明，是什么曲线，并求出a与b的值；
（Ⅱ）设当时，与，的交点分别为，当时，与，的交
点分别为，求四边形的面积．
参考答案：
略
21. （本小题满分12分）
已知点，圆是以的中点为圆心，为半径的圆。

(Ⅰ) 若圆的切线在轴和轴上截距相等,求切线方程；
(Ⅱ) 若是圆外一点，从P向圆引切线,为切点,为坐标原点，且有,求使最小的点的坐标.
参考答案：
(Ⅰ)设圆心坐标为，半径为，依题意得
∴圆的方程为
（2分）
（1）若截距均为0,即圆的切线过原点,则可设该切线为即,则有,解得,
此时切线方程为或
. （4分）
(2)若截距不为0,可设切线为即,
依题意,解得或3
此时切线方程为或
. （6分）综上:所求切线方程为,或
（7分）
(Ⅱ)∵,∴
即整理得
（9分）而
,
（10分）
当时取得最小
值. （11分）
此时点的坐标为. （12分
22. （本小题满分12分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有甲乙两人相互独立来该租车点租
车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小
时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
参考答案：
解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为
，…………………2分
付2元为，
付4元为…………………4分
则所付费用相同的概率为……………6分
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8
…………………10分
分布列
…………………12分。