高中数学第一章数列1.2数列的函数特性学案北师大版必修5(2021学年)

2０１７-20１8版高中数学第一章数列１.2 数列的函数特性学案北师大版必修5
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1。

２数列的函数特性
学习目标1．理解数列的几种表示方法.2.能从函数的观点研究数列．
知识点一数列的表示方法
思考以数列2，4,6，8,10，１２,…为例,你能用几种方法表示这个数列?
梳理数列的表示方法有_＿____＿__＿__法、＿__＿＿_＿_法、列表法、递推公式法．
知识点二数列的增减性
思考观察知识点一中数列2,4，6,8,…的图像,随着n的增大,ａn有什么特点？
梳理一般地,按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即aｎ+1_＿＿_ａn，那么这个数列叫作＿________＿_＿；从第2项起，每一项都小于它前面的一项,即ａｎ
_
+1＿__ａｎ，那么这个数列叫作____＿__＿__＿_；各项相等的数列叫作_＿___＿__＿___;从第2项起，有些项小于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫作_＿__＿__＿＿＿__．
类型一数列的表示方法
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中,着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像.
反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系,善于利用我们熟知的一些基本数列,通过合理的联想、转化,从而达到解决问题的目的．
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是___＿_＿＿_．
类型二数列的增减性
命题角度1 判断数列的增减性
例2 判断数列{＼ｆ(ｎ，ｎ+1)｝的增减性.
反思与感悟对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项．故需考察a n＋１-ａn 的正负来研究数列的增减性.
跟踪训练2 若数列｛ｎ2＋λn}是递增数列,则实数λ的取值范围是＿_______．
命题角度2 求数列中的最大项与最小项
例3 在数列{a n}中，a n=（n+1）（错误!）ｎ（n∈N+).
（1)求证:数列｛a n｝先递增,后递减；
（2）求数列｛a n}的最大项.
反思与感悟数列中最大项与最小项的两种求法
(1）若求最大项a n,则aｎ应满足错误!若求最小项a n，则a n应满足错误!
（２)将数列看作一个特殊的函数,通过求函数的最值来解决数列的最值问题,但此时应注意n∈N
这一条件.
＋
跟踪训练3 已知数列{ａn}的通项公式为ａn=＼f（4n-1２,２n-7），求数列{aｎ}的最大项和最小项.
1.已知数列{ａn}的通项公式是ａｎ＝＼f（n＋2,n+1）,则这个数列是（）
Ａ．递增数列ﻩＢ．递减数列
C.常数列Ｄ．摆动数列
2.已知数列{a n}满足a１＝2,a n+1-ａn＋１＝0(ｎ∈N＋)，则此数列是（)
A.递增数列
B.递减数列
C．常数列D．摆动数列
３.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数aｎ与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是＿__＿__＿＿_____＿．
1．{a n｝与a n是不同的两种表示,｛a n｝表示数列a1,a2，…,aｎ,…，是数列的一种简记形式.而
a n只表示数列{a n}的第n项，aｎ与{a n｝是“个体”与“整体”的从属关系．
2.数列的表示方法：（1)图像法；(2)列表法;(３)通项公式法；(4)递推公式法．
3.判断数列增减性的办法一般是作差:a n+１－aｎ,通过判断差的正负来判断数列{a n}的增减性.当ａn〉0,也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性.
通过判断数列在各区间上的增减性,可求出数列的最大项与最小项.
ﻬ答案精析
问题导学
知识点一
思考对数列2，4，６,８,１０，12,…可用以下几种方法表示：
①通项公式法：aｎ＝２ｎ。

②递推公式法：错误!
③列表法：
n123…k…
a n246…2k…
④图像法：
梳理通项公式图像
知识点二
思考图像上升，a n随ｎ增大而增大.
梳理＞递增数列〈递减数列常数列摆动数列
题型探究
例1 解这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,２７．则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1。

所以,这个数列的一个通项公式是a n＝３n-１．在直角坐标系中的图像为一些孤立的点（如图所示)．
跟踪训练1 55
例2 解设a n＝错误!,则a n+1－a n＝错误!-错误!
=
１
n+2n+1
〉0，
∴｛错误!}是递增数列.
跟踪训练2 （－３，+∞)
解析设a n＝n2＋λｎ，
则a n+1－aｎ＝（n＋1）2＋λ(n+1)-n2－λｎ
＝2n＋１＋λ＞0对任意n∈N+恒成立.
∴（2ｎ+1+λ)min=３＋λ>0,
∴λ〉－3.
例3 (1)证明令错误!>1(n≥２),
即错误!〉1，
整理得＼ｆ（n＋1，n）〉＼f(11,１0)，解得ｎ〈10。

令错误!＞1，即错误!>1．
整理得错误!〉错误!,解得n＞９。

所以数列{a n}从第１项到第9项递增,从第１0项起递减,即数列{aｎ｝先增后减. (2）解由（1)知a9=a10=错误!最大.
跟踪训练３解因为a n+1－aｎ
=＼ｆ(４n-8,2n－5)-错误!
=＼ｆ（4ｎ-82n-7-4n-1２2n－5,2n-52n-7）
=错误!
＝-错误!
=-错误!
当ｎ≤2时,a n＋1－a n〈0,即a n＋1〈a n；
当n＝3时，a n+1－a n>0，即ａn＋1〉a n;
当ｎ≥４时,a n+１－ａn<0,即a n＋1<ａｎ.
又当n≤3时,a n＜2;当ｎ≥4时，a n>2。

所以a4＞a5>…＞a n>…＞2>a1〉a2〉ａ3。

故数列｛aｎ}的最大项为ａ4=4,最小项为a3=0.
当堂训练
１．B 2.B ３.a n=２ｎ＋1
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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