高考数学100个热点题型秒解技巧之巧用原型函数解决抽象函数问题

化难为易化繁为简
2019 年 4 月版
秒解高考数学100
招
——选择、填空篇——
◆ 例( 2016山东理7)函数f(x) ( 3sinx cosx) ( 3cosx sin x)的最小正周期是( )
3
A. B. C. D. 2 22
秒解】根据口诀：和差不变, 积商减半, 易知3sinx cos x以及3cosx sinx 的周
期
均为 2 , 则f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sin x)的周期为, 选B.
四大特色助快速解题
◎ 100 个秒解技巧◎ 10 年
高考真题为例
0 个精妙二级结论
◎ 700 个例题深入剖析
目录 CONTENTS
1、集合利用特值逆代法速解集合运算题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2
2、集合利用对条件具体化巧解集合运算题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3、集合运用补集运算公式简化集合计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4、简易逻辑利用韦恩图巧解集合与数量关系题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5、简易逻辑借助数轴法巧解充要条件问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6、复数利用逆代法、特值法速解含参型复数题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7、复数利用公式速解有关复数的模的问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8、复数利用结论快速判断复数的商为实数或虚数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9、复数利用公式快速解决一类复数问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10、三视图柱体和锥体的三视图快速还原技巧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11、三视图利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12、不等式利用逆代法巧解求不等式解集问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13、不等式利用特值法速解比较大小问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14、不等式利用数轴标根法速解高次不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
15、不等式用代入法速解 f 型不等式选择题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
16、不等式利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式⋯⋯⋯⋯
17、不等式利用结论速解含双绝对值函数的最值问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
18、不等式利用“1 的代换”巧解不等式中的最值问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
19、不等式利用“对称思想”速解不等式最值问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
20、不等式利用柯西不等式速解最值问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21、线性规划利用特殊法巧解线性规划问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
22、线性规划高考中常见的线性规划题型完整汇总⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
23、程序框图程序框图高效格式化解题模式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
24、排列组合排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
25、排列组合利用公式法速解相间涂色问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
26、排列组合速解排列组合之最短路径技巧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
27、二项式定理二项式定理常见题型大汇总⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
28、二项式定理利用公式速解三项型二项式指定项问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
29、平面向量特殊化法速解平面向量问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
30、平面向量利用三个法则作图法速求平面向量问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
31、平面向量三点共线定理及其推论的妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
32、平面向量平面向量等和线定理的妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
33、平面向量向量中的“奔驰定理”的妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
34、平面向量三角形四心的向量表示及妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
35、平面向量利用极化恒等式速解向量内积范围问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
36、空间几何利用折叠角公式速求线线角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
37、空间几何求体积的万能公式：拟柱体公式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
38、空间几何空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用⋯
39、空间几何利用空间余弦定理速求异面直线所成角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
40、空间几何利用公式速解空间几何体的外接球半径⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
41、函数用特值法速解分段函数求范围问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
42、函数数形结合法速解函数的零点与交点问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
43 、函数数型结合法巧解带 f 的函数型不等式⋯⋯⋯⋯⋯
44 、函数函数的周期性的重要结论的运用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
45 、函数利用特值法巧解函数图像与性质问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯
46 、函数通过解析式判断图像常用解题技巧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
47、函数利用结论速解“奇函数＋C”模型问题
⋯⋯⋯⋯
48 、函数利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较
问题
49 、函数巧用耐克函数求解函数与不等式问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯
50 、函数利用对数函数绝对值性质速解范围问题⋯⋯⋯⋯⋯
51 、函数巧用原型函数解决抽象函数问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
52、函数构造特殊函数巧解函数问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 53、导数特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题⋯⋯⋯⋯
54、导数极端估算法速解与导数有关选择题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
55、导数用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题⋯⋯⋯ 56、导数隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用⋯⋯ 57、三角函数利用口诀巧记诱导公式及其运用⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 58、三角函数利用结论速求三角函数周期问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 59、三角函数巧用特值法、估算法解三角函数图像问题⋯⋯ 60、三角函数海伦公式及其推论在求面积中的妙用⋯⋯⋯⋯ 61 、三角函数借助直角三角形巧妙转换弦与切⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 62、三角函数特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数齐次式中弦切互化技巧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 64、三角函数利用射影定理秒解解三角形问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 65、三角函数三角形角平分线定理的妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 66、三角函数三角形角平分线长公式的妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 67、三角函数三角形中线定理及其推论的妙用⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 68、三角函数利用测量法估算法速解三角形选择题⋯⋯⋯⋯ 69、三角函数利用公式法速解三角函数平移问题⋯⋯⋯⋯⋯ 70、数列利用公式法速解等差数列a n 与S n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 71、数列利用列举法速解数列最值型压轴题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 72、数列用特殊化法巧解单条件等差数列问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 73、数列等差数列性质及其推论的妙用
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 74、数列观察法速解一类数列求和选择题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 75、数列巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 76、数列代入法速解数列选项含n 型选择题⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 77、数列一些数列选择填空题的解题技巧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 78、统计与概率估算法速解几何概型选择题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 79、直线与圆利用相交弦定理巧解有关圆的问题⋯⋯⋯⋯⋯ 80、直线与圆利用精准作图估算法速解直线与圆选择题⋯⋯ 81、直线与圆利用两圆方程作差的几何意义速解有问题⋯⋯ 82、圆锥曲线利用“阿波罗尼圆”速
22
51、函数 巧用 原型函数 解决抽 象函数问题
抽象函数问题是学习中的一个难点 ,也是考试的热点 .所谓抽象函数 , 是指没有明确给出函数表达式 ,只给 出它具有的某些特征或性质 , 并用一种符号表示的函数 . 有的抽象函数可以联想到已学过的具有相同或相似结 构的基本原型函数 ,并由原型函数的相关结论 , 预测、猜想抽象函数可能具有的性质而使问题获解 ,下面给出高 中阶段常用的原型函数： 抽象函数性质
初等函数模型
f (x y) f (x) f(y) f (x) kx(k 0) f (x y) b f (x) f (y)
f (x) kx b (k 0)
f (xy) f (x)f (y)
或
f ( x) f (x)
y f (y)
f (x) x n
f (x y) f (x) f(y)
或 f (x y)
f(x) 或
f (y)
f (x) a x
f (xy) f (x) f(y)
或 f (x ) f (x) f (y) y
f (x) lo
g a x
x y x y
f(x) f(y) 2f( )f( )
22
f (x) cosx
或 f(x y) f(x y) 2f(x)f(y)
f (x y)
f(x) f (y)
1 f (x)f (y)
f (x) tanx
◆ 例 1 若奇函数 f(x)(x R),满足 f (2) 1,
f(x 2) f(x) f(2),则 f(1) ( )
A. 0
B. 1
C. 1
D. 1
85、圆锥曲线 用中心弦公式定理速解中心弦问题 93、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 86、圆锥曲线 焦点弦垂直平分线结论的妙用
94、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 87 、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 95、圆锥曲线 椭圆焦点三角形面积公式的妙用 88、圆锥曲线 用公式速解过定点弦中点轨迹问题 96、圆锥曲线 双曲线焦点三角形面积公式的妙用 89 、圆锥曲线 巧用通径公式速解离心率等问题 90 、圆锥曲线 巧用三角形关系速求离
心率
91 、圆锥曲线 构造相似三角形速解离
97、圆锥曲线 离心率与焦点三角形底角公式的妙用⋯⋯⋯⋯⋯
98、圆锥曲线 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围
92 、圆锥曲线 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 100 、圆锥曲线 用对称思想速解圆锥曲线问题
【秒解】由f(x 2) f(x) f (2)联想到原型函数f(x) kx(k 0),又f(2) 1, 2k 1,k 1,
2
11 f(x) x,则f(1) ,选 D.
22
◆ 例 2 若奇函数 f (x)对于任意的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y),且当 x 0时, f(x) 0, f ( 1) 2, 则 f (x) 在区间[ 2,1] 上的值域为 .
【秒解】由f(x y) f(x) f(y) 联想到原型函数f(x) kx,又 f ( 1) 2,当x 0时, f(x) 0, 1 k 2,k 2, f(x) 2x满足题目条件 ,则f(x)在区间[ 2,1]上的值域为[ 4,2].
◆ 例 3 若奇函数 f (x)对于任意的实数x、y都有f(0) 0, f(x y) f(x)f(y),且当 x 0时, f(x) 1,则 x 0时, f (x)取值范围为.
【秒解】由f(x y) f(x)f ( y)联想到原型函数f(x) a x,当0 a 1时满足当 x 0时,则f(x) a x(0 a 1)在x 0时,有0 f(x) 1, f (x)取值范围为(0,1)
◆ 例 4 若函数 f (x)是定义在(0, ) 上的增函数 ,且对于任意的实数x、y都有f(x y) f (x) f (y),且
f (2) 1,则 f (x) f(x 2) 3的解集为.
【秒解】由f(x y) f(x) f (y)联想到原型函数f(x) log a x,又f(2) 1, log a2 1,a 2, f(x) log2x,
则 f (x) f (x 2) 3 log2 x log2(x 2) 3
x 8(x 2)
16
log2 x log2(x 2) log28 log2 x log28(x 2) (2,176).
x 0 2 x 16,原不等式解集为
7 x20
◆ 例 5 若函数f(x)满足f(x) f(y) 2f(x y)f(x y)且 f ( ) 0, x、y R,则函数 f ( x)的周期为 . 2 2 2
x y x y
【秒解】由f(x) f(y) 2f( )f( )联想到原型函数f(x) cosx ,且满足f( ) 0 , 则猜测f(x)的 2 2 2 周期为 2 ,证明如下：取x , 分别代入f(x) f(y) 2f(x y)f(x y)中的x,y,则有
22
f(x ) f( ) 2f(x ) f( ) 0 f (x ) f ( ) T 2 .
1 f(x)
例 6 若函数 f (x) 满足 f(x 1) 且 f (0) 2004,
1 f(x)
则函数 f (2005) .
秒解】 由 f(x y)
f(x) f(y)
的原型函数为 f(x) tanx ,得 f(x 1)
1 f(x)
联想到原型函数
1 f(x) f (y) 1 f (x)
f (x) tan x , 则猜测 f (x) 的周期为 4 (证明略)
4
1 f (0) 2005 1 f(0) 2003
则有 f ( 2005 ) f (2004 1)
1 f (2004 )
1 f (2004 )。