2025年高考数学一轮复习-第一板块-微专题(二)平面向量【课件】
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微专题(二) 平面向量
命题点(一) 三点共线的应用 [典例] (1)在△ABC 中，点 D 在 BC 上，且满足|BD|＝14|BC|，点 E 为 AD 上任意一点，若实数 x，y 满足―B→E ＝x―B→A ＋y―B→C ，则1x＋2y的最小值为 ( ) A．2 2 B．4 3 C．4＋2 3 D．9＋4 2 (2)在四边形 ABCD 中，AB∥CD，设―A→C ＝λ―A→B ＋μ―A→D (λ，μ∈R )．若 λ
[例 1] 已知向量|a |＝3，|b |＝4，且 a ⊥b ，c＝λa ＋(1－λ)b (λ∈R )，则|c|
的最小值为
()
6 A.5
B．152
36 C. 5
D．458
[解析] ∵向量|a |＝3，|b |＝4，且 a ⊥b ，∴c2＝[λa ＋(1－λ)b ]2＝λ2a 2＋(1
－λ)2b 2，
＝4＋4sinθ＋π3，因为 θ∈[0,2π]，θ＋π3∈π3，73π，sinθ＋π3∈[－1,1]，所以当 sinθ＋π3＝1 时，―PA→·―P→B ＋―P→B ·―P→C 的最大值为 8.
[答案] C
方法技巧 平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路
形 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问 化 题，然后根据平面图形的特征直接进行判断
3，－1)，C( 3，－1)． 又因为 P 是该圆上的动点，所以设 P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]， 则―PA→＝(－2cos θ，2－2sin θ)，―P→B ＝(－ 3－2cos θ，－1－2sin θ)，―P→C ＝
( 3－2cos θ，－1－2sin θ)，
―PA→·―P→B ＋―P→B ·―P→C ＝－2cos θ(－ 3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－ 3－2cos θ)( 3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2 3cos θ
―→ ＋μ＝43，则|―C→D |＝
| AB | A.23 B．12 C.13
D．14
()
[解析]
(1)因
为 |BD| ＝ 14
|BC|，
―B→E ＝x
―→ BA
＋y―B→C ，
所以
―→ BE
＝x―B→A ＋
4y―B→D .由 A，E，D 三点共线可得 x＋4y＝1，且 x>0，y>0.所以1x＋2y＝1x＋2y(x
()
A．4 B．7 C．8 D．11
[关键点拨]
以圆心O为原点，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 切入点
求出A，B，C的坐标
隐藏点
P是该圆上的动点，P点坐标可设为P(2cos θ，2sin θ)
迁移点
向量问题坐标化，转化为求三角函数的最值
[解析] 如图，等边三角形 ABC，O 为等边三角形 ABC 的外接圆的圆心，以 O 为原点，AO 所在直线为 y 轴，建立平 面直角坐标系．因为 AO＝2，所以 A(0,2)，设等边三角形 ABC 的边长为 a，则sina A＝sina60°＝2R＝4，所以 a＝2 3，则 B(－
＋―A→C )＝1353―A→P ＋μ1―A→Q ＝59―A→P ＋31μ―A→Q ，由 P，G，Q 三点共线，
得59＋31μ＝1，解得 μ＝34，
所以SS△ △AABPQC＝1212AABP··AAQC··ssiinn∠ ∠BBAACC
＝3AB·A3 C ＝290. 5AB·4AC
答案：290
命题点(二) 平面向量中的最值和范围问题
针对训练
1．在梯形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝4CD，点 P 在边 BC 上，若―A→P ＝25―A→B
＋λ―A→D ，则实数 λ＝
()
4 A.5
B．25
4 C.15
D．230
解析：延长 AD，BC 交于点 E，则 B，P，E 三点共线，于
是可得―A→P ＝ 25λ2－32λ＋16＝ 25λ－12652＋12454≥ 12454＝152， 当且仅当 λ＝1265时取等号，即|c|的最小值为152. [答案] B
[例 2] (2022·济宁一模)等边三角形 ABC 的外接圆的半径为 2，点 P 是该圆
上的动点，则―PA→·―P→B ＋―P→B ·―P→C 的最大值为
＋4y)＝9＋2yx＋4xy≥9＋2 8＝9＋4 2，当且仅当 x＝ 2y，即xy＝＝42－1247－21，
时
取等号．
(2)∵AB∥CD， ∴设|― ―C→ →D |＝k，则―D→C ＝k―A→B ，k>0，
| AB | ∵―A→C ＝―A→D ＋―D→C ＝k―A→B ＋―A→D ＝λ―A→B ＋μ―A→D ， ∴μλ＝＝k1，， ∵λ＋μ＝43，
―→ ∴1＋k＝43，即 k＝13，即|―C→D |＝13.故选 C.
| AB | [答案] (1)D (2)C
方法技巧 平面向量中的爪子模型指三点共线的向量问题模型，由于其几何图形看起 来像爪子，故称之为爪子模型．解题关键点如下： (1)确定共线的三点：找到平面内共线的三点 M，O，N 和任意一点 A. (2)写成规范形式：―A→O ＝x―AM→＋y―A→N . (3)应用结论：M，O，N 三点共线⇔存在实数 λ，使得―A→O ＝λ―AM→＋(1－λ)―A→N .
利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、 数
不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的 化
有关知识来解决
针对训练
1.如图，在直角梯形 ABCD 中，A＝B＝90°，AD＝4，AB＝BC＝2，
点 M 在以 CD 为直径的半圆上，且满足―AM→＝m―A→B ＋n―A→D ，则
因为 AB∥CD 且 AB＝4CD，所以―A→E ＝43―A→D ，所以―A→P ＝
25―A→B ＋35×43―A→D ＝25―A→B ＋45―A→D ，故 λ＝45. 答案：A
2．已知 G 为△ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于点 P，Q，
若―A→P ＝35―A→B ，则△ABC 与△APQ 面积的比值为________． 解析：设―A→Q ＝μ―A→C (0<μ≤1)，因为 G 为△ABC 的重心，所以―A→G ＝13(―A→B
命题点(一) 三点共线的应用 [典例] (1)在△ABC 中，点 D 在 BC 上，且满足|BD|＝14|BC|，点 E 为 AD 上任意一点，若实数 x，y 满足―B→E ＝x―B→A ＋y―B→C ，则1x＋2y的最小值为 ( ) A．2 2 B．4 3 C．4＋2 3 D．9＋4 2 (2)在四边形 ABCD 中，AB∥CD，设―A→C ＝λ―A→B ＋μ―A→D (λ，μ∈R )．若 λ
[例 1] 已知向量|a |＝3，|b |＝4，且 a ⊥b ，c＝λa ＋(1－λ)b (λ∈R )，则|c|
的最小值为
()
6 A.5
B．152
36 C. 5
D．458
[解析] ∵向量|a |＝3，|b |＝4，且 a ⊥b ，∴c2＝[λa ＋(1－λ)b ]2＝λ2a 2＋(1
－λ)2b 2，
＝4＋4sinθ＋π3，因为 θ∈[0,2π]，θ＋π3∈π3，73π，sinθ＋π3∈[－1,1]，所以当 sinθ＋π3＝1 时，―PA→·―P→B ＋―P→B ·―P→C 的最大值为 8.
[答案] C
方法技巧 平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路
形 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问 化 题，然后根据平面图形的特征直接进行判断
3，－1)，C( 3，－1)． 又因为 P 是该圆上的动点，所以设 P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]， 则―PA→＝(－2cos θ，2－2sin θ)，―P→B ＝(－ 3－2cos θ，－1－2sin θ)，―P→C ＝
( 3－2cos θ，－1－2sin θ)，
―PA→·―P→B ＋―P→B ·―P→C ＝－2cos θ(－ 3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－ 3－2cos θ)( 3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2 3cos θ
―→ ＋μ＝43，则|―C→D |＝
| AB | A.23 B．12 C.13
D．14
()
[解析]
(1)因
为 |BD| ＝ 14
|BC|，
―B→E ＝x
―→ BA
＋y―B→C ，
所以
―→ BE
＝x―B→A ＋
4y―B→D .由 A，E，D 三点共线可得 x＋4y＝1，且 x>0，y>0.所以1x＋2y＝1x＋2y(x
()
A．4 B．7 C．8 D．11
[关键点拨]
以圆心O为原点，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 切入点
求出A，B，C的坐标
隐藏点
P是该圆上的动点，P点坐标可设为P(2cos θ，2sin θ)
迁移点
向量问题坐标化，转化为求三角函数的最值
[解析] 如图，等边三角形 ABC，O 为等边三角形 ABC 的外接圆的圆心，以 O 为原点，AO 所在直线为 y 轴，建立平 面直角坐标系．因为 AO＝2，所以 A(0,2)，设等边三角形 ABC 的边长为 a，则sina A＝sina60°＝2R＝4，所以 a＝2 3，则 B(－
＋―A→C )＝1353―A→P ＋μ1―A→Q ＝59―A→P ＋31μ―A→Q ，由 P，G，Q 三点共线，
得59＋31μ＝1，解得 μ＝34，
所以SS△ △AABPQC＝1212AABP··AAQC··ssiinn∠ ∠BBAACC
＝3AB·A3 C ＝290. 5AB·4AC
答案：290
命题点(二) 平面向量中的最值和范围问题
针对训练
1．在梯形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝4CD，点 P 在边 BC 上，若―A→P ＝25―A→B
＋λ―A→D ，则实数 λ＝
()
4 A.5
B．25
4 C.15
D．230
解析：延长 AD，BC 交于点 E，则 B，P，E 三点共线，于
是可得―A→P ＝ 25λ2－32λ＋16＝ 25λ－12652＋12454≥ 12454＝152， 当且仅当 λ＝1265时取等号，即|c|的最小值为152. [答案] B
[例 2] (2022·济宁一模)等边三角形 ABC 的外接圆的半径为 2，点 P 是该圆
上的动点，则―PA→·―P→B ＋―P→B ·―P→C 的最大值为
＋4y)＝9＋2yx＋4xy≥9＋2 8＝9＋4 2，当且仅当 x＝ 2y，即xy＝＝42－1247－21，
时
取等号．
(2)∵AB∥CD， ∴设|― ―C→ →D |＝k，则―D→C ＝k―A→B ，k>0，
| AB | ∵―A→C ＝―A→D ＋―D→C ＝k―A→B ＋―A→D ＝λ―A→B ＋μ―A→D ， ∴μλ＝＝k1，， ∵λ＋μ＝43，
―→ ∴1＋k＝43，即 k＝13，即|―C→D |＝13.故选 C.
| AB | [答案] (1)D (2)C
方法技巧 平面向量中的爪子模型指三点共线的向量问题模型，由于其几何图形看起 来像爪子，故称之为爪子模型．解题关键点如下： (1)确定共线的三点：找到平面内共线的三点 M，O，N 和任意一点 A. (2)写成规范形式：―A→O ＝x―AM→＋y―A→N . (3)应用结论：M，O，N 三点共线⇔存在实数 λ，使得―A→O ＝λ―AM→＋(1－λ)―A→N .
利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、 数
不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的 化
有关知识来解决
针对训练
1.如图，在直角梯形 ABCD 中，A＝B＝90°，AD＝4，AB＝BC＝2，
点 M 在以 CD 为直径的半圆上，且满足―AM→＝m―A→B ＋n―A→D ，则
因为 AB∥CD 且 AB＝4CD，所以―A→E ＝43―A→D ，所以―A→P ＝
25―A→B ＋35×43―A→D ＝25―A→B ＋45―A→D ，故 λ＝45. 答案：A
2．已知 G 为△ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于点 P，Q，
若―A→P ＝35―A→B ，则△ABC 与△APQ 面积的比值为________． 解析：设―A→Q ＝μ―A→C (0<μ≤1)，因为 G 为△ABC 的重心，所以―A→G ＝13(―A→B